Разработка и применение пакета расширения SPEKTR_SM пакета SIMULINK CKM MATLAB (1012863), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом случае параметры а~с можно представить в следующем виде: „с ц~ ~/с Фг(тв )Ф (тв ) (2) Рассмотрим некоторые частные случаи. ! где го~~ — квадратурные коэффициенты и т~~ — квадратурные узлы; 2., оф, т~à — параметры правила (1), и способ их выбора приводит к различным квадратурным формулам. Пусть теперь интеграл из формулы (1) приведен к виду ~то '/З(Г-т)о 1/Зх(т)г(т О (3) Системой полиномов, ортогональных на [О, г[ по весу р(г т) тб-1/2(г т)0-1/2 (4) является система полиномов Гегенбауэра 1 2(6+()Г(26жг) ( Г(6+1/2) Рлэо ~'„ьЬ гх (5) где (б) 1У'-х Г(26 ч. Г)Г(6+ 1с + 1/2) а поэтому правило (1) принимает вид Х-1 [" т~ 1/з(г — т)о ~/зх(т)г(т= ~Г озхгх(т~ь), О Х=О (7) виду Р'Гз(6+1/2)(Е[Н1-у[(г, тгь) Г(26+ (.)АУ2Е 1(б Ф Квадратурная формула (7) солержит произвольный параметр 6 и является источником многих полезных случаев.
Например, при 6= 1/2 полиномы Гсгепбауэра совпадают с полипомами Лежандра и получается квадратурное правило Гаусса [13[, нули которого в котором узлы Ц должны располагаться в корнях полинома Гегенбауэра степени А уф, т~ь)=0 (к=0,1,...,Š— 1). Тогда коэффициент гв~ь, вычисленный по формуле (2), может быть приведен к 1 — 1=0 /я Т,(бт)= — сох (агссоз — -1, ! =1,2„, я ! которые ортогональны по весу р(д т) =! /,/т(г - т). (! О) Узлы квацратурного правила (7) в данном случае должны совпадать с нулями полинома Тд(г,т), т.е.
располагаться в точках те =-~1-сох- ~ (/с=0,1,....,Е-1), Ь ! Г (2/с+1)в 1 (1!) 2(. я Коэффипиент е~~--- — находится при помощи формулы (8). Е Таким образом, квадратурнос правило наивысшей степени точности с весом (10) имеет вид — — с!т= ~> х 1-сох — — -+--к (12) Аналогично находятся квадратурные правила и при других 6. 2. Ортонормированные полиномы дискретной переменной, построенные на сетке, определенной в корнях классических ортогональных полиномов Квадратурная формула (1) является точной лля функпии х(т)=ф, (т) (г'= 0,1,....2Š— 1). Покажем, что с помощью формул (1) легко указать систему ортонормированных дискретных полиномов по весу (2). совпадают с нУлЯми полинома Рг (кто), а пРи 6 = 0 полиномы Гегенбауэра (5) совпадают с полиномами Чебышева первого рода р Положим в формуле (1) х(т)=~у,(т)фь(т); Ь,1=0,1,...,Л-1.
Тогда получим (13) где р(Е„Й) = гвь. Это тождество является условием ортонормированности системы дискретных полиномов ~Ф;(ть ц, построенных ьн на сетке (ть" г с помощью уравнения Рь(ть)=0. гь! г Соотношение (13) перепишем в виде л-! ,ÄфьС, = бь,, ь=в (! 4) где сь ь =~р(1.„3с)ць(т~ь)), Из формулы (14) вытекает, что матрица С с элементами сь ь (Ь, к = 0,1,..., А — 1) является унитарной, и поэтому для матрицы С справедливо также другое соотношение ортогональности.
(15) Соотношение (15) можно записать в виде с~ Ф~ (ть~ ) Ф~ (т~ь ) = Р (~ ~) бь,у (16) Примерами дискретных ортонормированных систем базисных функций являются: 1. Дискретные ортонормированные тригонометрические функции, определенные на отрезке 1О, г) „задаются формулами 1 — 1=0 ю 2 (а( 1! — соя — ~1+ — ~ 1=12 ... Š— 1 2( 2~' С,((.,1) = (17) 1=0,1,2„...).-1; 1=2,3,4,„.; Гуг(Е,1) = ~ — з)п — (1+1), Г 2 .
((+1)к 12,+1 (,!=0,1,..., ).-1; 1=2, 3,4,...; (18) а,(Ы) = — — соя ~1+ — ), 2 (2(+ 1)к Г 1 ~ /21,+1 2Е+! ~ 2 !' (19) („1=0,1,..., Е-1; 2,=2„3,4,... 2, (2с+ 1)к /21+1 21+1 (20) (,1=0,1,....Е-1; А=2,34,... Для точечного аппроксимировання удобно считать. что дискретные косинусоиды (17) и (19) заданы на системе точек 1хв = Ь/2,хихон,",хд !) отрезка !О, г) с постоянным шагом Ь = х;,! -х,, а лискретные синусоиды (18) и (20) заданы на системе точек (хс =Л,хихз,...,хг !1 отРезка !О, г) с постоЯнным шагом Ь = хы! -х,, Дискретныс косинусоиды и синусоиды ортонормированны на указанных системах точек с весом р(Е,!) и1.
