Angem_ch_4 (Все лекции по АнГему), страница 2

Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на единичную матрицу)Умножение всякой квадратной матрицы на единичную матрицу того же размераслева или справа не меняет исходную матрицу.Доказательство:Рассмотрим квадратную матрицу A размера n. ОбозначимB = AE, C = EA,где E − единичная матрица размера n. Тогдаnbij = å aik ekj = aij ,k =1ncij = å eik akj = aij .k =1Следовательно, AE = EA = A , что и требовалось доказать.4.3.4.

Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на скалярную матрицу)Пусть A − квадратная матрица размера n, а C − скалярная матрица того жеразмера. Тогда AC = CA.Доказательство:Из определения скалярной матрицы вытекает, что она может быть представлена ввиде произведения некоторого числа на единичную матрицу, т.е. C = a E , a Î .Следовательно, согласно предыдущей теореме 4.4.3AC = Aa E = a A, CA = a EA = a A,что и доказывает теорему.4.3.5.

Теорема. (Об умножении диагональных матриц)Пусть A, B − диагональные квадратные матриця размера n, тогда AB = BA.Доказательство:Обозначим F = AB, G = BA. Покажем, что эти матрицы равны:nni ¹ j;i ¹ j;ì0,ì0,fij = å aik bkj = ígij = å bik akj = ík =1k =1î aii bii , i = j;î aii bii , i = j;что и требовалось доказать.4.3.6. Теорема. (Об определителе произведения квадратных матриц)Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителейэтих матриц.det ( AB ) = det ( A ) × det ( B ) .Без доказательства.Лекция 11.§4.4. Элементарные преобразования матриц.4.4.1.

Определение. Элементарными называются следующие преобразованияматриц:· перестановка строк местами;· умножение строки на отличное от нуля число;· прибавление к каждому элементу строки соответствующего элемента другойстроки;· те же преобразования столбцов.4.4.2. Определение.

Матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из нихможет быть получена из другой с помощью элементарных преобразований.4.4.3. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарныхпреобразований строк.1. Выбираем текущий элемент. Начинаем с элемента, расположенного в левомверхнем углу матрицы. Если он равен нулю, то просматриваем элементы,расположенные под текущим элементом. Если среди них нет ненулевых элементов,то смещаемся на 1 элемент вправо и т.д. Если же среди элементов, расположенныхпод рассматриваемым элементом, есть ненулевой, то меняем местами строки так,чтобы текущий элемент был отличен от нуля.2.

На предыдущем этапе алгоритма мы добились того, чтобы текущий элемент былотличен от нуля. Теперь просматриваем элементы, расположенные в столбце подтекущим ненулевым элементом: если среди них есть ненулевые, то с помощьюэлементарных преобразований соответствующих строк обращаем их в нули.3. Если в столбце под текущим ненулевым элементом расположены лишь нулевыеэлементы, то смещаемся на один столбец вправо и на одну строку вниз. И так далее.Замечание.Так как число строк и столбцов матрицы конечно, то алгоритм может бытьреализован за конечное число шагов.Пример.Приведем матрицустрок:æ 0 1 2 3öç÷A = ç 2 1 -2 1 ÷ç -3 2 1 6 ÷èøк ступенчатому виду с помощью элементарных преобразованийæ I « II öç÷ç II « I ÷ç 2 × III + 3 × II ÷èøIæ 2 1 -2 1 ö æöç÷ ç÷IIç0 1 2 3÷ ç÷ç 0 7 -4 9 ÷ ç III + ( -7) × II ÷èø èøæ 2 1 -2 1 öç÷3 ÷.ç0 1 2ç 0 0 -18 12 ÷èø§4.5.

