Angem_ch_4 (Все лекции по АнГему)

Лекция 10.Глава 4. Матрицы.В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятиеранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраическихуравнений.§4.1. Основные понятия.4.1.1. Определение. Матрицей размеров m ´ n называется прямоугольная таблицачисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа m и n называются размерамиматрицы.

Введем обозначение матрицыæ a 1 1 a 12 ... a1 n öç÷a 21 a 2 2 ... a 2 n ÷ç= ( a ij )A=m´nç ............. ÷ç÷è a m 1 a m 2 ... a m n ø(Числа aij , i = 1, m, j = 1, n)называются элементами матрицы. Таким образом, элементaij расположен на пересечении строки i и столбца j .4.1.2. Определение.

Две матрицы A = ( aij )m´nи B = ( bij )m´ nодинаковых размеров m ´ nназываются равными, если все их соответствующие элементы равны между собой,т.е.aij = bij , i = 1, m, j = 1, n.4.1.3. Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой иобозначается Q = (qij ) : qij = 0 , i = 1, m, j = 1, n.m´ n4.1.4.

Определение. Матрица называется квадратной, если количество ее строкравно количеству столбцов, т.е. m = n .4.1.5. Определение. Главной диагональю квадратной матрицы называетсядиагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол.4.1.6. Определение. Побочной диагональю квадратной матрицы называетсядиагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний угол.4.1.7. Определение. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если всеее элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.4.1.8.

Определение. Квадратная матрица называется нижней треугольной, если всеее элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.4.1.9. Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ееэлементы, отличные от нуля, расположены на главной диагонали.4.1.10. Определение. Диагональная матрица называется скалярной, если все ееэлементы, расположенные на главной диагонали, равны между собой.4.1.11. Определение.

Диагональная матрица называется единичной, если все ееэлементы, расположенные на главной диагонали, равны единице. Единичнаяматрица обозначается E = ( eij ) . Таким образом,n ´nì1, i = j;eij = íî0, i ¹ j.4.1.12. Определение. Матрица называется ступенчатой, если для любой ее строкипод первым слева ненулевым элементом и предшествующими ему нулевымиэлементами строки все элементы матрицы равны нулю.Примеры:æ1 2 3 4 öç÷ç 0 2 3 5 ÷ илиç 0 0 1 -2 ÷èøæ1 2 3 5 öç÷ç0 0 4 1 ÷ .ç 0 0 0 -2 ÷èø4.1.13.

Определение. Операция над матрицей A = ( aij )m´nразмеров m ´ n , в результатекоторой ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка следования,называется операцией транспонирования. Матрица размеров n ´ m , полученная врезультате транспонирования матрицы A , называется транспонированной поотношению к ней и обозначается AT . При этом aijT = a ji , i = 1, m, j = 1, n.Замечание. Легко показать, что в результате повторного транспонирования мыполучим исходную матрицу, т.е.(A )T T= A.§4.2.

Линейные операции над матрицами4.2.1. Определение. Суммой матриц A = ( aij )m ´ n называется матрица C = ( cij )m´ nm´nи B = ( bij )m´ nодинаковых размеровтех же размеров, каждый элемент которой равенсумме соответствующих элементов матриц A и B :C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, m, j = 1, n.Замечание. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковыхразмеров.

Если размеры двух матриц не совпадают, то операция их сложения неопределена.4.2.2. Теорема. (Свойства операции сложения матриц)Для произвольных матриц A = ( aij )m´n, B = ( bij )m ´ n справедливы следующие свойства:1. A + B = B + A;m´ n, C = ( cij )m´ nодинаковых размеров2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;3. $Q A + Q = A ;4. "A $B A + B = Q .Доказательство этих очевидных свойств непосредственно вытекает из определенияоперации сложения матриц.4.2.3. Определение. Разностью матриц A = ( aij )m ´ n называется матрица D = ( dij )m´ nm´nи B = ( bij )m´ nодинаковых размеровтех же размеров, такая, что B + D = A .4.2.4. Определение.

Произведением матрицы A = ( aij )m´nразмеров m ´ n на числоa Î называется матрица F = ( fij )m´n тех же размеров, каждый элемент которойравен произведению соответствующего элемента матрицы A на число a :F = a A, fij = a aij , i = 1, m, j = 1, n.4.2.5. Теорема. (Свойства операции умножения матрицы на число)Для произвольных матриц A = ( aij )любых действительных чисел a , b Îm´nи B = ( bij )m´ nодинаковых размеров m ´ n исправедливы следующие свойства:1.

