Презентация 8. Структура решения СЛАУ (Лекции в виде презентаций), страница 5

Пусть в n -мерном линейном пространстве V задан базис e1 ,…, e n . Обозначим æ : V →  nотображение, которое ставит в соответствие каждому вектору v его координатный столбецv = ( v1  v n ) T относительно заданного базиса. Такое отображение является линейным, так какпри сложении векторов в одном и том же базисе их координаты складываются, а при умножениивектора на число координаты вектора умножаются на это число (см.

разд.12.4). Это отображениеявляется инъективным (разные векторы имеют разные координаты (в одном и том же базисе)),сюръективным (для любого столбца v = ( v1  vn ) T ∈  n существует прообраз v = v1e1 + ... + vn e n ).Поэтому отображение æ биективное и, следовательно, обратимое. Напротив, отображение,которое каждому вектору v ∈V ставит в соответствие столбец v = (v1 + 1  vn + 1)T ∈  n , неявляется линейным, так как образом нулевого вектора oV ∈V служит столбец (1  1)T ≠ o ,отличный от нулевого.284.

Пусть Pn ( ) и Pn −1 ( ) – пространства многочленов с действительнымикоэффициентами степени не выше n и (n − 1) соответственно. Обозначим черезD ( p( x )) =dp( x )dxпроизводнуюмногочленаp( x ) ∈ Pn ( ) .Тогдаотображение(оператордифференцирования) D : Pn ( ) → Pn −1 ( ) ставит в соответствие каждому многочленуp( x ) ∈ Pn ( ) его производную, т.е. многочлен из пространства Pn −1 ( ) . Этот операторлинейный, так как производная суммы равна сумме производных, а производнаяпроизведения функции на число равна произведению производной на это число.

Оператордифференцирования не является инъективным (два многочлена, отличающиеся свободнымичленами имеют одну и ту же производную), является сюръективным (для любогомногочлена pn−1 ( x ) имеется прообраз – многочлен из множества первообразных∫ pn −1 ( x) dx + C , гдеC– произвольная постоянная). Поэтому оператор дифференцирования неявляетсябиективным и, следовательно, обратимым. Оператор интегрированияI : Pn −1 ( ) → Pn ( ) , который многочлену p n −1 ( x ) ∈ Pn −1 ( ) ставит в соответствие многочленx∫p n ( x ) = p n −1 (t ) dt ,0также является линейным (см. свойства интеграла).

Этот оператор является инъективным (изравенства образов, дифференцируя по верхнему пределу интегрирования, получаемравенство прообразов), не является сюръективным (многочлен с отличным от нулясвободным членом не имеет прообраза). Поэтому оператор интегрирования не являетсябиективным и, следовательно, обратимым.2913.1.4. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯПусть A : V → W – линейное отображение n -мерного пространства V в m -мерноепространство W . Зафиксируем в пространстве V произвольный базис (e ) = (e1 ,..., e n ) , а впространстве W базис ( f ) = ( f1 ,..., f m ) . Линейное отображение однозначно задается образамибазисных векторов (см.

свойство 8). Разложим образы A (ei ) , i = 1,..., n , базисных векторов (e )по базису ( f ) :A ( ei ) =m∑ a ji f j ,i = 1,..., n .j =1Из координатных столбцов векторов A (e1 ) ,…, A (e n ) относительно базиса ( f ) составимматрицу размеров m × n : a11  a1n A=    .a m1  a mn (13.1)Она называется матрицей линейного отображения A в базисах (e ) и ( f ) , илиотносительно базисов (e ) и ( f ) .

Матрицу отображения обозначают также A , чтобы( e ),( f )подчеркнуть ее зависимость от выбранных базисов.30Матрица отображения связывает координаты образа w = A (v ) и прообраза v . Еслиv = ( v1  v n ) T – координатный столбец вектора v , а w = ( w1  wm ) T – координатныйстолбец вектора w (т.е. v = v1e1 + +... + vn e n и w = w1 f1 + ... + wm f m ), то w1   a11  a1n   v1     =       w  a m   m1  a mn   vn ⇔w = Av ,(13.2)где A – матрица (13.1) отображения A .Для нахождения матрицы отображения A : V → W нужно выполнить следующиедействия:1) задать базисы (e ) = (e1 ,..., e n ) и ( f ) = ( f1 ,..., f m ) пространств V и W ;2) найти образ A (e1 ) первого базисного вектора и разложить его по базису ( f ) .Полученные координаты записать в первый столбец матрицы (13.1) отображения A ;3) найти образ A (e 2 ) второго базисного вектора и разложить его по базису ( f ) .Полученные координаты записать во второй столбец матрицы (13.1) отображения и т.д.