Блочные матрицы4.5.1. Определение. Пусть матрицаA = ( aij )m´nс помощью горизонтальных ивертикальных линий разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая изкоторых в свою очередь является матрицей меньших размеров. Тогда всякая клетканазывается блоком исходной матрицы, а сама матрица называется блочной.Пример.Замечание.Основныеоперации(сложение,умножениеначисло,умножение,транспонирование), в случае, если они определены, будут выполняться для блоковтак же, как и для элементов обычных матриц.§ 4.6. Прямая сумма квадратных матриц.4.6.1.

Определение. Прямой суммой квадратных матриц A размера m и B размера nназывается блочная матрица C = A Å B размера m + n вида4.6.2. Теорема. (Свойства операции прямой суммы квадратных матриц)Для произвольных квадратных матриц A, B и C справедливо:1. A Å ( B Å C ) = ( A Å B ) Å C.Для произвольных квадратных матриц Am , Bm размера m и матриц An , Bn размера nимеют место следующие свойства:2. ( Am Å An ) + ( Bm Å Bn ) = ( Am + Bm ) Å ( An + Bn ) ;3.

( Am Å An ) × ( Bm Å Bn ) = ( Am × Bm ) Å ( An × Bn ) .Доказательство:§4.7. Обратная матрица4.7.1. Определение. Пусть A − квадратная матрица размера n , E − единичнаяматрица того же размера. Матрица B называется левой обратной по отношению кA , если BA = E . Матрица C называется правой обратной по отношению к A , еслиAC = E .4.7.2. Теорема.

(О единственности обратной матрицы)Если для квадратной матрицы A существуют ее левая и правая обратныематрицы, то они совпадают.Доказательство:Пусть B − правая, а C − левая обратные матрицы для матрицы. ТогдаC = EC = BAC = BE = B.Замечание. Поскольку левая и правая обратные матрицы совпадают, то имеет смыслввести понятие обратной матрицы, т.е. B = C = A-1 .

Таким образом, матрица A-1называется обратной по отношению к матрице A , если AA-1 = A-1 A = E.4.7.3. Определение. Квадратная матрица A , у которой существует обратная матрицаA-1 , называется обратимой.4.7.4. Определение. Квадратная матрица A , определитель которой отличен от нуля,называется невырожденной. В противном случае матрица A называетсявырожденной.4.7.5. Теорема.

(Критерий существования обратной матрицы)Для того, чтобы квадратная матрица Aдостаточно, чтобы она была невырожденной.была обратимой, необходимо иДоказательство:Необходимость.Пусть матрица A обратима, следовательно, существует обратная матрицаТогда по теореме 4.3.6 об определителе произведения квадратных матрицdet ( A ) × det ( A-1 ) = det ( AA-1 ) = det ( E ) = 1,A-1 .следовательно, det ( A ) ¹ 0 , то есть матрица A является невырожденной.Достаточность.Пусть теперь матрица A является невырожденной, то есть det ( A ) ¹ 0 .Рассмотрим матрицуæ A11 A21 ... An1 öç÷ç÷AA...A1222n21÷,B=×ç(4.1)det ( A) ç .

. . . . . . . . . . . . ÷ç÷ç A A ... A ÷è 1n 2 nnn øгде Aij − алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A . Покажем, что матрицаB является обратной по отношению к матрице A . Рассмотрим их произведениеC = AB :nìï0, i ¹ j;1cij =aA=å ik jk ídet ( A) k =1ïî1, i = j.Следовательно, произведение матрицы A на B равно единичной матрице.Аналогично показывается, что произведение матрицы B на A есть единичнаяматрица, а это означает, что матрица B является обратной по отношению к матрицеA.Теорема доказана.4.7.6. Определение. Матрица, являющаяся транспонированной по отношению кматрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементовматрицы A , называется присоединенной для матрицы A и обозначается AÚ .Замечание.

