Angem_ch_1 (Все лекции по АнГему), страница 4

Замечание к п. 1.6.4.). Рассмотрим данное векторное равенство вкоординатах. Используем свойство 5 смешанного произведения:r r rr r rr r r rr r r rr r rr r ré a + b , c ù , i = a + b ; c ; i = a ; c ; i + b ; c ; i = ( [a , c ] , i ) + é b , c ù , iëûëû()()Аналогично можно показать равенство остальных координат.

Таким образом, координатывекторов в левой и правой частях равенства равны, следовательно, по теореме 1.5.5. оразложении вектора по базису, эти векторы равны.1.8.4. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных вортонормированном базисе).Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю,строками которого являются координаты этих векторов данном базисе.Доказательство:r rrПусть векторы a , b и c имеют в ортонормированном базисе разложенияrrrrrrrrrrrra = a x i + a y j + a z k , b =bx i + by j + bzk , c = c xi + c y j + cz k .Тогдаæçrr r rr r ra ; b ; c = a éëb , c ùû = ç а ,ççèr r byæ rr= ç a xi + a y j + a zk , içcyè(= axb y bzcy cz)- aybx bzc x czr r ri j k ö÷bx by bz ÷ =cx c y cz ÷÷øbz r bx bz r bx b y ö- j+k÷=czc x czc x c y ÷ø+ azbx b ycx cyax a y az= b x b y bz .cx cy czВ завершение главы отметим утверждение, являющееся прямым следствием доказаннойтеоремы и критерия компланарности (свойство 2 смешанного произведения):Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строками которогоявляются координаты этих векторов в ортонормированном базисе, равен нулю..