Angem_ch_1 (Все лекции по АнГему), страница 2

+ a n an = 0 Þ a1 = a 2 = ... = a n = 0.1.4.5. Теорема.пространства)(КритерийлинейнойзависимостисистемывекторовлинейногоДля того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима,необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинациейостальных векторов системы.Доказательство:Необходимость.r rrПусть система векторов a1 , a2 ,..., an линейно зависима. Покажем, что один из векторовявляется линейной комбинацией остальных. Из определения линейной зависимостиследует, чтоnrrr r$a1 ,a 2 ,..., a n Îå ak2 ¹ 0 a1a1 + a2a2 + ...

+ an an = 0.k =1Предположим без ограничения общности, что a1 ¹ 0 (в противном случае векторы могутбыть перенумерованы). Разделим последнее равенство на a1 , получим:r a rra r ra ra ra1 + 2 a2 + ... + n an = 0 Þ a1 = - 2 a2 - ... - n an ,a1a1a1a1rто есть вектор a1 является линейной комбинацией остальных векторов.Достаточность.Пусть один из векторов является линейной комбинацией остальных, например,rrrrrrrr ran = a1a1 + a 2 a2 + ...

+ a n -1an -1 Þ a1a1 + a 2 a2 + ... + a n -1an -1 - an = 0.rТаким образом, получена нетривиальная (коэффициент при an отличен от нуля) линейнаяr rrкомбинация векторов a1 , a2 ,..., an , равная нулю-вектору, следовательно, эти векторылинейно зависимы.1.4.6. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.1.4.6.1. Теорема. (Свойство 1)Всякая система векторов, включающая нулевой вектор, является линейно зависимой.Доказательство:r rr rРассмотрим систему векторов a1 , a2 ,..., an ,0 . Очевидно, существует их нетривиальнаялинейная комбинация, равная нулю-вектору:r rrrr0 × a1 + 0 × a2 + ... + 0 × an + 1 × 0 = 0.1.4.6.2.

Теорема. (Свойство 2)Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейнозависимой.Доказательство:r rrr rrПусть подсистема a1 , a2 ,..., ak системы векторов a1 , a2 ,..., an(k < n)линейно зависима, тогдаrrr ra1a1 + a2 a2 + ... + a k ak = 0 Þm =1rrrrr ra1a1 + a 2a2 + ... + a k ak + 0 × ak +1 + ... + 0 × an = 0.r rrТаким образом, существует нетривиальная линейная комбинация векторов a1 , a2 ,..., an ,r rrравная нулю-вектору, то есть система векторов a1 , a2 ,..., an линейно зависима.$a1 ,a 2 ,..., a k Îkå am2 ¹ 01.4.6.3. Теорема. (Свойство 3)Всякая подсистема линейно независимой системы векторов является линейной независимой.Доказательство:Используем доказательство от противного.

Предположим, что у линейно независимойr rrr rrсистемы векторов a1 , a2 ,..., an найдется линейно зависимая подсистема a1 , a2 ,..., ak . Тогда изr rrпредыдущего свойства 2 вытекает, что система векторов a1 , a2 ,..., an линейно зависима, чтопротиворечит условию теоремы. Нами получено противоречие, что и доказывает теорему.1.4.7. Теорема. (О линейной зависимости двух векторов).Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда ониколлинеарны.Доказательство очевидным образом вытекает из критерия коллинеарности векторов 1.2.8.1.4.8.

Теорема. (О линейной зависимости трех векторов).Три геометрических вектора линейно зависимыкомпланарны.тогда и только тогда, когда ониДоказательство этой теоремы оставляется читателю.Следствие.rrrrrrЕсли векторы a и b неколлинеарны, и вектор c компланарен с векторами a и b , то cr rrrrлинейно выражается через векторы a и b ( c является линейной комбинацией a и b ), т.е.rrrсуществуют коэффициенты a и b такие, что с = a × а + b × b .1.4.9. Теорема. (О линейной зависимости четырех векторов).Четыре геометрических вектора линейно зависимы.Докажите эту теорему самостоятельно.Следствие.rr rrЕсли векторы a , b и c некомпланарны, то любой вектор d линейно выражается черезrr rrr rrвекторы a , b и c ( d является линейной комбинацией a , b и c ), т.е.

