Angem_ch_1 (773294)
Текст из файла
Лекция 1.Глава 1. Векторная алгебраВ этой главе мы приведем сведения о геометрических векторах и операциях надними, включая векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трехвекторов.§1.1. Основные определения.1.1.1. Определение. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная параточек. Начало вектора также называется точкой его приложения.Замечание.Упорядоченным множеством называется множество элементов, взятых в определенном®порядке. Обозначать векторыодним из следующих способов: АВ (А – начальнаяuuur принятоrточка, В – конечная точка), AB , a , и т.д.
Чтобы отличить векторную величину от скалярнойвеличины, сверху используется черта (или стрелочка). Скалярной называется величина,характеризующаяся только своим численным значением (примеры: объем, температура,масса и т.д.). Для описания других объектов необходимо задавать не только их численноезначение, но и направление (сила, скорость и т.д.); такие объекты называются векторнымивеличинами.1.1.2.
Определение. Нулевым вектором или нуль-вектором называется вектор, начало иконец которого совпадают.Замечание.Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-векторrбудем обозначать 0 .1.1.3. Определение.Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется®rрасстояние между его началом и его концом. Обозначение: АВ , а . Естественно, 0 = 0 .1.1.4. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на однойили на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существуетпрямая, которой они параллельны.
Коллинеарность обозначается символомr rпараллельности: a || b . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он неr r rимеет определенного направления: "a 0 || a .Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть(a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначатьrra b ;(б) противонаправленными (имеющими противоположное направление), что мы будемrrобозначать a ¯ b .Замечание.Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противонаправленности:r rrrrr1. Если a b , b c , то a c ;r rrrrr2. Если a b , b ¯ c , то a ¯ c ;r rrrrr3. Если a ¯ b , b c , то a ¯ c ;rrrrrr4.
Если a ¯ b , b ¯ c , то a c .1.1.5. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость,которой они параллельны.1.1.6. Определение. Два вектора называютсясонаправлены и имеют равные длины.равными,еслиониколлинеарны,Замечание 1.Все нулевые векторы равны между собой.Замечание 2.Введем понятия связанного, скользящего и свободных векторов. Связанным называетсявектор, имеющий фиксированное начало и конец. Скользящим вектором называетсямножество всех связанных векторов, равных данному, начала которых расположены наодной и той же прямой.
Свободным вектором называется множество всех связанныхвекторов, равных данному. Таким образом, скользящий вектор может быть перенесен вдольпрямой, на которой он лежит, а свободный вектор может быть отложен из любой заданнойточки. Понятие свободного вектора является наиболее общим, так как любой связанныйили скользящий вектор может быть представлен в виде разности двух свободных векторов.1.1.7. Определение. Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которогоравна единице.r1.1.8.
Определение. Ортом вектора a называется единичный вектор, сонаправленный сrrrвектором a . Орт вектора a будем обозначать a0 .1.1.9. Определение. Углом между ненулевыми векторами называется угол междупрямыми, на которых расположены данные векторы.1.1.10. Определение. Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называютсяортогональными.r1.1.11. Определение.Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором a иrпротивонаправленный ему, будем называть противоположным вектору a и обозначатьuuuruuurrrr- a . Если a = AB , то -a = BA .§1.2.
Линейные операции над векторами.1.2.1. Определение. Линейными операциями над векторами назовем операции сложениядвух векторов и умножения вектора на скаляр (число).rrr rrb1.2.2. Определение. Суммой a + b двух векторов a и b назовемrrвектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b .rar ra+b1.2.3. Правила сложения векторов.Рис.
1.1а) Правило треугольника (Рис. 1.1)rrВектор b прикладывается к концу вектора a . Тогда суммаr rrвекторов a + b будет вектор, идущий из начала вектора a вrконец вектора b .б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2)rrСтроим на векторах a и b параллелограмм. Тогда суммойr rвекторов a + bбудет диагональ параллелограмма,r rвыходящая из общего начала векторов a и b .Замечание.rПравило треугольника легко распространить на a1случай большего количества суммируемых векторов.В этом случае это правило называется правиломмногоугольника (Рис. 1.3 ).rbrar ra+bРис. 1.2ra3ra2r r rra1 + a2 + a3 + ...
+ anB1.2.4. Теорема. (Свойства операции сложения векторов)2.3.4.rar rr r r r r r"a , b Î Va + b = b + a a , b (коммутативность);r r rr r r r r r"a , b , c ÎV a + b + c = a + b + c (ассоциативность);r r rr"a ÎVa+0= a;rr rr r"a Î V $ ( - a ) a + ( - a ) = 0 .()((())(()rar ra+b)Доказательство:rr1. Рассмотрим сумму векторов a и b , используя правилопараллелограмма. Из Рис. 1.4r r uuur uuur uuur uuur uuur r ra + b = AB + BC = AC = AD + DC = b + a .2.
