МУ - М-1 (Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента), страница 3

известно σ), часто встречаются на практике.Приведём математическое выражение для распределения Гаусса (нормального распределения)f (x)(x−X)21f (x) = √ e− 2σ2 ,σ 2π61............. ....... ................................ ............... ............... ...... ........ ........ ................... ............................................ ................. .....σ=0.50.5(10)σ=1где X — истинное значение измеряемой величины;σ — средняя квадратическая погрешность, рассмот2Рис. 6. Распределе- ренная выше (σ — дисперсия).Функция f (x), называемая плотностью распрение Гауссаделения результатов измерения, имеет следующийсмысл: f (x)dx есть вероятность того, что отдельное случайно выбранноезначение многократно измеряемой величины окажется в интервале от xдо x + dx.

В качестве примера на рис. 6 показаны две кривые нормального распределения для X = 4 при различных значениях параметра σ. Изрис. 6 видно, что при уменьшении σ кривая нормального распределениясжимается вдоль оси Ox и вытягивается вдоль оси f (x). Результаты измерения группируются вокруг истинного значения X и тем теснее, чемменьше σ. Вероятность того, что результат измерения попадёт в доверительный интервал (X − ∆x, X + ∆x),0246x-X+∆xZP =f (x) dx.X−∆xЗначения этого интеграла для различных значений ∆x = kσ приведенына рис.

5 и в табл. 3.Случайные погрешности3.313Погрешность среднего значенияСлучайную погрешность можно уменьшить, если провести не одно, анесколько измерений и в качестве результата измерения взять среднеезначение x̄. Изучая случайные погрешности единичных измерений, мырассматривали большую совокупность однородных измерений. Поступим так же со средними, получив на опыте большое число различныхсредних значений одной и той же измеряемой величины. Пусть, например, выполнено четыре измерения периода маятника (см.

табл.2, первые4 результата) и найдено их среднее значение x̄1 = 41 (1.87 + 1.97 + 1.86 +2.23) = 1.98 с. Выполнив ещё четыре измерения, получим несколько иноеx̄1 = 1.99 с. Проделав такую операцию достаточно большое число раз,можно построить гистограмму распределения средних значений x̄i (см.рис. 3г). Сравнивая полученное распределение с распределением результатов единичных измерений на рис.

3в, видим, что оно такой же формы,т.е. нормальное, только более узкое. Средние значения меньше рассеяныотносительно истинного X, так как при нахождении среднего складываются результаты, часть из которых больше X, а часть меньше.Теория даёт следующую связь между средней квадратической погрешностью σx̄ среднего значения, средней квадратической погрешностью единичного измерения σ и числом измерений n, использованныхдля вычисления среднего x̄:σσx̄ = √ .(11)n√ = 0.05 с.В рассмотренном примере n = 4, s = 0.10 с, тогда σx̄ = 0.104Соотношение (11) имеет большое значение в теории погрешностей.Во-первых, из него видна определяющая роль σ, от которой зависят погрешности не только единичного измерения, но и усреднённого результата.

Во-вторых, (11) представляет собой закон уменьшения случайнойпогрешности при росте числа измерений. Например, желая уменьшитьпогрешность в 2 раза, мы должны сделать вместо одного четыре измерения; чтобы уменьшить погрешность в 3 раза — 9 измерений, а 100 измерений уменьшают погрешность результата в 10 раз. Этот путь уменьшения случайной погрешности часто используют на практике.

При этом неследует забывать, что формула (11) справедлива только для случайнойсоставляющей погрешности измерений. Систематическая погрешность,а также в значительной мере инструментальная погрешность не уменьшаются при росте числа измерений.Случайные погрешности14Вычисленное выше значение σx̄ = 0.05 с отметим на рис. 3г и подсчитаем, сколько средних xi попало в интервал (X − σx̄ , X − σx̄ ), т.е.1.95 . . .

2.05 с. Как и следовало ожидать из свойств нормального распределения, в указанный интервал попало около 68% средних значений. Этоозначает, что с вероятностью P = 0.68 среднее x̄ отклонится от X не более чем на σx̄ . Таким образом, всё сказанное о связи между доверительной вероятностью P (k) и погрешностью ∆x = kσ единичного измерениясправедливо и для погрешности ∆x̄ среднего. При этом нужно толькозаменить σ на σx̄ .Если в качестве результата измерения берётся среднее x̄ из n измерений, тоX = x̄ ± σ(12)Причём полуширину доверительного интервала ∆x̄ (погрешность среднего) для заданной доверительной вероятности P (k) можно определитьследующим образом.1. Предположим, что из большой серии каких-либо измерений значение σ известно; оно характеризует погрешность данного метода измерений. Тогда для новой серии подобных измерений погрешностьсреднего значенияkσ∆x̄ = kσx̄ = √ ,(13)nгде n — число проведённых измерений исследуемой величины.2.