2. Дискретные ортонормированные полиномы Хана-Чебышева первого рода, определенные на отрезке 10, г), задаются форму- лами ,/-, =о; (-1) ' ~ — соя — !1+ — ); 1=1,2,...,Е-1; ; Г2 йсЕ 1) т(я Е( 2!' У;(Е,I) = (21) 1=0,!,...,Š— 1,' Е=2,3,4,... Для точечного аппроксимирования, удобно считать, что дискретные полиномы Хана-Чебышева первого рода (!7) заланы на системе точек (хе — — Ь/2,хпхт,...,хе !) отРезка (О, !! с постовнным шагом Ь=хь!-х,.
Дискретные полиномы Хана — Чебышева орто- нормироаанны на указанных системах точек с весом р(Е,() = х/ Е. 3. Дискретные ортонормированные полиномы Хана — Чебышева второго ролл, опрелеленные на отрезке [О, !1, задаются формулами ф!(Е,!) = (-1)' — 1- сйп — (1+ 1)~ з!и —, ;2 Т~ .
((ь1)я /. ((+1)д ! к Е+' ~ '+! (22) 1=0,1,...,Е-1; (=0,!,...,Š— 1; Е=2,34,... стеме точек ~хо=6|2,хпх,.....,хь !) отрезка (О, г) с постоянным шагом Ь=х ! — х,. Дискретные полиномы Хана — Чебышева второго рода ортонормированны на указанных системах точек с весом Рк . з~(1+1)я') р(Е,!) = зш ! — ~. Эти базисные системы тесно связаны 4(Е+1) ( Е+1 между собой, а именно Т,(Е,У) =( — 1)': С!(Е,!); (23) 8б Для точечного аппроксимирования, удобно считать, что дискретные полиномы Хана — Чебышева второго рода (18) заданы на си- гемы функции, которые находягся по классиче Р ным полиномам Якоби и выражаются через функции тригонометрических базисных систем (19), (20). 3.
Алгоритмы вычисления НСХ в базисах классических ортонормированных нолиномов Рассмотренные квадратурные формулы можно использовать как численные схемы вычисления НСХ. Используя квадратурную формулу (1) для вычисления Е ординат НСХ функции х(т), полу- чаем Š— 1 Х(6 г) г -= ~ в~ ф (з', г, т~~ ) х (тх~ '2 (25) ч' с=о Правая часть приближенного равенства представляет собой НСХ дискретной функции х~т~х ) в базисе ортонормированных дискрет- (~(;,ь, "1=ф(;,~дЦ) р~~,ц=,", Х(дг) = ~(66). (26) Соотношение (26) устанавливает способ вычисления НСХ в базисе классических ортогональных полиномов по их дискретным аналогам, построенным на сетке [тГ, г с помошью уравнения ~ г1 Ч~г ~ть)=() Рассмотрим некоторые частные случаи, Положим Лб(гц,т) = т(ббт), Тогда из формул (5), (11), (25) н (26) находим, что 2( — 1)'Л +1 ,г- .
((~-1)к"„) (24) гчгя з)п Ее1 Заметим, что существуют и другие дискретные базисные системы функций, которые находятся по классическим ортогональ- ным полиномам Якоби и выражаются через функции тригономез рических базисных систем (19), (20). 3. Алгоритмы вычисления Е1СХ в базисах классических ортонормированных нолиномов Рассмотренные квадратурные формулы можно использовать как численные схемы вычисления НСХ. Используя квадратурную формулу (1) для вычисления Е ординат НСХ функции х(т), полу- чаем т.— ! Х(~',г)ь — — ~ го~~:ф(ббт)~)хЯ). (25) + ь=о Правая часть приближенного равенства представляет собой НСХ Х(цг) = Х(ю', Е). р (26) Соотношение (26) устанавливает способ вычисления НСХ в базисе классичсских ортогональных полиномов по их дискретным аналогам, построенным на сетке (ть г с помощью уравнения ь) г~г (т)~) =О Рассмотрим некоторые частные случаи. Положим Чу(йд т) = у(ццт) .
Тогда из формул (5), (8), (25) и (26) нахолим, что дискретной функции х(ть ) в базисе ортонормированных дискрет- Г(6+ — )Е', 1262(6ч.1)1'(26ч.1) Х(1,1) = ,— — х т Е" Г(26+ Е) ! 1! ..2(1 Е1) х ~, ф,Е,/г)хЯ). » 072(Е-!,Е,/) (27) Несложные вычисления позволяют найти алгоритмы вычисления НСХ лля различных значений 6: Р2(1 Е Е) Х(01) 2 42!+!)1 Х,— — — — р(ЕЕ,Х)х(т» )); (28) Е2 ,.
Орз(Е-(,Е,Е-) ° — для 6 = 0 (полиномы Чебышева 1-го рода) 1.-! — ч~ х(т»е) при!=0; Е»=О /2яд! ~~ Г(1, Е,/г)х(тг) при 1= 1,2,.... Š— 1; »=О Х(г',1) и т (29) 1( (2Е-2х — ! т»-- — !+соя — — — л ~; — для 6=! (полиномы Чебышева 2-го рода) 1(1+1)ч2л ~ч, 2((»+!)л) ( 1)(/(. Е 1) с Е Е,1 "" А.! Хт» . ' Х(01) н»=О и * 1/ (/,+1)„ т» -- — соз( )+1~, 2~ Е+1 (30) — для 6 = 1/2 (полипом Лежандра, т»Е — нули Е-го полинома Лсжанлра) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК \ 1. Солодовников В.В.
и др. Расчет систем управления на ПВМ. — Мл Машиностроение, 1979. 2. Солодовников В В., Семенов В.В. Спектральная теория нсстационарпых систем управления. — Мл Наука, 1974. 3. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом: Учебное пособие. — Мл МАИ, 1984. 4. Изучение математических дисциплин в компьютерной среде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
