Angem_ch_4 (Все лекции по АнГему), страница 4

Так как квадратная матрица является невырожденной, то ее рангравен размеру матрицы rank ( A ) = n, то есть определитель матрицы являетсябазисным минором. Следовательно, по теореме 4.9.6 о базисном миноре строкиматрицы являются линейно независимыми.Достаточность. Так как все строки матрицы линейно независимы, то ее ранг неменьше размера матрицы, а значит, rank ( A ) = n, следовательно, по предыдущейтеореме 4.9.7 матрица A является невырожденной.4.9.8.

Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.Заметим, что частично этот метод уже был неявно описан в доказательстве теоремыо базисном миноре.4.9.8.1. Определение. Минор M 1 называется окаймляющим по отношению к миноруM 0 , если он получен из минора M 0 добавлением одной новой строки и одногонового столбца исходной матрицы.4.9.8.2. Процедура нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров.1. Находим какой-либо текущий минор матрицы отличный от нуля.2. Вычисляем все окаймляющие его миноры.3. Если все они равны нулю, то текущий минор является базисным, и рангматрицы равен порядку текущего минора.4.

Если среди окаймляющих миноров находится хотя бы один отличный от нуля,то он полагается текущим и процедура продолжается.Пример.Найдем с помощью метода окаймляющих миноров ранг матрицыæ 5çç -2A=çç 12çç - 11è-21ö÷-3 1 2 ÷÷.-1 -1 0 ÷÷- 7 3 5 ÷ø0Легко указать текущий минор второго порядка, отличный от нуля, например,0 1M2 =¹ 0.1 2Вычисляем окаймляющие его миноры:20-3 112 = 0,-1 -1 05012-212 = 0,- 3 1 2 = 0,- 2 1 2 = 0.-7 3 5- 11 3 512 - 1 00 150 1Следовательно, так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, томинор M2 является базисным, то есть rank ( A ) = 2.Замечание. Из рассмотренного примера видно, что метод является достаточнотрудоемким.

Поэтому на практике гораздо чаще используется метод элементарныхпреобразований, речь о котором пойдет ниже.4.9.9. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.На основании теоремы 4.9.5 можно утверждать, что ранг матрицы не меняется приэлементарных преобразованиях (то есть ранги эквивалентных матриц равны).Поэтому ранг матрицы равен рангу ступенчатой матрицы, полученной из исходнойэлементарными преобразованиями. Ранг же ступенчатой матрицы, очевидно, равенколичеству ее ненулевых строк.Пример.Определим ранг матрицыæ 2 -1çç0 1A=çç 3 -1çç3 1èметодом элементарных преобразований.0 ö÷2 -1÷÷2 3 ÷÷6 1 ÷ø1Приведем матрицу A к ступенчатому виду:æ 2 -1 1 0 öç÷ç 0 1 2 -1÷ç÷ç 3 -1 2 3 ÷ç÷ç3 1 6 1 ÷èøIæöç÷ç÷IIç÷ç III × 2 - I × 3 ÷ç÷ç IV - III ÷èøæ 2 -1çç0 1çç0 1çç0 2è0 ö÷2 -1 ÷÷1 6 ÷÷4 - 2 ÷ø1Iæöç÷ç÷IIç÷ç III - II ÷ç÷ç IV - II × 2 ÷èøæ 2 -1 1 0 öç÷ç 0 1 2 -1 ÷ç÷ç 0 0 -1 7 ÷ç÷ç0 0 0 0 ÷èøКоличество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно трем,следовательно, rank( A) = 3.4.9.10.

Ранг системы векторов линейного пространства.r rrРассмотрим систему векторов x1 , x2 ,..., xn некоторого линейного пространства L .Если она является линейно зависимой, то в ней можно выделить линейнонезависимую подсистему.r rr4.9.10.1. Определение. Рангом системы векторов x1 , x2 ,..., xn линейногопространства L называется максимальное количество линейно независимыхr rrвекторов этой системы. Ранг системы векторов x1 , x2 ,..., xn обозначается какr rrrank { x1 , x2 ,..., xn } .Замечание.

Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количествувекторов системы.Сформулируем теорему, показывающую связь понятий ранга системы векторовлинейного пространства и ранга матрицы.4.9.10.2. Теорема. (О ранге системы векторов линейного пространства)Ранг системы векторов линейного пространства равен рангу матрицы, столбцамиили строками которой являются координаты векторов в некотором базиселинейного пространства.Без доказательства.Следствие.Для того, чтобы система векторов линейного пространства являлась линейнонезависимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, столбцами илистроками которой являются координаты векторов в некотором базисе, был равенколичеству векторов системы.Доказательство очевидно.4.9.10.3. Теорема (О размерности линейной оболочки).r rrРазмерность линейной оболочки векторов x1 , x2 ,..., xn линейного пространства Lравна рангу этой системы векторов:r rrr rrdim span { x1 , x2 ,..., xn } = rank { x1 , x2 ,..., xn } .Без доказательства..