Если значение σ неизвестно, но обрабатываемая серия измерений(x1 , x2 , . . . , xn ) достаточно велика (n больше 10 . . . 20), то σ и σx̄находятся из этой серии. ТогдаvuPu nu (xi − x̄)2kσt∆x̄ = kσx̄ = √ = k i=1,(14)n(n − 1)n3. Случай, когда значение σ неизвестно, но n мало (n . 10), будетрассмотрен в п. 3.4.Таким образом, мы пришли к важному заключению: для характеристики случайной погрешности необходимо указать два числа — самупогрешность, т.е.

полуширину доверительного интервала ∆x или ∆x̄, иСлучайные погрешности15связанную с ней доверительную вероятность P . Согласно ГОСТ 8.20776 в технических измерениях, как правило, P = 0.95. В физической научной литературе обычно принимают P = 0.68, т.е. указывают среднююквадратическую погрешность.3.4Погрешность среднего, определяемая из малогочисла измеренийНа практике часто встречается случай, когда проводится небольшое число измерений (n ≈ 2 . . . 10). Для них вычисляется среднее и на основаниитолько этих измерений оценивается погрешность среднего ∆x̄.

В данномслучае погрешности измерений заранее не изучались и значение σ неизвестно. Поэтому нельзя воспользоваться формулой (13), а формула (14)для малого числа измерений даёт плохие результаты. Погрешность ∆x̄вычисленная по (14) для малого числа измерений, имеет другое значениедоверительной вероятности, чем в табл. 3. В случае малого n правильнаяоценка погрешности основана на использовании так называемого распределения Стьюдента (t-распределения).

В данном пособии мы не имеемвозможности обсуждать этот вопрос подробнее, поэтому приведём правила для вычисления погрешностей.По результатам n измерений (n ≥ 2) вычисляем среднее x̄ и полуширину доверительного интервала:vuPu nu (xi − x̄)2t,(15)∆x̄ = tP,f i=1n(n − 1)Это выражение отличается от (14) множителем перед радикалом. Вместо множителя k (функции доверительной вероятности P ) используетсямножитель tP,f , который является функцией не только P , но и числа измерений. Параметр f , называемый числом степеней свободы, в данномслучае соответствует f = n − 1, где n — число измерений.Значения tP,f , рассчитанные по теории вероятностей, приведены втабл.

4 и на рис. 7.Данный метод оценки погрешности среднего значения пригоден длялюбого числа измерений — как для малого, так и большого. При большихn он переходит в более простой метод (см. п. 3.3, формула (14)). Действительно, из рис. 7 и табл. 4 видно, что с возрастанием n значение tP,fСлучайные погрешности16Значение коэффициента tP,ff = n − 1 P = 0.9 P = 0.95 P = 0.95 P = 0.95716.3112.7163.66636.622.924.309.9331.6032.353.185.8412.9042.132.784.608.6052.022.574.036.9061.942.453.715.9671.902.373.505.4081.862.313.365.0491.832.263.254.78101.812.233.174.60201.732.092.853.851201.661.982.623.37∞1.651.962.583.29Таблица 4. Значение коэффициента tP,fстремится к соответствующему значению k; например, tP,f → 1.96 ' 2tпри P = 0.95. Отношение P,f> 1 растёт с уменьшением n и увеличениемkP.Расхождение в значениях ∆x̄, вычисленных по...

...(15) и приближённой формуле (14), тем больше,tP,f ... ...... ...чем меньше n. Например, для P = 0.95 расхожде. ..6 ... ..ние составляет 6.5 раз при n = 2 и всего лишь 1.15... ...... ...раза при n = 10. Расхождение в 1.15 раза (15%)... ....P =0.99... .........4при оценке погрешности измерения не является............

..................................существенным. Поэтому на практике часто мож............0.95.................................но пользоваться формулой (14), если число изме2..................................0.68................................рений n > 10.Пример 4. Обработаем результаты четырёх0159 f =n−1(n = 4) измерений периода маятника, взятых изтабл. 2 и занесённых в первый столбец табл.