Angem_ch_4 (Все лекции по АнГему), страница 3

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).4.7.11.1. Матричный способ.Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравненийì a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ;ïïïa21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 ;íï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ïïî an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn .(4.2)Вводя в рассмотрение матрицу коэффициентов системы A , столбец неизвестных Xи столбец свободных членов Bæ a11 a12 ... a1n öç÷ç a21 a22 ...

a2 n ÷÷,A= çç.............÷ç÷ça a÷è n1 n 2 ... ann øæ x1 öç ÷ç x2 ÷X = ç ÷,çM ÷ç ÷çx ÷è nøæ b1 öç ÷ç b2 ÷B = ç ÷,çM÷ç ÷çb ÷è nøПерепишем систему уравнений (4.2) в виде матричного уравнения AX = B . Отсюдарешение СЛАУ имеет видX = A -1 B .(4.3)4.7.11.2. Формулы Крамера.Заметим, что непосредственно из формулы (4.3) вытекают формулы Крамера.Обозначим D = det ( A ) и запишем решение (4.3) в явном виде:a11 ...

a1 j -1 b1 a1 j +1 a1 nxj =1 n1 a21 ... a 2 j -1 b2 a 2 j +1 a2 n D jAb=å ki kj D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = D ,D k= 1j = 1, n .an1 ... anj -1 bn anj +1 annВеличина D j по традиции служит для обозначения определителя, у которогостолбец j заменен на столбец свободных членов системы.Замечание. Матричный способ и формулы Крамера применимы лишь для СЛАУ вслучае невырожденной квадратной матрицы системы det ( A ) ¹ 0 .§4.8.

Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.Заметим, что строки и столбцы матрицы можно рассматривать как арифметическиевекторы размеров m и n, соответственно. Таким образом, матрицу размеров m ´ nможно интерпретировать как совокупность m n-мерныхили nm-мерныхарифметических векторов. По аналогии с геометрическими векторами введем понятиялинейной зависимости и линейной независимости строк и столбцов матрицы.4.8.1. Определение. Строка B = ( b1 ; b2 ;...; bn ) называется линейной комбинациейстрокA1 = ( a11 ; a12 ;...; a1n ) , A2 = ( a 21 ; a 22 ;...; a2 n ) ,..., Ak = ( ak 1 ; ak 2 ;...; akn )скоэффициентами a1 , a 2 ,..., a k , если для всех элементов этой строки справедливоравенство:b j = a 1 a1 j + a 2 a 2 j + ...

+ a k a kj ,j = 1, n .4.8.2. Определение.Строки A1 = ( a11 ; a12 ;...; a1n ) , A2 = ( a21 ; a22 ;...; a2 n ) ,..., Ak = ( ak1 ; ak 2 ;...; akn )называютсялинейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация,равная нулевой строке, т.е. существуют такие не все равные нулю числа$a1 , a 2 ,..., a k Îa12 + a 22 + ... + a k2 ¹ 0,a1a1 j + a 2 a2 j + ... + a k akj = 0 , j = 1, n .4.8.3. Определение.Строки A1 = ( a11 ; a12 ;...; a1n ) , A2 = ( a21 ; a22 ;...; a2 n ) ,..., Ak = ( ak1 ; ak 2 ;...; akn )называютсялинейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация равнанулевой строке, т.е.Þ a1 = a 2 = ...

= a k = 0.a1a1 j + a 2 a2 j + ... + a k akj = 0 , j = 1, n4.8.4. Теорема. (Критерий линейной зависимости строк матрицы)Для того, чтобы строки A1 = ( a11 ; a12 ;...; a1n ) , A2 = ( a21 ; a22 ;...; a2 n ) ,..., Ak = ( ak1 ; ak 2 ;...; akn )были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из нихбыла линейной комбинацией остальных.Доказательство:Необходимость. Пусть строки A1 , A2 ,..., Ak линейно зависимы, тогда существует ихнетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке:a1a1 j + a 2 a2 j + ... + a k akj = 0, j = 1, n .Без ограничения общности предположим, что первый из коэффициентов линейнойкомбинации отличен от нуля (в противном случае можно перенумеровать строки).Разделив это соотношение на a1 , получимaaa1 j = - 2 a2 j - ...

- k akj , j = 1, n ,a1a1то есть первая строка является линейной комбинацией остальных.Достаточность. Пусть одна из строк, например,комбинацией остальных, тогдаakj = l1a1 j + ... + lk -1ak -1 j ,j = 1, nAk ,является линейнойто есть существует нетривиальная линейная комбинация строк A1 , A2 ,..., Ak , равнаянулевой строке:l1a1 j + ... + lk -1ak -1 j - akj = 0,а значит, строки A1 , A2 ,..., Ak линейно зависимы, что и требовалось доказать.Замечание.Аналогичные определения и утверждения могут быть сформулированы и длястолбцов матрицы.§4.9. Ранг матрицы.4.9.1. Определение.

