Angem_ch_1 (Все лекции по АнГему), страница 3

(Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе)rrrrayaaxazra0 = r =ijk.++aa x2 + a y2 + az2a x2 + a 2y + a z2a x2 + a y2 + az21.6.4. Вычисление ортогональной проекции вектора на направление в ортонормированномбазисеИз свойства 3 скалярного произведения (Теорема 1.6.2)r ra, ba b + a y by + a z bzr.Прbr a = r = x xbbx2 + by2 + bz2( )Замечание.r rЕсли b = i ,rтоrПрir a =(arr, i ) =iax .Аналогично,rrПр rj a = a y , Прkr a = az .Такимобразом,координаты вектора в ортонормированном базисе являются его ортогональнымипроекциями на направления, заданные соответствующими ортами.1.6.5. Вычисление угла между векторами в ортонормированном базисе.Из определения скалярного произведения получимr ra x bx + a y by + a z bzrÙ r(a, b ),cos(a , b ) = r r =2a×ba x + a 2y + a z2 bx2 + by2 + bz2откуда:æa b +a b +a brÙ r(a , b ) = arccos ç 2 x 2x 2y y 2 z 2zç a x + a y + a z bx + by + bz2èö÷.÷ø1.6.6.

Определение. Косинусы углов, которые отличный от нуля вектор образует свекторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами.r rr rr rayaxaz(a , i )(a , j )(a, k ).cos a = r r =,cos,cosrrb==g==rra ×ia× ja×ka x2 + a 2y + a z2a x2 + a y2 + a z2a x2 + a 2y + a z2Замечание 1.Легко видеть, что направляющие косинусы удовлетворяют соотношениюcos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 .Замечание 2.Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают скоординатами орта вектора.rrrrrrrra axi + a y j + azka0 = r == cos a × i + cos b × j + cos g × k .aa x2 + a y2 + a z2Лекция 3.§1.7. Векторное произведение двух векторов.1.7.1.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторовназывается правой, если при приведении этих векторов к общемуначалу ближайший поворот от первого вектора ко второму виден сконца третьего вектора совершающимся против часовой стрелки. Впротивном случае тройка называется левой.ra3ra2ra1Рис. 1.8r r rНапример, на Рис. 1.8. показана правая тройка векторов a1 , a2 , a3 .Замечание 1.Цикличная перестановка векторов не меняет ориентации тройки; (то есть после цикличнойперестановки она остается либо правой, либо левой).Замечание 2.Тройки компланарных векторов не относят ни к правым, ни к левым.Замечание 3.r r rСтандартный ортонормированный базис i , j , k пространства V3 задается правой тройкойортов.r rr1.7.2.

Определение. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , длинаи направление которого определяются следующими условиями:r r rrÙ r1. c = a × b × sin(a , b ) ;r r r r2 c ^ a, c ^ b ;r r rr r3. a , b , c - правая тройка (если векторы a и b не коллинеарны).r rr rr rВекторное произведение векторов a и b обозначается éë a , b ùû или a ´ b .1.7.3. Теорема. (Геометрический смысл векторного произведения двух векторов).rrДлина векторного произведения векторов a и bпостроенного на этих векторах.равна площади параллелограмма,Доказательство очевидно.1.7.4. Механический смысл векторного произведения двух векторов.rFrЕсли к точке А приложена сила F , то момент этой силы относительноuuur rrОточки О равен M O F = éëOA, F ùû (Рис. 1.9).( )1.7.5.

Теорема. (Свойства векторного произведения двух векторов).r rr r1. éë a , b ùû = - éë b , a ùû ; (антикоммутативность)r r r2. [a , a ] = 0 ;r r rr r3. éëa, b ùû = 0 Û a || b ;rr r4. ëé a ,0ûù = 0 ;r rr r5. éëa a , b ùû = a éë a , b ùû ;АРис. 1.9rbrréa, bùë ûrréb, aùë ûraРис. 1.10r rr r rr r6. éë a + b , c ùû = [ a , c ] + éë b , c ùû .Доказательство:Свойства 2, 3, 4 и 5 вытекают непосредственно из определения векторного произведения1.7.2.

Свойство 1 также очевидно, поскольку при перемене порядка сомножителей векторыr rr ra , b и éë b , a ùû , очевидно, образуют левую тройку (см. Рис. 1.10). Свойство 6 будет доказанопозднее, после свойств смешанного произведения трех векторов.1.7.6. Теорема. (О векторном произведении векторов ортонормированного базиса).rr rrr rr rr rrrr rrr rréë i , j ùû = k , éë j , k ùû = i , éë k , i ùû = j , éë j , i ùû = -k , éë k , j ùû = -i , éë i , k ùû = - j .Доказательство:rr rr rrДокажем первое равенство éë i , j ùû = k . Рассмотрим вектор c = éë i , j ùû .

Из определенияr r rrr r r rвекторного произведения 1.7.2 c = 1, c ^ i , c ^ j . Так как векторы i , j , c образуют правуюr rтройку, то c = k .Доказательство остальных равенств полностью аналогично.1.7.7. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных вортонормированном базисе).rrКоординаты векторного произведения векторов a и b равны алгебраическим дополнениямэлементов первой строки символического определителяr r ri j kax a y az .bx by bzДоказательство:r rПусть векторы a и b имеют в ортонормированном базисе разложенияrrrrrrrra = a x i + a y j + a z k , b =bx i + by j + bzk .Тогда по свойству 6 векторного произведенияr rrrrrr rr rr rr ré a , b ù = é a x i + a y j + a z k , bx i + by j + bz k ù = a xbx éëi , i ùû + a x b y éëi , j ùû + a xbz éi , k ù +ëû ëûë ûr rr rr rr rr rr r+ a y bx éë j , i ùû + a y by éë j , j ùû + a y bz éë j , k ùû + a zbx éëk , i ùû + a z by éëk , j ùû + a zbz éëk , k ùû .r rrr rr rИспользуя предыдущую теорему 1.7.7, и очевидные равенства éë i , i ùû = éë j , j ùû = éë k , k ùû = 0,получимr r ri j krrrr ré a , b ù = ( a y bz - a z by ) i + ( a z bx - a x bz ) j + ( a xby - a y bx ) k = a x a y a z .ëûbx by bz1.7.8.