1 × A = A;2. a ( b A ) = (ab ) A;3. a ( A + B ) = a A + a B;4. (a + b ) A = a A + b A.Доказательство очевидным образом вытекает из определений 4.2.1 и 4.2.4.Замечание. Из приведенных свойств ясно, что множество M mn ()матриц размеровm ´ n образует линейное пространство относительно введенных операций сложенияматриц и их умножения на числа. В качестве базиса можно, например, взятьæ 1 0 ... 0 öæ 0 0 ... 0 öç 0 0 ... 0 ÷ç 0 0 ...

0 ÷ç÷÷., … , E mn = çE1 =ç. .. . .. . . ..÷ç . . . . . . . . . .÷ç÷ç÷è 0 0 ... 0 øè 0 0 ... 1 øОчевидно, любая матрица размеров m ´ n может быть представлена в виде линейнойкомбинации приведенных базисных матриц E1 ,..., Emn . Таким образом, размерностьэтого линейного пространства dim ( M mn () ) = mn.§4.3.

Умножение матриц.4.3.1. Определение. Произведением матрицы A = ( aij )B = ( bij )n´ pm´nразмеров n ´ p называется матрица C = ( cij )размеров m ´ n на матрицуm´ pразмеров m ´ p , элементыкоторой определяются следующим образом:ncij = å aik bkj .k =1Замечание 1.Для того, чтобы операция умножения двух матриц была определена, необходимо,чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второйматрицы. Оба произведения матриц AB и BA будут определены при условии, чточисло строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B , а число столбцовматрицы A равно числу строк матрицы B , при этом обе матрицы AB и BA будутквадратными, но разного порядка.

Для того, чтобы обе матрицы AB и BA былиопределены и были одного порядка, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицыA и B были квадратными и одинакового размера.Замечание 2.Таким образом, элемент произведения двух матриц, расположенный на пересечениистроки i и столбца j , равен сумме попарных произведений соответствующихэлементов строки i первой матрицы и столбца j второй матрицы.4.3.2. Теорема. (Свойства операции умножения матриц)Справедливы следующие свойства операции и умножения матриц:1.

( A + B ) C = AC + BC ;2. A ( B + C ) = AB + AC ;3. A ( BC ) = ( AB ) C ;4. ( AB ) = BT AT .TДоказательство:Пусть размерности матриц A, B и C таковы, что операции умножения всформулированных свойствах определены.1. Обозначим F = ( A + B ) C , G = AC + BC . Пусть размеры матриц A и B m ´ n , аразмеры матрицы C − n ´ p . Тогда в соответствии с определением умноженияматриц 4.4.1 размеры матриц F и G равны m ´ p . Теперь сравним значенияэлементов матриц F и G :nnnk =1k =1k =1fij = å ( aik + bik ) ckj = å aik ckj + å bik ckj =gij .Таким образом, размеры матриц F и G одинаковы, а их соответствующиеэлементы равны, следовательно, матрицы F и G равны по определению 4.1.2.2.

По аналогии с первым свойством введем в рассмотрение матрицыF = A ( B + C ) , G= AB + AC . Пусть размеры матрицы A m ´ n , а размеры матриц Bи C − n ´ p . Тогда размеры матриц F и G m ´ p , а элементыnnnk =1k =1k =1fij = å aik ( bkj + ckj ) = å aik bkj + å aik ckj =gijравны между собой, что и доказывает свойство.3. Пусть размеры матрицы A − m ´ n , размеры B − n ´ p , а размеры матрицы C −p ´ q . Тогда, очевидно, размеры матриц F = A ( BC ) и G = ( AB ) C − m ´ q .

Сравнимэлементы матриц F и G :nfij = å aik ( BC ) kjk =1æ pö n p= å aik ç å bkr crj ÷ = åå aik bkr crj =k =1è r =1ø k =1 r =1npppnæ nö= åå aik bkr crj = å ç å aik bkr ÷ crj =å ( AB )ir crj = gij .ør =1 k =1r =1 è k =1r =14. Пусть размеры матрицы A − m ´ n , а B − n ´ p , тогда размеры произведения AB −m ´ p . Размеры транспонированных матриц: AT − n ´ m , BT − p ´ n ,( AB )T− p´m ,BT AT − p ´ m .

Таким образом, размеры матриц F = ( AB ) и G = BT AT совпадают, иTнам остается показать, что их соответственные элементы равны.nnfij = ( AB ) ji = å a jk bki = å ( bik )k =1Tk =1(a )Tkj= gij .Замечание.Операция умножения матриц, вообще говоря, не является коммутативной. Еслирассмотреть, например, матрицыæ0 1öæ0 0öæ1 0öæ 0 0öи B=ç, то будем иметь AB = çA=ç, BA = ç÷÷÷÷.è0 0øè1 0øè 0 0øè0 1øЛегко видеть, что AB ¹ BA . Однако существуют некоторые специальные видыматриц, для которых результат умножения не зависит от его порядка.4.3.3.