существуютrrrrкоэффициенты a , b , g такие, что d = a × а + b × b + g × c .§1.5. Векторное пространство. Базис.1.5.1. Определение. Векторным пространством называется любое множество векторов, дляэлементов которогоrrа) определена операция сложения (т.е. для каждой пары векторов a и b определенrr r rтретий вектор c , являющийся их суммой: c = a + b );b) определена операция умножения вектора на действительное число (т.е. дляrrкаждого вектора a и действительного числа a определен вектор a a ;c) эти операции обладают установленными в параграфе 1.2.

Линейные операциинад векторами свойствами:r r r rr r1. Для любых векторов a и ba + b = b + a (коммутативность);r rr r r r r r r2. Для любых векторов a , b и c a + b + c = a + b + c (ассоциативность);r r rr3. Для любого вектора aa+0= a;rr4. Для любого вектора a существует противоположный вектор ( - a ) такой, чтоrr ra + ( -a ) = 0 .rrr5. Для любого вектора a"a , b Îa ( b a ) = (ab ) a(ассоциативность);rrrr"a , b Î6. Для любого вектора a(a + b ) a = aa + b a (дистрибутивность(относительно суммы скаляров);r r7. Для любых векторов a и bотносительно суммы векторов);)("a Î)rr rra a + b = aa + ab()(дистрибутивность8. Для любого вектораr r1× a = a ;Примеры векторных пространствV1 – множество векторов, расположенных на прямой;V2 – множество векторов, расположенных на плоскости;V3 – множество векторов, расположенных в пространстве.1.5.2. Определение.

Базисом векторного пространства назы7ается линейно независимаяупорядоченная совокупность векторов такая, что любой вектор пространства являетсялинейной комбинацией векторов этой системы.1.5.3. Определение. Размерностью векторного пространства называется количествовекторов в любом его базисе.Замечание.Базисом пространства V1 векторов, расположенных на прямой, является любой ненулевойвектор этого пространства. Размерность пространства V1 равна 1.Базисом пространства V2 векторов, расположенных на плоскости, является любая паранекомпланарных векторов этого пространства. Размерность пространства V2 равна 2.Базисом пространства V3 векторов, расположенных в пространстве, является любая тройканекомпланарных векторов. Размерность пространства V3 равна 3.r r r1.5.4.

Определение. Пусть e1 , e2 , e3 - базис пространства V3. Представление геометрическогоr r rrвектора a в виде линейной комбинации векторов базиса e1 , e2 , e3rrrra = a1e1 + a2 e2 + a3e3r r rrназывается разложением вектора a по базисуe1 , e2 , e3 . Коэффициенты линейнойr r rrкомбинации a1 , a2 , a3 называются координатами вектора a в базисе e1 , e2 , e3 .1.5.5. Теорема. (О разложении вектора по базису).Всякий вектор может быть разложен по некоторому базису векторного пространстваединственным образом.Доказательство:rОт противного. Рассмотрим разложение некоторого вектора a по произвольному базисуr r re1 , e2 , e3 не единственно:rrrra = a1e1 + a2 e2 + a3e3 ;rrrra = b1e1 + b 2e2 + b 3e3 .rrr rВычитая равенства, получим (a1 - b1 ) e1 + (a 2 - b 2 ) e2 + (a 3 - b3 ) e3 = 0 .r r re1 , e2 , e3 .Из определения 1.5.2 вытекает линейная независимость векторовСледовательно, лишь тривиальная их линейная комбинация равна нулевому вектору,откуда a1 = b1 , a 2 = b 2 , a3 = b 3 , что и требовалось доказать.Замечание.Из доказанной теоремы следует, что координаты данного вектора в заданном базисеопределяются однозначно.1.5.6.

Теорема. (Линейные операции с векторами в координатной форме).При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножениивектора на число все его координаты умножаются на это же число.Доказательство:1. Докажем первую часть теоремы, касающуюся сложения векторов.r r rr rПусть разложения векторов a и b в базисе e1 , e2 , e3 имеют вид:rrrrrrrra = a1e1 + a2 e2 + a3e3 ;b = b1e1 + b 2 e2 + b 3e3 .Тогдаr rrrrrrrrrra + b = a1e1 + a2e2 + a3e3 + b1e1 + b 2 e2 + b 3e3 = (a1 + b1 ) e1 + (a 2 + b 2 ) e2 + (a 3 + b 3 ) e3 .2. Аналогично получимrrrrrrrg a = g (a1e1 + a 2e2 + a 3e3 ) = ga1e1 + ga 2 e2 + ga 3e3 .Следствие.