Двойное векторное произведение.r r rr r rВектор é a , éë b , c ùû ù называется двойным векторным произведением векторов a , b , c .ëûr r r r r rr r rОтметим равенство é a , éë b , c ùû ù = b ( a , c ) - c a , b .ëûДоказательство предоставляется читателю.( )§1.8. Смешанное произведение трех векторов.1.8.1. Определение. Смешанным произведением трех векторовскалярному произведению векторного произведения первыхr r rвектор. Смешанное произведение векторов a , b , c обозначаетсяr r rr r ra ; b ; c = éë a , b ùû , c(называется число, равноедвух векторов на третийr r rr rra ; b ; c или abc .)1.8.2.

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов).Модуль смешанного произведения векторовr r ra, b, cравнообъемупараллелепипеда,построенного на этих векторах. Смешанноепроизведение положительно, если тройкаr r rвекторов a , b , c – правая, и отрицательно,r r rrесли эта тройка – левая (если векторы a , b , ch = c × cos jкомпланарны, то их смешанное произведениеравно нулю).r r rVпар = a ; b ; c .Доказательство:r rrVпар = Sосн × h = [a ,b ] × ( c × cos j ) .

Справа в этомr réa, b ùëûrcРис. 1.11Правая тройкаравенствестоитмодульсмешанногопроизведения. Знак смешанного произведенияr r rопределяется знаком косинуса: если тройка a , b , cr rr– правая, то векторы éë a , b ùû и c расположены в r r jéa, b ùëûодном полупространстве относительно плоскостиrrвекторов a и b , 0 £ j < p / 2 , cos j > 0 ; если тройкаrr r rr rraa , b , c – левая, то векторы éë a , b ùû и c расположеныв разных полупространствах относительноРис. 1.12rrплоскости векторов a и b , p / 2 < j £ p , cos j < 0 ;если компланарны, то высота параллелепипеда равна нулю, и Vпар =0.rbraЛевая тройкаrcrajrbr réa, b ùëûСледствие.Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, равен одной шестой модуля ихсмешанного произведения1 r r rVтетр =a; b ; c .61.8.3.

Теорема. (Свойства смешанного произведения).1. Если один из трех сомножителей равен нулю-вектору, то их смешанное произведениеr rr rr rr r rравно нулю a = 0 Ú b = 0 Ú c = 0 Þ a ; b ; c = 0 ;2. Критерий компланарности трех векторов: для того, чтобы три вектора быликомпланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равнонулю;r r rr r rr r rr r rr r rr r r3. a ; b ; c = b ; c ; a = c ; a ; b = - b ; a ; c = - c ; b ; a = - a ; c ; b ;r r rr r r4. a a ; b ; c = a a ; b ; c ;r r rr r r rr r r5.

a + b ; c ; d = a ; c ; d + b ; c ; d ;Доказательство:Свойства 1 и 4 следуют из определения смешанного произведения трех векторов 1.8.1.Свойство 3 следует из доказанной теоремы 1.8.2. Действительно, при перестановкесомножителей в смешанном произведении, величина объема параллелепипеда сохраняется,а знак смешанного произведения определяется ориентацией тройки. Докажем свойство 5:r r rr r r rr r r rr r r rr r rr r rr r rr r rr r ra + b; c ; d = c; d ; a + b = éëc , d ùû , a + b = éëc , d ùû , a + éëc , d ùû , b = c ; d ; a + c ; d ; b = a ; c ; d + b ; c ; d .Теперь докажем свойство 2.Необходимость.r r rПусть векторы a , b , c компланарны. Тогда, параллелепипед, построенный на этих векторах,r r rвырождается в плоскую фигуру, следовательно, его объем равен нулю, то есть a ; b ; c = 0 .() () ()Достаточность.r r rПустьТогдаизопределениясмешанногопроизведения1.8.1a; b ; c = 0 .rr r rr r rr rré a , b ù , c = é a , b ù × c × cos j= 0 .

Если é a , b ù = 0 , то либо один из векторов a и b являетсяëûëûëûrr r rrнулевым, тогда векторы a , b , c компланарны, либо a и b являются коллинеарнымиr r rrrвекторами, тогда векторы a , b , c компланарны. Если c = 0 , то вектор c является нулевым,r r rто есть векторы a , b , c компланарны.

Если, наконец, cos j = 0 , то это означает, что векторыr rré a , b ù и c ортогональны. Заметим, что из определения векторного произведения векторëûrr rr r rré a , b ù ортогонален также векторам a и b , а это означает, что векторы a , b , c параллельныëûнекоторой плоскости, то есть компланарны.()Замечание.Докажем теперь свойство 6 векторного произведения:r rr r rr réa + b , c ù = [ a, c ] + éb , c ù .ëûëûПокажем, что векторы в левой и правой частях этого равенства имеют одинаковыекоординаты. Координаты вектора равны скалярным произведениям этого вектора набазисные орты (см.