МУ - М-6 (Динамика вращательного движения)

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаЛ.С. Ермолаев, А.М. Кириллов, Л.А. Лунева.ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯМосква, 1990Приводится описание двух методик: по экспериментальной проверке уравнения вращательного движения и по изучению закона сохранения момента импульса. Предназначеныдля студентов 1-го курса всех специальной.Цель работы - изучение и проверка законов динамики вращательного движения твердого тела:уравнения динамики вращательного движения и закона сохранения момента импульса.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬАбсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек), при любых движениях которой взаимные расстояние между материальными точками системы остаются неизменными.Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное. Остальные разновидности движений твердого тела сводятся кодному из основных видов движения или к их совокупности.zO1(fi)τ + (Fi)τωiriviAi∆miO2Рис.

1При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси траектории всехего точек являются концентрическими окружностями с центрами, расположенными на однойпрямой, называемой осью вращения. Ось вращения может проходить через вращающееся телоили располагаться вне его.Для количественного описания вращательного движения твердого тела используютсядве кинематические характеристики: угловая скорость вращения ω и угловое ускорение ε. Между угловым ускорением и динамическим воздействием на твердое тело, называемым моментом внешних сил, существует количественная связь - уравнение динамики вращательного движения твердого тела.Выведем это уравнение на примере тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис.1). Ось вращения О1О2 выберем в качестве координатной оси z, положительное направлениекоторой совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении,совпадающем с вращением твердого тела.Мысленно разделим тело на N столь малых частей, что каждую из них можно рассматривать как материальную точку.

Например, i-я часть массой ∆mi рассматривается как матери!альная точка Аi ; она движется вокруг оси по окружности радиуса ri ≡ ri , где ri - радиус-вектор,проведенный от оси вращения к точке Аi. перпендикулярно к этой оси. Линейная и угловая скорости точки Аi связаны соотношением!!!v i = [ω ri ] .К материальной точке Аi в общем случае приложены внутренние и внешние силы (внутренние действуют на материальную точку Аi со стороны других материальных точек Аk(ki) тела;внешние - действуют на материальную точку Ai со стороны других тел).

Обозначим равнодей!ствующую всех внутренних сил, приложенных к точке Аi., через f i , а равнодействующую всех!внешних сил, приложенных к той же точке, через Fi . Каждую из этих равнодействующих силудобно разложить на три составляющие: 1) осевую, параллельную оси вращения O1O2, (оси z );!2) радиальную, направленную по радиусу-вектору ri ; 3) тангенциальную, направленную по касательной к окружности радиуса ri.

Если линия действия силы пересекает ось или параллельнаей, то момент силы относительно этой оси равен нулю. Поэтому осевая и радиальная составляющие не могут влиять на движение материальной точки Ai., если ось вращения тела и само!!тело не деформируются.

В то же время тангенциальные составляющие f i , Fi направлен-( ) ( )ττныепо касательной к окружности радиуса ri, влияют на движение точки Аi.Обозначая через (ai)r проекцию ускорения точки Аi - на касательную окружности радиуса ri , запишем согласно второму закону Ньютона(1)∆ mi ( ai )τ = ( f i )r + ( Fi )rτТак как угловое ускорение твердого тела ε и тангенциальное ускорение (аi)r любой его точки,находящейся на расстоянии ri -от оси вращения, связаны соотношением (аi)r = εri , то, умножая(1) на ri , имеем(2)∆ mi ri 2ε = [( f i )τ + ( Fi )τ ]ri!!Величины (fi)τri и (Fi)τri определяют моменты сил f i и Fi относительно оси O1O2 .

Проекцияcил (fi)τ и (Fi)τ являются положительными или отрицательными скалярными величинами. Поэтому и момент силы относительно оси является также положительной или отрицательной алгебраической величиной и при его записи важно выбрать правильный знак. Момент силы относительно оси положителен, если со стороны ее положительного направления соответствующаясила представляется направленной против движения часовой стрелки.Уравнения, аналогичные уравнению (2), могут быть записаны для всех N материальныхточек маховика.

Суммируя их, получимNNN(3)2ε ∑ ∆ mi ri = ∑ [( f i )τ + ( Fi )τ ]ri = ∑ ( Fi )τ rii =1i =1i =1СуммаN∑( fi =1) r равна нулю, потому что каждая внутренняя сила, действующая на материаль-i τ iную точку Аi со стороны материальной точки Ак (ki) , согласно третьему закону Ньютонаимеет равную по модулю и противоположную по направлению силу, действующуюна Аk со стороны Аi. ВеличинаN∑ ∆m r2i ii =1=J z(4)называется моментом инерции тела относительно оси z. Учитывая (4) и вводя обозначение(5)NM z = ∑ ( Fi )τ ri ,i =1Уравнение (3) перепишем в виде(6)M z = J zεВеличина Мя в (6) является суммарным моментом всех внешних сил, действующих на отдельные части маховика, относительно оси Z .

