МУ - М-6 (Динамика вращательного движения), страница 3

В отсутствие верхнего фотодатчика начальное положение груза Р определяется по шкале миллиметровой линейки 13.Предоставив колонке 25 возможность равноускоренно вращаться, внимательно следим заопускающимся грузом. В момент, когда нить размоталась полностью, нижний край груза должен пересечь оптическую ось фотодатчика 15. Если этого не произошло, взаимное положениеустановок следует изменить с учетом сделанного замечания.На данной установке можно провести три опыта.Опыт 1. Движение система с минимальным моментом инерции J1.Чтобы момент инерции системы J1 стал минимальным, максимально приблизим цилиндры 22 кколонке 25 и закрепим их в таком положении с помощью креплений 32. После этого нить Т ак-куратно наматываем на колонку, обматывая при этом пластинку 27.

Выставив начальное положение груза на линейке 33, отпускаем его, одновременно включая миллисекундомер.Груз Р начинает равноускоренно опускаться, а колонка 25 равноускоренно вращатьсяпод действием момента силы натяжения нити Т. Когда груз Р, пересекая оптическую ось фотодатчика 15, останавливается, пройдя расстояние h0 (нить размоталась на всю длину), счетвремени прекращается. Показания миллисекундомера соответствуют времени τ1 падения грузаР.К моменту остановки груза P колонка 25 приобретает максимальную кинетическуюэнергию.

После остановки груза колонка по инерции продолжает вращаться, но уже равнозамедленно. Нить 7 начинает снова навиваться на колонку, и груз Р равнозамедленно поднимается вверх. При этом совершается работа против сил тяготения за счет уменьшения кинетическойэнергии колонки. Когда кинетическая энергия колонки уменьшится до нуля, груз Р опять остановится, поднявшись на высоту h1, отсчитанную от нижней точки, которую достиг груз приопускании.

При подъёме груз Р не дойдёт до своего первоначального положения , так как потенциальная энергия груза не восстанавливается до первоначального значения вследствие потерь части механической энергии системы на совершение работ А0 (против сил трения приопускании груза) и А1 (при подъёме груза), а также на энергию колебательного движения груза,возникающего при его резкой остановке и т.п.Описанный процесс вращения механической системы в этом опыте можно проиллюстрировать графиком зависимости угловой скорости ω от времени τ (рис 5. участок ОАВ).ωACEτOKBDРис.

5Запишем уравнение динамики для падающего груза Р и вращающейся системы, а также уравнение связи между угловым ускорением ε1 точек, лежащих на поверхности колонки(это ускорение совпадает с ускорением движения груза Р вниз):(21)ma1=mg-F1,(22)J1ε1=F1r,(23)a1=ε1r,где m - масса груза P; а1 ускорение груза при его движении вниз; F1- сила натяжения нити; r радиус колонки; ε1 - угловое ускорение вращающейся части системы; g - ускорение свободногопадения; J1 - момент инерции вращающейся части системы относительно оси вращения О1О2;F1r - момент силы F1 относительно оси О1О2.Выразив из уравнения (23) ε1 подставим его в уравнение (22). Уравнение (21) умножим на rи, сложив почленно с уравнением (22), будем иметь( J 1 + mr 2 )a1(24)= mgr .rУчитывая, что mr2 <<J1, из (24) получимmgr 2(25)J1 =a1C другой стороны, ускорение падающего груза Р(26)2ha1 = 20τ1где h0 и τ1 - высота и время падения груза Р.Из (25) и (26) получим2(27)mgr 2 r1J1 =2h0Запишем закон сохранения механической энергии системы для всего опыта 1(28)mgh0=mgh1+A0+ A1Значения величин А0 и A1 можно определить экспериментально, исходя из следующих соображений.

Пусть груз при неизменном наименьшем моменте инерции J1 опустился с высоты h0 иподнялся на высоту h1 (опыт 1). Энергия, равная разности потенциальных энергий груза в начальном и конечном положениях, была затрачена на работу против сил трения за все времядвижения системы.Работа А0, затраченная на преодоление трения при опускании груза с высоты h0, составляет какую-то часть α0 его начальной потенциальной энергии(29)А0 =α0mgh0По аналогии, работа A1 против сил трения при подъеме груза на высоту h1(30)А1 =α1mgh1Следует заметить, что значения коэффициентов α0 и α1 в соотношениях (29) и (30) весьма малы.В этом можно убедиться, определив экспериментально работу против сил трения за все времядвижения системы и сравнив полученное значение с потенциальной энергией груза.