Критерий коллинеарности векторов.Для того, чтобы два геометрических вектора были коллинеарными, необходимо идостаточно, чтобы их соответствующие координаты в некотором базисе былипропорциональными.rДоказательство следует из теорем 1.5.6 и 1.2.8. Действительно, коллинеарность векторов arrrи b согласно теореме 1.2.8эквивалентна условиюb = a a , что означаетпропорциональность соответствующих координат в произвольном базисе.1.5.7. Определение.

Базис векторного пространства, состоящий из попарноперпендикулярных векторов единичной длины, называется ортонормированным.Замечание.r rОртонормированный базис в пространстве V2 обычно обозначается i , j , в пространстве V3r r r- i , j, k .§1.6. Скалярное произведение двух векторов.rr1.6.1. Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется действительноечисло, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.r rr rr rСкалярное произведение векторов a и b обозначается a , b или a × b . Итак,( )r rr r r rrÙ ra , b = a × b = a × b × cos(a , b ) .( )1.6.2. Теорема. (Свойства скалярного произведения двух векторов).r rr r1.

a , b = b , a ;r rr22. ( a , a ) = a (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);r rr rrr3. a , b = a Пр ar b = b Прbr a ;r rr r rr r4. a + b , c = ( a , c ) + b , c ;r rr r5. a a , b = a a , b ;r r6. a ,0 = 0 ;r rr r7. если a ^ b , то a , b = 0 ;rrr rrr8. если a , b = 0 , то либо хотя бы один из векторов a и b равен нулю, либо a и b( ) ( )( )()( )( ) ( )( )( )( )ортогональны.Доказательство.Первое и второе свойства непосредственно следуют из определения:rrr1.

косинус – четная функция, поэтому неважно, как отсчитывается угол – от a к b или от brк a;r rr rr22. ( a , a ) = a a cos0 = a .3. Используем первое свойство ортогональнойr rr rr rrÙ rrra , b = a × b × cos(a , b )= a Прar b= b Прbr a.проекции(Теорема1.3.3.1)( )4. Используем предыдущее свойство 3 и второе свойство ортогональной проекции (Теорема1.3.3.2):rr rr r rrr rrr rr ra + b , c = c Прcr a + b = c Прcr a + c Прcr b = ( a , c ) + b , c .()()( )5. Используем свойство 3 и третье свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.3):rrr rrrr ra a , b = b Прbr (a a ) = a b Прbr a = a a , b .rrr rШестое, седьмое и восьмое свойства очевидны (если b = 0 , то b = 0 ; если a ^ b , то()( )rÙ rcos(a , b ) = 0 ; если произведение равно нулю, то необходимо один из сомножителей,rrrÙ rвходящих в определение ( a , либо b , либо cos(a , b ) ) равен нулю).Замечание 1.Так как направление нуль-вектора произвольно, то восьмое свойство можнопереформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равнонулю.Замечание 2.Механический смысл скалярного произведениязаключается в следующем: еслиrrматериальная точка под воздействием силы F перемещаетсяна вектор s , то совершаемаяrrэтой силой работа равна скалярному произведению F на s :r rA = F, s .()1.6.3.

Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных вортонормированном базисе).В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарныхпроизведений их соответствующих координат.Доказательство:r r rПусть в ортонормированном базисе i , j , k заданы векторыrrrrrrrra = a x i + a y j + a z k , b =bx i + by j + bzk .Заметим, что вследствие ортонормированности базисаr rr rr rr rr rr rr rr rr r(i , i ) = ( j , j ) = k , k = 1, ( i , j ) = i , k = ( j , i ) = j , k = k , i = k , j = 0.( )Тогдаr( )( ) ( ) ( )r rrrrr rr rr rj + a z k , bx i + by j + bz k = a x bx ( i , i ) + a x by ( i , j ) + a x bz i , k +r rr rr rr rr rr r+ a y bx ( j , i ) + a y by ( j , j ) + a y bz j , k + a zbx k , i + az by k , j + a zbz k , k =r(ar, b ) = ( a i + axy( ))( )( )( )( )= a x bx + a y by + a z bz .Следствие 1. (Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе).ra =r r(a, a ) =a x2 + a y2 + az2Следствие 2.