МУ - М-1 (Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента), страница 4

5.Рис. 7.Среднее для них x̄ = 1.98 с. Полуширину доверительного интервала (погрешность среднего) вычислим по формуле (15).r0.089= tP,f · 0.086 c∆x̄ = tP,f3·4Инструментальная погрешность17Задав доверительную вероятность P = 0.95, из табл.4 для f = n − 1 = 3,найдём tP,f = 3.18. Тогда ∆x̄ = 3.18 · 0.086 = 0.28 с. Результат измеренияX = 1.98±0.28 с. Округлив его по правилам, изложенным ниже, получимрезультат в окончательном виде X = 2.0 ± 0.3 с, P = 0.95.4Инструментальная погрешностьИнструментальная погрешность измерения определяется погрешностью применяеxi xi − x̄ (xi − x̄)2мых средств измерения, т.е. измерительных 1.87 -0.110.0121приборов и мер.1.97 -0.010.0001Инструментальная погрешность, называ- 1.86 -0.120.0144емая иногда приборной погрешностью, обу- 2.23 +0.250.0625Pсловлена многими причинами, связанными с= 0.089конструкцией прибора, качеством его изготовления и применяемых материалов, тща- Таблица 5.

Для примера 4тельностью регулировки, условиями применения и т.д. Инструментальная погрешность имеет как систематическую,так и случайную составляющие. Соотношение между ними может бытьнеодинаковым для различных приборов (указывается в паспорте прибора), однако чаще преобладает систематическая погрешность. Инструментальную погрешность можно установить при сравнении показанийданного прибора с показаниями более точного. В этом случае можно получить таблицу или график поправок, использование которых повышаетточность прибора.Для многих средств измерения широкого применения изготовителиуказывают, что инструментальная погрешность с достаточно большойвероятностью (P ≥ 0.95) не превышает некоторого значения ∆инстр , называемого пределом допускаемой погрешности.

Например, измерительная линейка длиной 1000 мм имеет ∆инстр = ±0.20 мм, т.е. изготовительне гарантирует, что штрихи нанесены с большей точностью. Погрешности некоторых средств измерения приведены в табл. 6.Связь между ценой деления шкалы и ∆инстр строго не устанавливается. Например, для термометра ТЛ-2 в интервале 300 . . . 400 ◦ C инструментальная погрешность в 4 раза больше цены деления, а для короткойлинейки — в 10 раз меньше.

Поэтому судить о точности прибора на основании цены деления шкалы можно только очень ориентировочно.Инструментальная погрешностьСредство измеренияЛинейки металлическиес ценой деления 1 ммШтангенциркуль с нониусом 0.05 ммМикрометр с ценой деления 0.01 ммТермометр ртутный стеклянный типа ТЛ-2 с ценойделения 1 ◦ СДиапазонизмерений0 . . . 300 мм0 . . . 1000 мм0 . .

. 125 ммПредел допускаемойпогрешности ∆инстр±0.10 мм±0.20 мм±0.05 мм0 . . . 25 мм±0.004 мм0 . . . 100 ◦ С100 . . . 200 ◦ С200 . . . 300 ◦ С300 . . . 400 ◦ С±1 ◦ С±2 ◦ С±3 ◦ С±4 ◦ С18Таблица 6. Инструментальные погрешности некоторых приборовТочность измерений данным прибором, помимо инструментальнойпогрешности, ограничивается погрешностью отсчёта по шкале. Например, при проведении нескольких измерений отсчёт по линейке длиной300 мм с делениями через 1 мм производят с округлением до ближайшего деления и получают одинаковые значения: 22.0 мм; 22.0 мм и т.д.

Вэтом случае максимальная погрешность отсчета равна ±0.5 мм, она в 5раз превышает ∆инстр = 0.1 мм. Результат измерения равен 22.0±0.5 мм.Приведём другой пример: показания термометра ТЛ-2 (табл. 6) также отсчитываются с округлением до ближайшего деления, погрешностьотсчёта равна ±0.5 ◦ С. В этом случае погрешность измерения почти полностью определяется инструментальной погрешностью, например T =(347 ± 4) ◦ С.4.1Учёт инструментальной и случайной погрешностейСуммарную среднюю квадратическую погрешность, обусловленную совместным действием инструментальной и случайной погрешностей, можно оценить по формулеr1 2σсумм =∆+ σ2(16)3 инстрПогрешности косвенных измерений19Если измерения выполнены несколько раз и в качестве результатавзято среднее значение, то в (16) вместо σ надо подставить σx̄ .В случаях, когда одна из этих составляющих преобладает над другой,можно пренебречь малой погрешностью.

Согласно [4] случайная погрешность считается пренебрежимо малой, если ∆инстр > 8σx (∆инстр > 8σx̄ ).Инструментальная погрешность считается пренебрежимо малой, если∆инстр < 0.8σx или ( ∆инстр < 0.8σx̄ ).5Погрешности косвенных измеренийРанее рассматривались погрешности прямых измерений, когда физическая величина (время, напряжение и т.д.) измерялась непосредственно.Часто интересующая нас величина z непосредственно не измеряется ивместо неё мы производим измерения некоторых других величин x, y ит.д., а затем вычисляем z, которая является известной функцией указанных первичных величинz = f (x, y, .

