Презентация 8. Структура решения СЛАУ (Лекции в виде презентаций), страница 4

Для любого подмножества M линейного пространства V линейная оболочкаLin(M ) является подпространством V и M ⊂ Lin(M )  V .6. Линейная оболочка Lin(L) подпространства L  V совпадает с подпространствомL , т.е. Lin(L) = L .2112.5.2. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ1. Пространство { o }, состоящее из одного нулевого вектора пространства V ,является подпространством, т.е.

{ o }  V .2. Пусть, как и ранее, V1 , V2 , V3 – множества геометрических векторов (направленныхотрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямаяпринадлежит плоскости, то V1  V2  V3 . Напротив, множество единичных векторов неявляется линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равноеединице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.3. В n -мерном арифметическом пространстве  n рассмотрим множество L"полунулевых" столбцов вида x = ( x1  x m 0  0)T с последними (n − m) элементами,равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е.операция сложения замкнута в L . Умножение "полунулевого" столбца на число дает"полунулевой" столбец, т.е.

операция умножения на число замкнута в L . Поэтому L   n ,причем dim L = m . Напротив, подмножество ненулевых столбцов  n не является линейнымподпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который непринадлежит рассматриваемому множеству.

Примеры других подпространств  nприводятся в следующем пункте.4. Пространство {Ax = o} решений однородной системы уравнений с n неизвестнымиявляется подпространством n -мерного арифметического пространства  n . Размерностьэтого подпространства определяется матрицей системы: dim{Ax = o} = n − rg A .Множество {Ax = b} решений неоднородной системы (при b ≠ o ) не являетсяподпространством  n , так как сумма двух решений неоднородной системы не будетрешением той же системы.225. В пространстве  n×n квадратных матриц порядка n рассмотрим два подмножества:n×nnмножество  симсимметрических матриц и множество  n×кососимметрических матриц (см.косразд.1.2.4).

Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операцияn×nсложения замкнута в  сим. Умножение симметрической матрицы на число также неn×nнарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в  сим.Следовательно, множество симметрических матриц является подпространствомn ×nпространства квадратных матриц, т.е  сим  n ×n . Нетрудно найти размерность этогоподпространства.

Стандартный базис образуют n матриц с единственным ненулевым(равным единице) элементом на главной диагонали, а также матрицы с двумя ненулевыми(равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали. Всего вбазисебудетn + (n − 1) + ... + 2 + 1 =n( n + 1)2матриц.Аналогично получаем, что  nкос×n   n×n и dim  nкос×n =Следовательно,n( n − 1)2n×ndim  сим==n(n + 1).2.Множество вырожденных квадратных матриц n -го порядка не являетсяподпространством  n×n , так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться1 0 0 0 1 0 +  =  .0 0 0 1 0 1невырожденной матрицей, например в пространстве  2×2 : 6.

В пространстве многочленов P ( ) с действительными коэффициентами можноуказать естественную цепочку подпространствP0 ( )  P1 ( )  P2 ( )  ...  Pn ( )  ...  P ( ) .Множество четных многочленов ( p( − x ) = p( x ) ) является линейным подпространством P ( ) ,так как сумма четных многочленов и произведение четного многочлена на число будутчетными многочленами. Множество нечетных многочленов ( p( − x ) = − p( x ) ) также являетсялинейным пространством.

Множество многочленов, имеющих действительные корни, неявляется линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов можетполучиться многочлен, который не имеет действительных корней, например( x 2 − x ) + ( x + 1) = x 2 + 1 .237. В пространстве C ( ) можно указать естественную цепочку подпространств:C ( )  C 1 ( )  C 2 ( )  ...

 C m ( )  ... .Многочлены из P ( ) можно рассматривать как функции, определенные на  . Так какмногочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любогопорядка, можно записать: P( )  С ( ) и Pn ( )  C m ( ) ∀ m, n ∈  .C m ( ) ,Пространство тригонометрических двучленов Tω ( ) является подпространствомпоскольку производные любого порядка функции f (t ) = = a sin ωt + b cos ωt непрерывны,т.е. Tω ( )  С m ( ) ∀ m ∈  .Множество непрерывных периодических функций не является подпространствомC ( ) , так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодическойфункцией, например sin t + sin(πt ) .2413. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ13.1.