Кроме того, очевидно, что величины α0 и α1 достаточно близки. Эти два замечания позволяют в дальнейшем с целью упрощения математических выкладок коэффициенты считать равными, т. е.α0=α1=α.С учетом принятого допущения преобразуем (28)mgh0-mgh1=αmgh0+αmgh1,откуда(31)α=(h0-h1)/(h0+h1)Опыт 2. Движение системы с максимальным моментом инерции J2. Увеличение момента инерции до максимального значения J2 достигается раздвижением цилиндров 22 на максимальноерасстояние, т. е. до ограничителей 33. После этого, как и в опыте 1, измеряют h0 - расстояние,проходимое грузом Р при опускании, τ2, - время падения груза Р, h2 - высоту подъема груза после остановки.Полностью повторяя рассуждения, приведенные в описании опыта 1, получимmgr 2 r22(32)J2 =2h0h −h(33)β= 0 2h0 + h2где β - аналог α из опыта 1.График зависимости ω(τ) в этом случае будет иметь вид, представленный на рис.

5 (участокОСД).Из равенств (27) и (32) следуетJ 1 τ 12=J 2 τ 12(34)Опыт 3. Движение системы с изменяющимся моментом инерции от J1 до J2.В начале опыта цилиндры 22 нужно расположить вплотную к поверхности колонки 25(при этом момент инерции J1 минимален), но фиксировать их в этом положении не креплениями 32, а нитями 31, привязанными к ушам 30 кольца 26.

Кольцо 26 с пластинкой 27 подвеситьна штифт 28, и намотать нить Т на колонку 25, обматывая при этом и пластинку 27.Как и в предыдущих опытах, следует заметить начальное положение груза P по линейке13, отпустить его, включив одновременно секундомер для определения времени τ1 опусканиягруза до момента его остановки. Когда груз Р останавливается, пройдя расстояние h0, нить 7своим рывком смещает подвижный штифт 28, ,и кольцо 26 с пластинкой 27 падают на диск 23.Нити 31 уже больше не удерживают цилиндры 22. Сила трения между цилиндрами и стержнем21 мала и не может удержать их вблизи колонки 25. Поэтому цилиндры очень быстро соскальзывают к концам стержня 21, где происходит их неупругий удар об ограничители 33.Перемещение цилиндров 22 к ограничителям 33 резко увеличивает момент инерции системы J и уменьшает ее угловую скорость ω.

Момент инерции системы изменяется и в соответствии с законом сохранения момента импульса можно записатьJ 1ω 1 = J 2ω 2откудаJ1 ω2=J 2 ω1Как правило, в реальных условиях физические законы сохранения выполняются с определенной степенью точности, так как при проведении эксперимента не всегда достаточно строго выполняются условия, при которых эти законы справедливы.

С целью определения степенивыполнимости закона сохранения момента импульса в конкретных условиях на данной экспериментальной установке введем в последнее соотношение величину k:(35)ωJ1=k 2ω1J2Чем ближе значение коэффициента k к 1, тем меньше отличия реальных условий экспериментана данной установке от условий, при которых справедлив закон сохранения момента импульса.Зависимость угловой скорости от времени ω(τ) в опыте 3 имеет вид, представленный нарис.

5 (участок ОАЕК, пунктир).Процесс движения системы в опыте 3 можно разделить на три стадии. В первой стадиисистема, имея наименьший момент инерции J1 движется равноускоренно (рис. 5, участок ОА).Во второй стадии быстро увеличивается момент инерции (участок АЕ) и резко уменьшается угловая скорость. В третьей стадии система, имея наибольший момент инерции А2 вращаетсяравнозамедленно и останавливается (участок ЕK).Для определения отношения угловых скоростей воспользуемся законом сохраненияэнергии.

В первой стадии опыта 3 при опускании груза с высоты h0 имеем(36)112mgh0 = J 1ω 1 + m v 12 + A022При этом(37)v1=ω1r2где mgh0 - потенциальная энергия груза в верхнем положении; mv1 /2 - кинетическая энергияпоступательного движения груза в нижнем положения; J1ω12/2 - кинетическая энергия вращательного движения в конце первой стадии движения.Учитывая (37) и то, что mr2<< J1, получим v12/2<<J1ω12/2. Это позволяет упростить уравнение (36):mgh0 =12J 1ω 1 + A02(38)откуда2( mgh0 − A0 )J1Для третьей стадии опыта 3 при подъеме груза на высоту h, можно записать0 ,5J 2ω 22 = mgh3 + A3откуда2( mgh3 + A3 )ω 22 =J2Из соотношений (34), (35), (39), (40) получимω 12 =k=τ1τ2mgh0 − A0mgh3 + A3(39)(40)(41)где работа А0 может быть определена с учетом (31)и (29), а работа А3 - с учетом (29) и (33), т.