Уравнение (6), устанавливая количественную связьмежду Mz и ε , выражает закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси.Отметим, что при вращательном движении момент инерции тела является мерой егоинертности, подобно тому, как при поступательном движении мерой инертности тела являетсяего масса.Так как для твердого тела Jz = const, a ε=dω/dt , то уравнение (6) можно записать в виде(7)d( J zω ) = M zdtВеличину Lz=Jzω называют моментом импульса (или кинематическим моментом) тела относительно оси Z.Из уравнения (7) следует очень важный вывод, который называют законом сохранениямомента импульса: если Mz=0, то(8)Lz = J zω = constт.е. если момент внешних сил относительно оси равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси является постоянным. Этот результат получен для одного твердого тела.

Путемболее сложных доказательств можно обобщить его на случай системы, состоящей из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси. При этом закон сохранения момента импульса принимает следующую формулировку: если суммарный момент внешних сил, приложенных к системе равен нулю, то суммарный момент импульса системы L остается постоянным.Тело во вращательном движении, так же как и в поступательном движении, обладает кинетической энергией.

Любая материальная точка Ai вращающегося тела (рис. 1) движется соскоростью vi=ωri и обладает кинетической энергией1112∆Ti = ∆ mi v i = ∆ mi ( ω ⋅ ri )2 = ∆ m iω 2 ri2 .222Суммируя кинетические энергии всех N материальных точек, вращающегося твердого тела, получаем выражение его кинетической энергииN(9)1 2 N122T = ∑ ∆Ti = ω2i =1∑ ∆m ri =1i i=2J zωЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬЗадание 1. Экспериментальная проверка уравнения динамики вращательного движения.Общий вид экспериментальной установки изображен на рис.

2. На вертикальнойстойке основания 1 крепятся три кронштейна: верхний 7, средний 18 и нижний 2. На верхнемкронштейне 7 крепится блок 4, который изменяет направление движения эластичной нити 6 скрючком 5 и подвешенными на нем грузами 8. На среднем кронштейне 18 расположен узелподшипников 12, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 14 диа-Рис.

2метром D с приспособлением для закрепления нити 6. На другом конце оси находится крестовина, представляющая собой 4 металлических стержня с нанесенными рисками через каждые10 мм. Стержни закреплены в бобышке 11 под прямым углом друг к другу.На каждом стержне могут свободно перемещаться и фиксироваться винтами грузы 9, чтодает возможность ступенчато изменять момент инерции крестовины.На среднем кронштейне 18 крепится также электромагнит 3, который при подаче на негонапряжения с помощью фрикциона удерживает опускающиеся грузы 8 и вращающуюся систему (10, 9, 14) в неподвижном состоянии.На нижнем кронштейне 2 крепится фотоэлектрический датчик 15. Он выдает электрический сигнал на миллисекундомер 17 для окончания счета промежутков времени. На этом жекронштейне крепится резиновый амортизатор 16, о который ударяется груз при остановке.Маятник снабжен миллиметровой линейкой 13. По ней определяется начальное и конечное положение грузов и, следовательно, пройденный путь.Миллисекундомер физический 17 - самостоятельный прибор с цифровой индикацией времени, жестко укреплённый на основании 1.Мысленно разрежем нить с подвешенным грузом в произвольной .точке.

Этим мы разделим систему на две части: груз, движущийся поступательно, и вращающуюся крестовину. Чтобы движение частей установки не изменилось, приложим к концам нити в месте разреза силынатяжения нити F .Запишем уравнение динамики поступательного движения (ma= ∆F ) для падающего грузаmi, на который действуют две противоположно направленные силы; сила тяжести и сила натяжения нитиmia=mig-F,(10)откудаF=mi(g-a).Ускорение падающего груза(11)2ha= 2 ,τГде τ – время падения груза с высоты h.Запишем уравнение динамики вращательного движения для крестовины, на которую действует вращающий момент, создаваемый силой натяжения нити F(12)DJ zε = M z = F ⋅ r = F2где Jz, - момент инерции вращающейся части системы относительно оси вращения z .