Angem_ch_1 (Все лекции по АнГему)

Лекция 1.Глава 1. Векторная алгебраВ этой главе мы приведем сведения о геометрических векторах и операциях надними, включая векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трехвекторов.§1.1. Основные определения.1.1.1. Определение. Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная параточек. Начало вектора также называется точкой его приложения.Замечание.Упорядоченным множеством называется множество элементов, взятых в определенном®порядке. Обозначать векторыодним из следующих способов: АВ (А – начальнаяuuur принятоrточка, В – конечная точка), AB , a , и т.д.

Чтобы отличить векторную величину от скалярнойвеличины, сверху используется черта (или стрелочка). Скалярной называется величина,характеризующаяся только своим численным значением (примеры: объем, температура,масса и т.д.). Для описания других объектов необходимо задавать не только их численноезначение, но и направление (сила, скорость и т.д.); такие объекты называются векторнымивеличинами.1.1.2.

Определение. Нулевым вектором или нуль-вектором называется вектор, начало иконец которого совпадают.Замечание.Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-векторrбудем обозначать 0 .1.1.3. Определение.Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется®rрасстояние между его началом и его концом. Обозначение: АВ , а . Естественно, 0 = 0 .1.1.4. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на однойили на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существуетпрямая, которой они параллельны.

Коллинеарность обозначается символомr rпараллельности: a || b . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он неr r rимеет определенного направления: "a 0 || a .Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть(a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначатьrra ­­ b ;(б) противонаправленными (имеющими противоположное направление), что мы будемrrобозначать a ­¯ b .Замечание.Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противонаправленности:r rrrrr1. Если a ­­ b , b ­­ c , то a ­­ c ;r rrrrr2. Если a ­­ b , b ­¯ c , то a ­¯ c ;r rrrrr3. Если a ­¯ b , b ­­ c , то a ­¯ c ;rrrrrr4.

Если a ­¯ b , b ­¯ c , то a ­­ c .1.1.5. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость,которой они параллельны.1.1.6. Определение. Два вектора называютсясонаправлены и имеют равные длины.равными,еслиониколлинеарны,Замечание 1.Все нулевые векторы равны между собой.Замечание 2.Введем понятия связанного, скользящего и свободных векторов. Связанным называетсявектор, имеющий фиксированное начало и конец. Скользящим вектором называетсямножество всех связанных векторов, равных данному, начала которых расположены наодной и той же прямой.

Свободным вектором называется множество всех связанныхвекторов, равных данному. Таким образом, скользящий вектор может быть перенесен вдольпрямой, на которой он лежит, а свободный вектор может быть отложен из любой заданнойточки. Понятие свободного вектора является наиболее общим, так как любой связанныйили скользящий вектор может быть представлен в виде разности двух свободных векторов.1.1.7. Определение. Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которогоравна единице.r1.1.8.

Определение. Ортом вектора a называется единичный вектор, сонаправленный сrrrвектором a . Орт вектора a будем обозначать a0 .1.1.9. Определение. Углом между ненулевыми векторами называется угол междупрямыми, на которых расположены данные векторы.1.1.10. Определение. Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называютсяортогональными.r1.1.11. Определение.Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором a иrпротивонаправленный ему, будем называть противоположным вектору a и обозначатьuuuruuurrrr- a . Если a = AB , то -a = BA .§1.2.

Линейные операции над векторами.1.2.1. Определение. Линейными операциями над векторами назовем операции сложениядвух векторов и умножения вектора на скаляр (число).rrr rrb1.2.2. Определение. Суммой a + b двух векторов a и b назовемrrвектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b .rar ra+b1.2.3. Правила сложения векторов.Рис.

1.1а) Правило треугольника (Рис. 1.1)rrВектор b прикладывается к концу вектора a . Тогда суммаr rrвекторов a + b будет вектор, идущий из начала вектора a вrконец вектора b .б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2)rrСтроим на векторах a и b параллелограмм. Тогда суммойr rвекторов a + bбудет диагональ параллелограмма,r rвыходящая из общего начала векторов a и b .Замечание.rПравило треугольника легко распространить на a1случай большего количества суммируемых векторов.В этом случае это правило называется правиломмногоугольника (Рис. 1.3 ).rbrar ra+bРис. 1.2ra3ra2r r rra1 + a2 + a3 + ...

+ anB1.2.4. Теорема. (Свойства операции сложения векторов)2.3.4.rar rr r r r r r"a , b Î Va + b = b + a a , b (коммутативность);r r rr r r r r r"a , b , c ÎV a + b + c = a + b + c (ассоциативность);r r rr"a ÎVa+0= a;rr rr r"a Î V $ ( - a ) a + ( - a ) = 0 .()((())(()rar ra+b)Доказательство:rr1. Рассмотрим сумму векторов a и b , используя правилопараллелограмма. Из Рис. 1.4r r uuur uuur uuur uuur uuur r ra + b = AB + BC = AC = AD + DC = b + a .2.