Минором порядка r матрицы A размера m ´ n называетсяопределитель порядкаr с элементами, расположенными на пересечениинекоторых ее r строк и r столбцов.4.9.2. Определение. Отличный от нуля минор порядка r матрицы A размера m ´ nназывается базисным минором, если все миноры матрицы порядка r + 1 равнынулю.Замечание.

Матрица может иметь несколько базисных миноров. Очевидно, что всеони будут одного порядка. Также возможен случай, когда у матрицы A размераm ´ n минор порядка r отличен от нуля, а миноров порядка r + 1 не существует, тоесть r = min {m; n} .4.9.3. Определение.

Строки (столбцы), образующие базисный минор, называютсябазисными строками (столбцами).4.9.4. Определение. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Рангматрицы A обозначается rank ( A ) или Rg ( A ) .Замечание.Отметим, что в силу равноправности строк и столбцов определителя ранг матрицыне меняется при ее транспонировании.4.9.5. Теорема.

(Инвариантность ранга матрицы относительно элементарныхпреобразований)Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.Без доказательства.4.9.6. Теорема. (О базисном миноре).Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Всякая строка (столбец) матрицыможет быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк(столбцов).Доказательство:Проведем доказательство для строк. Доказательство утверждения для столбцовможет быть проведено по аналогии.Пусть ранг матрицы A размеров m ´ n равен r , а M r − базисный минор. Безограничения на общность предположим, что базисный минор расположен в левомверхнем углу (в противном случае можно привести матрицу к этому виду с помощьюэлементарных преобразований):a11 a12 ...

a1 rMr =a 21 a 22... a 2 r.............a r1 a r 2.... a rrДокажем сначала линейную независимость базисных строк. Доказательствопроведем от противного. Предположим, что базисные строки линейно зависимы.Тогда согласно теореме 4.8.4 одна из строк может быть представлена в виделинейной комбинации остальных базисных строк. Следовательно, если вычесть изэтой строки указанную линейную комбинацию, то мы получим нулевую строку, аэто означает, что минор M r равен нулю, что противоречит определению базисногоминора. Таким образом, мы получили противоречие, следовательно, линейнаянезависимость базисных строк доказана.Докажем теперь, что всякая строка матрицы может быть представлена в виделинейной комбинации базисных строк.

Если номер рассматриваемой строки k от 1до r,то тогда, очевидно, она может быть представлена в виде линейнойкомбинации c коэффициентом, равным 1 при строке k и нулевымикоэффициентами при остальных строках. Покажем теперь, что если номер строки kот r + 1 до m , она может быть представлена в виде линейной комбинации базисныхстрок. Рассмотрим минор матрицы M r +1 , полученный из базисного минора M rдобавлением строки k и произвольного столбца jM r +1 =a11 a12... a1 ra1 ja 21 a 22... a 2 ra2 j( j = 1, n ) :................. .ar 1 ar 2...

a rra rjak 1 a k 2... a kra kjПокажем, что данный минор M r +1 равен нулю для любого номера строки k от r + 1до m и для любого номера столбца j от 1 до n .Действительно, если номер столбца j от 1 до r, то имеем определитель с двумяодинаковыми столбцами, который, очевидно, равен нулю. Если же номер столбца jот r+1 до n , а номер строки k от r + 1 до m , то M r +1 является минором исходнойматрицы большего порядка, чем базисный минор, а это означает, что он равен нулюиз определения базисного минора.

Таким образом, доказано, что минор M r +1 равеннулю для любого номера строки k от r + 1 до m и для любого номера столбца j от 1до n . Разлагая его по последнему столбцу, получим:l1a1 j + l2 a2 j + ... + lr arj + lr +1akj = 0, j = 1, n.Здесь l1 , l 2 , ..., l r + 1 − соответствующие алгебраические дополнения. Заметим, чтоlr +1 = ( -1) M r ¹ 0 , так как следовательно, M r является базисным минором.Следовательно, элементы строки k могут быть представлены в виде линейнойk+ jкомбинации соответствующих элементов базисных строк с коэффициентами, независящими от номера столбца j :akj = a1a1 j + a 2 a2 j + ... + a r arj ,j = 1, n,где a p =( -1)k+ jlp, p = 1, r.MrТаким образом, мы доказали, что произвольная строка матрицы может бытьпредставлена в виде линейной комбинации ее базисных строк.

Теорема доказана.Лекция 134.9.7. Теорема. (О ранге невырожденной квадратной матрицы)Для того, чтобы квадратная матрица являлась невырожденной, необходимо идостаточно, чтобы ранг матрицы равен размеру этой матрицы.Доказательство:Необходимость. Пусть квадратная матрица A размера n является невырожденной,тогда det ( A ) ¹ 0 , следовательно, определитель матрицы является базиснымминором, т.е. rank ( A ) = n.Достаточность. Пусть rank ( A ) = n, тогда порядок базисного минора равен размеруматрицы, следовательно, базисным минором является определитель матрицы A ,т.е. det ( A ) ¹ 0 по определению базисного минора.Следствие.Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо идостаточно, чтобы ее строки были линейно независимыми.Доказательство:Необходимость.