Из Рис. 1.5.r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuura + b + c = AB + BC + CD = AB + BD = AD;r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuura + b + c = AB + BC + CD = AC + CD = AD.CrbРис. 1.3Обозначим множество свободных векторов через V .1.ranrbADРис. 1.4BrbCrcra)AРис. 1.5Dr r uuur uuur uuur r3. Третье свойство очевидно: a + 0 = AB + BB = AB = a .rr uuur uuur uuur rr uuurr uuur4. Пусть a = AB. Положим -a = BA. Тогда a + ( -a ) = AB + BA = AA = 0.r rr rr1.2.5. Определение.
Разностью b - a двух векторов a и b назовем вектор c , для которогоrr ra+c =b.1.2.6. Правило вычитания векторов.r rr rrРазностью векторов b - a двух векторов a и b является вектор c ,rrидущий из конца второго вектора a в конец первого вектора b (Рис.1.6).Замечание.r rb -ararbРис. 1.6r r rrОчевидно, что b - a = b + ( -a ) .r1.2.7. Определение. Произведением вектора a на действительное число a Îrназывается вектор b , удовлетворяющий следующим условиям:rr1. b = a × a ;r r2.
b || a ;rrrr3. b a при a > 0 и b ¯ a при a < 0 .1.2.8. Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов).rrДля того, чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобыrrсуществовало действительное число a , что b = a a .Доказательство:Необходимость.r rrrПусть a || b . Рассмотрим вектор c = a a , где число a выберем следующим образом: еслиrrbbrrrrrr rr rra b , то a = r ; если a ¯ b , то a = - r . Очевидно, c = b , так как c = b и c b . Такимaarrобразом, мы указали число a , для которого b = a a .Достаточность.rrr rЕсли b = a a , то из определения 1.2.7, очевидно, вытекает коллинеарность векторов a и b .1.2.9. Теорема.
(Свойства операции умножения вектора на число)rrr"a ÎV a ( b a ) = (ab ) arrrr"a , b Î "a ÎV (a + b ) a = a a + b arr rr rr"a Î "a, b ÎV a a + b = aa + abrr r"a ÎV1× a = a ;rrr"a ÎV( -1) × a = -a ;r rr"a ÎV0×a = 0;r ra ×0 = 0."a Î1. "a , b Î2.3.4.5.6.7.(Доказательство этихсамостоятельно.)свойств(ассоциативность);(дистрибутивность относительно суммы скаляров);(дистрибутивность относительно суммы векторов);очевидно,читателимогутлегкопроделатьегоr1.2.10.
Определение. Делением вектора a на действительное число a ¹ 0 называется егоумножение на число a -1 .Замечание.rraОтметим, что орт вектора a0 = r .a§1.3. Ортогональная проекция вектора на направление.1.3.1. Определение. Осью будем называть прямую, на которой заданы начало отсчета,масштаб (единица длины) и положительное направление.1.3.2. Определение. Ортогональной проекциейuuurвектора AB на направление (ось) l называется число,равное длине отрезка A1B1, где A1 и B1 - основанияuuurперпендикуляров, опущенных из концов вектора ABна направление l, взятоесо знаком плюс, еслиuuuurнаправление вектора A1 B1 совпадает с направлениемuuuurl и со знаком минус, если направление вектора A1 B1противоположно направлению l.BACA1B1D1C1lРис.
1.7Замечание.uuuruuurПроекция вектора AB на направление l будем обозначать Прl AB . Например, на Рис. 1.7uuuruuurПрl AB = + A1B1 > 0 , Прl CD = - D1C1 < 0 .1.3.3. Свойства ортогональной проекции вектора на направление.1.3.3.1. Теорема. (Свойство 1)Проекция вектора на направление равна произведению его длины на косинус угла междувектором и положительным направлением оси:uuur uuuruuurПрl AB = AB × cos j , где j = Ð AB , l .()1.3.3.2. Теорема. (Свойство 2)Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на этонаправление:rr rrПрl a + b = Прl a + Прl b .()1.3.3.3.
Теорема. (Свойство 3)rПроекция произведения вектора a на число на направление l равна произведению этого числаrна проекцию вектора a на это направление:rrПрl (a a ) = a Прl a .Докажите эти теоремы самостоятельно.Лекция 2.§1.4. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.r rr1.4.1. Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an с коэффициентамиrrrra1 , a 2 ,..., a n называется вектор a = a1a1 + a 2 a2 + ... + a nan .
Здесь a1 , a 2 ,..., a n − заданные числа.1.4.2. Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулюa1 = a 2 = ... = a n = 0 , то она называется тривиальной. Если же среди коэффициентовлинейной комбинации найдется хотя бы один отличный от нуля, то она называетсянетривиальной.r rr1.4.3. Определение. Система векторов a1 , a2 ,..., an называется линейно зависимой, еслисуществует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е.nrrr r2$a1 ,a 2 ,..., a n Îa¹0aa+aa+...+aaå kn n = 0.1 12 2k= 1r rr1.4.4. Определение. Система векторов a1 , a2 ,..., an называется линейно независимой, еслитолько их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е.rrr r"a1 , a 2 ,..., a n Îa1a1 + a 2 a2 + ...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