Из Рис. 1.5.r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuura + b + c = AB + BC + CD = AB + BD = AD;r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuura + b + c = AB + BC + CD = AC + CD = AD.CrbРис. 1.3Обозначим множество свободных векторов через V .1.ranrbADРис. 1.4BrbCrcra)AРис. 1.5Dr r uuur uuur uuur r3. Третье свойство очевидно: a + 0 = AB + BB = AB = a .rr uuur uuur uuur rr uuurr uuur4. Пусть a = AB. Положим -a = BA. Тогда a + ( -a ) = AB + BA = AA = 0.r rr rr1.2.5. Определение.

Разностью b - a двух векторов a и b назовем вектор c , для которогоrr ra+c =b.1.2.6. Правило вычитания векторов.r rr rrРазностью векторов b - a двух векторов a и b является вектор c ,rrидущий из конца второго вектора a в конец первого вектора b (Рис.1.6).Замечание.r rb -ararbРис. 1.6r r rrОчевидно, что b - a = b + ( -a ) .r1.2.7. Определение. Произведением вектора a на действительное число a Îrназывается вектор b , удовлетворяющий следующим условиям:rr1. b = a × a ;r r2.

b || a ;rrrr3. b ­­ a при a > 0 и b ­¯ a при a < 0 .1.2.8. Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов).rrДля того, чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобыrrсуществовало действительное число a , что b = a a .Доказательство:Необходимость.r rrrПусть a || b . Рассмотрим вектор c = a a , где число a выберем следующим образом: еслиrrbbrrrrrr rr rra ­­ b , то a = r ; если a ­¯ b , то a = - r . Очевидно, c = b , так как c = b и c ­­ b . Такимaarrобразом, мы указали число a , для которого b = a a .Достаточность.rrr rЕсли b = a a , то из определения 1.2.7, очевидно, вытекает коллинеарность векторов a и b .1.2.9. Теорема.

(Свойства операции умножения вектора на число)rrr"a ÎV a ( b a ) = (ab ) arrrr"a , b Î "a ÎV (a + b ) a = a a + b arr rr rr"a Î "a, b ÎV a a + b = aa + abrr r"a ÎV1× a = a ;rrr"a ÎV( -1) × a = -a ;r rr"a ÎV0×a = 0;r ra ×0 = 0."a Î1. "a , b Î2.3.4.5.6.7.(Доказательство этихсамостоятельно.)свойств(ассоциативность);(дистрибутивность относительно суммы скаляров);(дистрибутивность относительно суммы векторов);очевидно,читателимогутлегкопроделатьегоr1.2.10.

Определение. Делением вектора a на действительное число a ¹ 0 называется егоумножение на число a -1 .Замечание.rraОтметим, что орт вектора a0 = r .a§1.3. Ортогональная проекция вектора на направление.1.3.1. Определение. Осью будем называть прямую, на которой заданы начало отсчета,масштаб (единица длины) и положительное направление.1.3.2. Определение. Ортогональной проекциейuuurвектора AB на направление (ось) l называется число,равное длине отрезка A1B1, где A1 и B1 - основанияuuurперпендикуляров, опущенных из концов вектора ABна направление l, взятоесо знаком плюс, еслиuuuurнаправление вектора A1 B1 совпадает с направлениемuuuurl и со знаком минус, если направление вектора A1 B1противоположно направлению l.BACA1B1D1C1lРис.

1.7Замечание.uuuruuurПроекция вектора AB на направление l будем обозначать Прl AB . Например, на Рис. 1.7uuuruuurПрl AB = + A1B1 > 0 , Прl CD = - D1C1 < 0 .1.3.3. Свойства ортогональной проекции вектора на направление.1.3.3.1. Теорема. (Свойство 1)Проекция вектора на направление равна произведению его длины на косинус угла междувектором и положительным направлением оси:uuur uuuruuurПрl AB = AB × cos j , где j = Ð AB , l .()1.3.3.2. Теорема. (Свойство 2)Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на этонаправление:rr rrПрl a + b = Прl a + Прl b .()1.3.3.3.

Теорема. (Свойство 3)rПроекция произведения вектора a на число на направление l равна произведению этого числаrна проекцию вектора a на это направление:rrПрl (a a ) = a Прl a .Докажите эти теоремы самостоятельно.Лекция 2.§1.4. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.r rr1.4.1. Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an с коэффициентамиrrrra1 , a 2 ,..., a n называется вектор a = a1a1 + a 2 a2 + ... + a nan .

Здесь a1 , a 2 ,..., a n − заданные числа.1.4.2. Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулюa1 = a 2 = ... = a n = 0 , то она называется тривиальной. Если же среди коэффициентовлинейной комбинации найдется хотя бы один отличный от нуля, то она называетсянетривиальной.r rr1.4.3. Определение. Система векторов a1 , a2 ,..., an называется линейно зависимой, еслисуществует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е.nrrr r2$a1 ,a 2 ,..., a n Îa¹0aa+aa+...+aaå kn n = 0.1 12 2k= 1r rr1.4.4. Определение. Система векторов a1 , a2 ,..., an называется линейно независимой, еслитолько их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е.rrr r"a1 , a 2 ,..., a n Îa1a1 + a 2 a2 + ...