Метод нахождения обратной матрицы с помощью формулы (1)называется методом присоединенной матрицы.Пример.æ -1 2 5 öç÷Найдем обратную матрицу для матрицы A = ç 10 4÷ .ç÷ç 3 -2 0 ÷èøВычисляем присоединенную матрицу и определитель исходной матрицы:æ 8 -10 8 öç÷AÚ = ç 12 -15 9 ÷ ,det ( A ) = 6 ,ç÷ç -2 4 -2 ÷èøследовательно,æ 8 -10 8 ö÷1çA-1 = ç 12 -15 9 ÷ .6ç÷ç -2 4 -2 ÷èø4.7.7. Теорема.

(Об обратной матрице произведения матриц)Матрица, обратная произведению двух матриц, равна произведению их обратныхматриц, взятых в обратном порядке:( AB )-1= B -1 A -1 .Доказательство:Пусть A, B − невырожденные квадратные матрицы одного порядка. Тогда потеореме 4.3.6 об определителе произведения квадратных матриц их произведениеAB также является невырожденной матрицей. Следовательно, по теореме 4.7.5-1существуют обратные матрицы A-1 , B -1 , ( AB ) . Рассмотрим произведениеB -1 A-1 ( AB ) = B -1 ( A-1 A ) B = B -1B = E.Аналогично( AB ) B -1 A-1 = A-1 ( BB -1 ) A = A-1 A = E.Следовательно, матрица B -1 A-1 является обратной по отношению к произведениюматриц AB .4.7.8. Теорема.

(О матрице, обратной к транспонированной матрице)Если квадратная матрица обратима,транспонированная матрица, причемтоиобратимойявляетсяиее(A )T-1= ( A -1 ) .TДоказательство:Очевидно, что матрица при транспонировании остается невырожденной,следовательно, у нее существует обратная матрица. Легко проверить, что(A )-1 TAT = ( AA-1 ) = E T = E ;AT ( A-1 ) = ( A-1 A ) = E T = E ,TTTчто и доказывает утверждение теоремы.Лекция 124.7.9. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.Обратную матрицу можно также найти с помощью элементарных преобразованийстрок исходной матрицы A . Для этого требуется составить блочную матрицу ( A E ) ,а затем с помощью элементарных преобразований строк привести эту блочнуюматрицу к виду ( E B ) .

Полученная матрица B и будет обратной по отношении кматрице A .Пример.æ1çç0Найдем обратную матрицу для матрицы A = çç0çç0èПреобразуем блочную матрицу ( A E )æ1çç0ç(A E ) = ç0çç0è120100111010012001001000æ1çç0çç0çç0è1201001100100100010010001 2 0ö÷1 1 1÷÷.0 1 2÷÷0 0 1 ÷ø0 ö÷0 ÷÷÷0÷1 ÷øö÷-1 ÷÷-2 ÷÷1 ø÷0Iæöç÷ç II - IV ÷ç÷ç III - IV × 2 ÷ç÷ç÷IVèøæ I - III - IVçç II - IIIççIIIççIVèö÷÷÷÷÷÷øæ1çç0çç0çç0è0001 -1 -1ö÷-1 -1 ÷÷ = E A -1 .1 -2 ÷÷01 ÷ø1000101000001003()Таким образом,A -1æ 1 -1 -1 3 öç÷ç 0 1 -1 1 ÷÷.=çç 0 0 1 -2 ÷ç÷ç0 0 0 1 ÷èø4.7.10. Решение матричных уравнений.Рассмотрим основные виды матричных уравнений:AX = B ,XA = B ,где A − квадратная невырожденная матрица.Решением матричного уравнения называется такая матрица X , которая приподстановке в матричное уравнение обращает его в тождество.Умножим обе части уравнения AX = B слева на обратную матрицу A-1 :A-1 AX = A-1B ,откудаX = A -1 B .Аналогично, при умножении обеих частей уравнения XA = B справа на матрицу A-1 ,найдем решениеX = BA-1 .Замечание.Для уравнения AXB = C , где A , B − квадратные невырожденные матрицысоответствующих размеров решение имеет вид:X = A-1CB -1 .4.7.11.