Презентация 3. Определители (Лекции в виде презентаций), страница 2

x − y = a + b . x = 3a + b , x + y = a − b ,3a + ba + 3b4Решая систему находим т.е.пр AM =,.пр MD = −2ABABa+3b44 x − y = a + b ,, y=−4128.3. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ8.3.1. БАЗИС НА ПРЯМОЙ. КООРДИНАТА ВЕКТОРА НА ПРЯМОЙБазисом на прямой называется любой ненулевой вектор e на этой прямой (рис.8.9).Этот вектор e называется базисным.Теорема о разложении вектора по базису на прямой.ea = x⋅el Любой вектор a , коллинеарный прямой, может быть разложенпо базису e на этой прямой, т.е.

представлен в виде a = x ⋅ e , гдеРис.8.9число x определяется однозначно.Коэффициент x в разложении называется координатой вектора a относительнобазиса e . Все ненулевые векторы, одинаково направленные с вектором e , имеютположительные координаты, а противоположно направленные – отрицательные. Координатанулевого вектора равна нулю.Пример 8.4. Даны векторы a = −2 ⋅ e и b = 4 ⋅ e , параллельные оси, задаваемойвектором e ≠ o . Требуется найти координаты векторов a + b ; − b ; a − b ; 3 ⋅ a + 2 ⋅ bотносительно базиса e , а также координату вектора a + b относительно базиса b . Используя свойства коллинеарных векторов, находим разложения по базису e :a + b = −2 ⋅ e + 4 ⋅ e = ( −2 + 4) ⋅ e = 2 ⋅ e ;− b = ( −1) ⋅ b = ( −1) ⋅ 4 ⋅ e = − 4 ⋅ e ;a − b = −2 ⋅ e − 4 ⋅ e = ( −2 − 4) ⋅ e = − 6 ⋅ e ;3 ⋅ a + 2 ⋅ b = 3 ⋅ ( −2 ⋅ e ) + 2 ⋅ ( 4 ⋅ e ) = [3 ⋅ ( −2) + 2 ⋅ 4]⋅ e = 2 ⋅ e .Поэтому a + b = 2 ⋅ e = 1 ⋅ b .

Заметим, что относительно базиса e2вектор a + bимееткоординату 2, а относительно базиса b – координату, равную 1 , т.е. вектор имеет неравныекоординаты относительно разных базисов. 2138.3.2. БАЗИС НА ПЛОСКОСТИ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИБазисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора e1 , e2 на этойплоскости, взятые в определенном порядке (рис.8.10).

Эти векторы e1 , e2 называютсябазисными.Теорема о разложении вектора по базису на плоскости. Любой вектор a ,принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису e1 , e2 на этой плоскости, т.е.представлен в виде a = x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 , где числа x1 и x2 определяются однозначно.Коэффициенты x1 и x2 в разложении называются координатами вектора aотносительно базиса e1 , e2 (число x1 называют абсциссой, а x2 – ординатой вектора a ).Например, числа 2 и − 3 являются координатами вектора a = 2 ⋅ e1 − 3 ⋅ e2 ( x1 = 2 – абсцисса,x2 = −3 – ордината).l2Базис на плоскости называется правым (или, что то жеx2 ⋅ e2самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называетсяaправой парой), если кратчайший поворот от первого вектора ковторому происходит против часовой стрелки (это направлениеe2поворота считается положительным).

Базисные векторы e1 , e2e1x1 ⋅ e1l1(рис.8.11,а) правого базиса расположены соответственно какРис.8.10большой и указательный пальцы правой руки, если смотреть на ееладонь.Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такойe1e2базис, у которого кратчайший поворот от вектора e1 к вектору e2происходит по часовой стрелке (такое направление вращенияO e2считается отрицательным). Базисные векторы e1 , e2 (рис.8.11,б) O e1аблевого базиса расположены соответственно как большой иРис.8.11указательный пальцы левой руки, если смотреть на ее ладонь.148.3.3. БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕБазисом в пространстве называются три некомпланарныхe3вектора e1 , e2 , e3 , взятые в определенном порядке (рис.8.13). Этивекторы e1 , e2 , e3 называются базисными.x3 ⋅ e3AТеорема о разложении вектора по базису в пространстве.Любой вектор a может быть разложен по базису e1 , e2 , e3 вaпространстве, т.е.