Впоследний столбец матрицы (13.1) записать координаты образа A (e n ) последнего базисноговектора.31Свойства матриц линейных отображенийПри фиксированных базисах линейных пространств:1) матрица суммы линейных отображений равна сумме их матриц;2) матрица произведения линейного отображения на число равна произведениюматрицы отображения на то же самое число;3) матрица обратного отображения является обратной для матрицыотображения;4) матрица композиции C = B  A отображений равна произведению матрицотображений: C = BA .13.1.5. ЯДРО И ОБРАЗ ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯЯдром линейного отображения A : V → W называется множество таких векторовv ∈V , что A ( v ) = oW , т.е. множество векторов из V , которые отображаются в нулевой векторпространства W .

Ядро отображения A : V → W обозначается:Ker A = { v : v ∈ V , A ( v ) = oW }.Образом линейного отображения A : V → W называется множество образов A (v )всех векторов v из V . Образ отображения A : V → W обозначается Im A или A (V ) :Im A = A (V ) = { w : w = A (v ), ∀ v ∈ V } .Заметим, что символ Im A следует отличать от Im z – мнимой части комплексного числа.32Примеры ядер и образов линейных отображений1. Ядром нулевого отображения O : V → W является все пространство V , а образомслужит один нулевой вектор, т.е.

Ker O = V , Im O = { oW } .2. Рассмотрим отображение æ : V →  n , которое ставит в соответствие каждомувектору v n -мерного линейного пространства V его координатный столбец v = (v1  vn ) Tотносительно заданного базиса e1 ,…, e n . Ядром этого отображения является нулевой векторoV пространства V , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбецæ(oV ) = o ∈  n . Образ преобразования æ совпадает со всем пространством  n , так как этопреобразование сюръективно (любой столбец из  n является координатным столбцомнекоторого вектора пространства V ).3.

Рассмотрим отображение пр i : V3 →  , которое каждому вектору v трехмерногопространства V3 геометрических векторов ставит в соответствие алгебраическое значениепр i ( v ) = ( v , i ) длины его ортогональной проекции на ось, задаваемую вектором i , т.е.абсциссу вектора v . Ядром этого преобразования является множество векторов Lin( j, k ) ,перпендикулярных вектору i . Образом является все множество действительных чисел  .4. Рассмотрим отображение D : Pn ( ) → Pn −1 ( ) , которое каждому многочлену степенине выше n ставит в соответствие его производную.

Ядром этого отображения являетсямножество P0 ( ) многочленов нулевой степени, а образом – все пространство Pn −1 ( ) .33Свойства ядра и образа линейного отображения1. Ядро любого линейного отображения A : V → W является подпространством:{oV }  Ker A  V .2. Образ любого линейного отображения A : V → W является подпространством:Im A  W .Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейнымиподпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра:d = dim (Ker A ) , а рангом линейного отображения – размерность его образа:rg A = r = dim (Im A ) .3.

Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определеннойотносительно любых базисов).4. Линейное отображение A : V → W инъективно тогда и только тогда, когдаKer A = { oV } , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: d = dim (Ker A ) = 0 .5. Линейное отображение A : V → W сюръективно тогда и только тогда, когдаIm A = W , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространстваобразов: r = dim (Im A ) = dim W .6.

Линейное отображение A : V → W биективно (значит, обратимо) тогда и толькотогда, когда Ker A = {oV } и Im A = W одновременно.7. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения A : V → Wравна размерности пространства прообразов:dim (Ker A ) + dim (Im A ) = dim V .(13.3)8. Линейное отображение A : V → W биективно (значит, обратимо) тогда и толькотогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в видуневырожденность их матрицы).3413.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ОПЕРАТОРЫ)13.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙЛинейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства Vназывается линейное отображение A : V → V пространства V в себя.Поскольку линейное преобразование является частным случаем линейногоотображения, к нему применимы все понятия и свойства, рассмотренные для отображений:инъективность, сюръективность, биективность, обратимость, ядро, образ, дефект, ранг и т.д.Матрицей линейного преобразования A : V → V в базисе e1 ,…, en пространства Vназывается квадратная матрица A , составленная из координатных столбцов образовбазисных векторов A (e1 ) ,…, A (e n ) , найденных относительно базиса e1 ,…, en .Матрица биективного линейного преобразования обратима, т.е.

невырождена.Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.13.2.2. МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗНЫХ БАЗИСАХУкажем связь матриц одного и того же линейного преобразования в разных базисах.Пусть в базисе (e ) = (e1 ,..., e n ) преобразование A : V → V имеет матрицу A , а в базисе(e )( f ) = ( f1 ,..., f n ) – матрицу A . Если S – матрица перехода от базиса (e ) к базису ( f ) , то(f)A = S −1 A S .(f)(13.4)(e )Эта формула показывает, что матрицы линейного преобразования в разных базисахоказываются подобными (см. разд.6.2). И наоборот, любые две подобные матрицы являютсяматрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных35базисов..