. .)(17)Такой способ измерения z называется косвенным. Например, измерив длины A и B сторон прямоугольника, определим его площадь S =A · B или периметр p = 2(A + B). Если исходные переменные измерены несколько раз, то в (17) подставляем их средние значения x̄, ȳ, . . . иполучаем z̄ = f (x̄, ȳ, . . .).Рассмотрим несколько простых случаев нахождения погрешности косвенного измерения.Первый случай. Пусть z = f (x), т.е. z является функцией одной переменной. Если результат прямого измерения составляет x = xизм ± ∆x,то z = f (xизм ), а погрешность косвенного∆z = f (xизм + ∆x) − f (xизм ).(18)Например, измерив сторону квадрата x = 100 ± 1 мм, определим егоплощадь S = x2 = 104 мм2 и погрешность ∆S = (xизм + ∆x)2 − x2изм= 1012 − 1002 = 200 мм2 .

Результат измерения S = 10000 ± 200 мм2 .Обычно погрешность ∆x мала и формулу (18) можно записать черезпроизводную функции f (x), взятую в точке x = xизм . (рис. 8)∆z =df∆xdx(19)20Погрешности косвенных измеренийdfДля площади квадрата получим ∆S = dx∆x = 2x∆x = 200 мм2 . Величина ∆S представляет собой площадь заштрихованной полосы длиной2x и шириной ∆x (рис. 9).z6.........................изм..........................................................∆zz@f (x)∆xxизмРис. 8.∆x-x-xxРис. 9.Отметим один важный случай, когда z = xm , где m — любое число.По формуле 9 на странице 10 получаем ∆z = mxm−1 и ∆z= m ∆x, т.е.zxотносительная погрешность величины z m в m раз больше относительнойпогрешности величины x.

Например, измерив радиус шара r, определим его объём V = 34 πr3 . Относительная погрешность измерения объёма∆V= 3 ∆rв 3 раза больше, чем относительная погрешность радиуса.VrВторой случай. Пусть измеряемая величина является суммой (илиразностью) двух величин z = x ± y. Средние квадратические погрешности обозначим ∆x, ∆y и ∆z. Предположим, что величины x и y независимы, т.е. результат измерения y не зависит от результата измеренияx. Этот случай имеет место, например, когда ∆x и ∆y — случайные погрешности. Тогдаp(∆z)2 = (∆x)2 + (∆y)2 , ∆z = (∆x)2 + (∆y)2(20)т.е.

складываются не сами средние квадратические погрешности, а ихквадраты (дисперсии). Погрешность, вычисленная по (20), меньше, чем∆x + ∆y. Правило сложения (20) можно пояснить следующим образом:когда погрешность ∆x положительна, погрешность ∆y может быть какположительной, так и отрицательной.Если z является суммой или разностью нескольких независимых величин x1 , x2 , .

. . , xn , то правило сложения погрешностей будет аналогично (20), т.е.p∆z = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + . . . + (∆xn )2(21)21Погрешности косвенных измеренийИз (21) следует важный вывод о роли каждой из погрешностей вобщей погрешности результата. Пусть z = x1 + x2 — сумма двух величин,√ определённых с погрешностями ∆x1 = 3 и ∆x2 = 1. Тогда ∆z =32 + 12 = 3.16 = 1.05∆x1 . Иначе говоря, если одна из погрешностейв 3 раза меньше другой, то общая погрешность возрастает за счёт этойменьшей погрешности всего на 5 %, что обычно играет малую роль.

Этотвывод почти не изменится,если малых погрешностей не одна, а несколь√ко, например ∆z = 32 + 12 + 12 + 12 + 12 = 3.6 = 1.2∆x1 . Это означает, что если мы хотим повысить точность измерения величины ∆z, тонеобходимо в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность,которая больше. В нашем примере это погрешность величины x1 .Приведём общее выражение для вычисления погрешности косвенногоизмерения. Пусть z = f (x, y, . .

.) — функция нескольких независимыхпеременных x, y, . . . . Тогдаs2 2∂f∂f∆z =∆x +∆y + . . . ,(22)∂x∂yгде ∂f— производная по переменной x, взятая в точке x = xизм ; ∂f∂x∂x— производная по переменной y, взятая в точке y = yизм ; (и так повсем переменным);∆z, ∆x, ∆y, . . . — средние квадратические погрешно∂fсти; ∂x ∆x — составляющая погрешности измерения z, обусловленнаяпогрешностью измерения x. Аналогичный смысл имеют и другие слагаемые в (22).Формулы, полученные из (22) для некоторых частных случаев, приведены в табл.

7.Функцияz =x±yz = xy,z=z = ln xz = exxyСоотношения между погрешностямиp∆z = (∆x)2 + (∆y)2r ∆zz=∆xx∆z =∆zz2+∆yy2∆xx= ∆xТаблица 7. Вычисление косвенных погрешностейПравила округления результатов и погрешностей измерения622Правила округления результатов и погрешностей измеренияПогрешности измерений сами определяются с некоторой ошибкой. Эта«погрешность погрешности» обычно такова, что в окончательном результате погрешность приводят всего с одной-двумя значащими цифрами.Правила округления чисел (результатов измерений) иллюстрируются(табл. 8) на примере округления до двух значащих цифр. (Обратите внимание на особенности округления цифры 5).