представлен в виде a = x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 + x3 ⋅ e3 , где числаl2x1 , x2 , x3 определяются однозначно.e2O x2 ⋅ e2Коэффициенты x1 , x2 , x3 в разложении называютсяx1 ⋅ e1координатами вектора a относительно базиса e1 , e2 , e3 (число x1e1 l1Рис.8.13называют абсциссой, x2 – ординатой, x3 – аппликатой вектора a ).Например, числа 3, 2, −1 являются координатами вектора a = 3 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 − e3 ( x1 = 3 – абсцисса,x2 = 2 – ордината, x3 = −1 – аппликата).Базис в пространстве называется правым (или, что то же самое,e1e2упорядоченная тройка некомпланарных векторов именуется правойOOe2тройкой), если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворотee3 1e3от первого вектора ко второму виден происходящим против часовойбаРис.8.14стрелки (рис.8.14,а).

Если описанный поворот виден происходящим почасовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторовименуется левой тройкой) (рис.8.14,б).l3158.3.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕТеоремы о разложении вектора по базису устанавливают взаимно однозначноесоответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат вданном базисе, а именно: между векторами на прямой и действительными числами, междувекторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами пространства иупорядоченными тройками чисел.Например, при фиксированном базисе (e ) = (e1 , e2 , e3 ) вектору a = x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 + x3 ⋅ e3однозначно соответствует упорядоченная тройка чисел x1 , x2 , x3 , и наоборот, каждойупорядоченной тройке чисел x1 , x2 , x3 соответствует вектор a = x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 + x3 ⋅ e3 , т.е.a ↔ (x1 , x2 , x3 ) .(e )Пример: если вектор a в базисе (e ) = (e1 , e2 , e3 ) имеет разложение a = 2 ⋅ e1 − 3 ⋅ e2 + 4 ⋅ e3 , то этомувектору соответствует тройка (2, − 3, 4) и наоборот.Нулевому вектору в любом базисе в пространстве соответствует нулевая тройка (0, 0, 0) .Координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матрицстрок), которые называются координатными столбцами (координатными строками).В базисе (e ) = (e1 , e2 , e3 ) вектору a = x1 ⋅ e1 + x2 ⋅ e2 + x3 ⋅ e3 соответствует координатныйстолбец x1  a =  x2  .(e )   x3 Обозначение базиса (e ) можно не указывать, если не возникаетнеоднозначности.Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над ихкоординатными столбцами.

Например, если в одном и том же базисе (e ) векторам a и bсоответствуют координатные столбцы a и b , то их линейной комбинации c = α ⋅ a + β ⋅ bсоответствует координатный столбец c = α ⋅ a + β ⋅ b , т.е. координатный столбец линейнойкомбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов.Замечание: на векторы и координатные столбцы переносятся понятия линейнойзависимости и линейной независимости систем столбцов, а также связанные с этими 16понятиями свойства.Пример 8.6. Векторы a и b относительно базиса e1 , e2 , e3 имеют координаты 2, 0, −3и 4, 2, −1 . Требуется найти координаты векторов a + b , a − b , 3 ⋅ a + 2 ⋅ b относительно того жебазиса. Запишем разложения по базису заданных векторов:a = 2 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 − 3 ⋅ e3 ;b = 4 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 − 1 ⋅ e3 .Используя свойства линейных операций, находим разложения по базису e1 , e2 , e3 искомыхвекторов:a + b = (2 + 4) ⋅ e1 + (0 + 2) ⋅ e2 + (− 3 − 1) ⋅ e3 = 6 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 − 4 ⋅ e3 ;a − b = (2 − 4) ⋅ e1 + (0 − 2) ⋅ e2 + (− 3 + 1) ⋅ e3 = −2 ⋅ e1 − 2 ⋅ e2 − 2 ⋅ e3 ;3 ⋅ a + 2 ⋅ b = 3 ⋅ (2 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 − 3 ⋅ e3 ) + 2 ⋅ (4 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 − 1 ⋅ e3 ) == (3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4) ⋅ e1 + (3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2) ⋅ e2 + [3 ⋅ (− 3) + 2 ⋅ (− 1)]⋅ e3 = 14 ⋅ e1 + 4 ⋅ e2 − 11 ⋅ e3 .Следовательно, векторы a + b , a − b , 3 ⋅ a + 2 ⋅ b имеют координаты 6, 2, − 4 ; −2 , −2 , −2 ;14, 4, −11 соответственно.Вычислим искомые координаты, используя матричную форму записи.

Векторам a иb (в заданном базисе) соответствуют координатные столбцы 2  a = 0 , − 3 4 b = 2 . − 1 Находим координатные столбцы векторов a + b , a − b , 3 ⋅ a + 2 ⋅ b : 2  4  6  2   4   − 2          a+b = 0 + 2  = 2 ;a − b =  0  −  2  =  − 2 ; − 3   − 1  − 4            − 3   − 1  − 2  2  4   14    3⋅ a + 2 ⋅b = 3⋅ 0  + 2⋅ 2  =  4  . − 1  − 11 − 3   Результаты совпадают. 178.3.5.