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ13.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙПриведем основные определения, связанные с понятием отображения (функции,оператора).Пусть V и W – заданные множества. Говорят, что на множестве V определеноотображение (функция) f , если каждому элементу v ∈V поставлен в соответствиеединственный элемент f (v ) множества W . Такое соответствие называют такжеfотображением множества V в множество W и обозначают f : V → W , или V →W.Если отображение f элементу v ∈ V ставит в соответствие элемент w∈W , т.е. w = f (v ) , тоэлемент w называется образом v , а элемент v – прообразом w .Два отображения f : V → W и g : V → W называются равными, если f (v ) = g (v ) ∀ v ∈ V .Отображение f : V → W называется:инъективным, если разным элементам множества V соответствуют разные образы:v1 ≠ v2 ⇒ f ( v1 ) ≠ f ( v 2 ) ;сюръективным, если для каждого элемента из множества W имеется хотя бы одинпрообраз: ∀w ∈ W ∃ v ∈V : w = f (v ) ;биективным (взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективноодновременно.Сюръективное отображение называется также отображением множества V намножество W .25Композицией отображений g : U → V и f : V → W называется отображениеf  g : U → W , определяемое равенством ( f  g ) (u ) = f ( g (u )) .Отображение EV : V → V называется тождественным, если каждому элементумножества V ставится в соответствие этот же элемент: EV (v ) = v ∀ v ∈ V .Отображение f −1 : W → V называется обратным для отображения f : V → W ,еслииназываетсяf −1  f = EV : V → Vf  f −1 = EW : W → W .

Отображениеfобратимым, если для него существует обратное отображение. Необходимым идостаточным условием обратимости является условие биективности (взаимнойоднозначности) отображения.Пусть V и W – линейные пространства (над одним и тем же числовымполем). Отображение A : V → W называется линейным, если:1) A (v1 + v 2 ) = A (v1 ) + A (v 2 ) ∀ v1 ∈V , ∀ v 2 ∈V ;2) A (λ ⋅ v ) = λ ⋅ A (v ) ∀ v ∈V и любого числа λ (из данного числового поля).Условие 1 называется аддитивностью отображения, а условие 2 –однородностью. Пространство V называется пространством прообразов, апространство W – пространством образов.Заметим, что условия аддитивности и однородности можно заменить однимусловием линейности отображения:A (λ1v1 + λ 2 v 2 ) = λ1 A (v1 ) + λ 2 A (v 2 ) ∀ v1 ∈V , ∀ v 2 ∈Vи любых чисел λ1 и λ 2 из данного числового поля.2613.1.2.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙПусть A : V → W – линейное отображение.1. Линейное отображение A : V → W нулевому элементу oV пространства V ставитв соответствие нулевой элемент oW пространства W .2. При линейном отображении образ линейной комбинации является линейной k kкомбинацией образов: A  ∑ λ i vi  = ∑ λ i A (vi ) . i =1 i =13.

Если векторы v1 ,…, v k линейно зависимы, то их образы также линейно зависимы.4. Пусть A : V → W – сюръективное отображение пространства V на пространствоW и векторы w1 ,…, w k пространства W образуют линейно независимую систему. Тогда впространстве V существует такая линейно независимая система векторов v1 ,…, v k , чтоA ( vi ) = wi , i = 1,..., k .5.

При линейном сюръективном отображении A : V → W конечномерногопространства размерность пространства образов не превосходит размерностипространства прообразов, т.е. dim W ≤ dim V .6. Композиция линейных отображений является линейным отображением.7. Если линейное отображение A : V → W обратимое (взаимно однозначное), тообратное отображение A −1 : W → V – линейное.8. Линейное отображение конечномерного пространства однозначно задаетсяобразами базисных векторов.27Линейные операции над линейными отображениямиСуммой отображений A : V → W и B : V → W называется отображение ( A + B) : V → W ,определяемое равенством ( A + B)( v ) = A (v ) + B(v ) для всех v ∈ V .Произведением отображения A : V → W на число λ называется отображение(λ ⋅ A ) : V → W , определяемое равенством (λ ⋅ A )( v ) = λ ⋅ A ( v ) для всех v ∈ V .Сумма линейных отображений и произведение линейного отображения на числоявляются линейными отображениями.13.1.3.

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1. Обозначим O : V → W – нулевое отображение, которое ставит в соответствие любомувектору v ∈ V нулевой элемент oW пространства W . Условия аддитивности и однородноститакого отображения, разумеется, выполняются. Это отображение не является инъективным(разным прообразам v1 и v 2 соответствует один и тот же образ oW ) и сюръективным (из всехвекторов пространства W только у нулевого имеется прообраз). Поэтому нулевое отображениене является биективным и, следовательно, обратимым.2.