МУ - М-1 (Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента), страница 2

Результаты, полученные одним из стрелков, приведеныв табл. 1. Из неё видно, что при малых n частота подвержена большимфлуктуациям, а при больших n — стремится к некоторому пределу. Дляданных условий стрельбы вероятность попадания в цель равна 0.66, еслисчитать n = 500 достаточно большим.Число выстрелов n2510100500Число попаданий m22668330Частота попадания m/n10.40.60.680.66Таблица 1. данные экспериментаЕсли некоторый эксперимент проводится n раз и m раз появляетсясобытие A, то предел отношения m/n при увеличении n определяется каквероятность P (A) события A.

Вероятность может принимать значения0 ≤ P ≤ 1.3.2Характеристики случайных погрешностей.Погрешность единичного измеренияСлучайная погрешность — это составляющая погрешности измерения,которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.7Случайные погрешностиПример 3. Для измерения периода колебаний маятника экспериментатор запускает секундомер, когда маятник достигает максимальногоотклонения, и останавливает его по прошествии одного полного колебания. Небольшая часть полученных данных представлена в табл.

2.Из неё видно, что результаты измерений отличаются друг от друга нанесколько сотых или десятых долей секунды, т. е. содержат случайнуюпогрешность. Погрешность отсчёта показания секундомера, непостоянство реакции экспериментатора, который нажимает кнопку секундомерато несколько раньше, чем нужно, то несколько позже, случайные воздушные потоки, которые влияют на движение маятника, — всё это вызывает разброс результатов измерений.1.87Результаты измерения периода маятника, с1.97 1.86 2.23 1.88 2.04 1.95 2.10 2.03 2.06...Таблица 2.

Результаты измерения периода маятникаСлучайные погрешности являются следствием многих причин, ролькаждой из них незначительна и изменчива, поэтому исследовать каждую из причин, предусмотреть её влияние при данном измерении оказывается невозможным. Можно принять меры для уменьшения случайныхпогрешностей. Например, погрешность, обусловленную реакцией человека, можно уменьшить, если использовать автоматическое устройстводля включения секундомера.Случайные погрешности измерений являются случайными величинами и подчиняются определённым статистическим закономерностям,которые изучаются математической теорией погрешностей.

Ниже мыприведём без доказательства некоторые выводы этой теории. Для иллюстрации основных положений теории будем использовать результаты300 измерений периода маятника (см. пример 3 на стр. 7).Изучение закономерностей, которым подчиняются случайные погрешности, можно сделать наглядными, если построить диаграмму, котораяпоказывает, как часто получались те или иные результаты измерения.Такая диаграмма называется гистограммой распределения результатовизмерения. Для этого разобьём весь диапазон полученных значений периода маятника на равные интервалы и подсчитаем, сколько раз результат измерения попал в каждый интервал.На рис. 3 приведены гистограммы, построенные для различного чис-8Случайные погрешностила n измерений. На гистограмме (рис.

3а) для n = 5 едва лишь намечается картина разброса результатов; на гистограмме (рис. 3б) для n = 50уже проявляется определённая закономерность, которая становится ещёболее отчётливой на рис. 3в для n = 300.Допустим, что для некоторой физической величины X получено n независимыхрезультатов измерений: x1 , x2 , . . . , xn . Тоnin=5гда в качестве наилучшего значения изме36ряемой величины следует взять их среднее,0xi , c01.82.02.2аобозначаемое x̄ или hxi:ni10n1Xx1 + x2 + .

. . + xn=xix̄ =nn i=1(5)56n = 500xi , c01.82.02.2бЧем больше n, тем ближе среднее кniнеизвестному истинному значению X, т.е.50 6σ=0.1x̄ → X при n → ∞. Это справедливо тольn = 30025ко в том идеальном случае, когда системаX?тические погрешности полностью исклю0xi −X, c в-0.200.2чены.niСреднее значение периода маятника15 6для n = 300 соответствует x̄ = 2.00 с. Поσz =0.05- 10скольку 300 это довольно большое число,то для некоторых дальнейших рассужде5ний и выводов можно приближённо приx̄i, cX?0нять, что истинное значение X ≈ x̄ =1.82.02.2г2.00 с.

Перенесём (см. рис. 3в) начало координат в точку X = 2.00 с, тогда по оси Рис. 3. Число результатовабсцисс будут представлены не результа- измерений в интервалеты измерения xi , а их случайные погреш- 0.05сности: xi − X = xi − 2.00.Гистограммы, построенные по большому числу измерений, позволяют изучить закономерности, присущие случайным погрешностям. Рассмотрим их.

Гистограмма на рис. 3в практически симметрична, имеетвид колокола, положение её максимума близко к X. Это означает, чтослучайные погрешности приблизительно с одинаковой частотой принимают как положительные, так и отрицательные значения; большие погрешности встречаются реже, чем малые.-Случайные погрешности9Ширина гистограммы, практически не зависящая от числа измерений, характеризует зону60 6рассеяния результатов измерений, т.е. случай40ные погрешности единичных (отдельных) измерений. Она зависит от приборов, методов и усло20вий измерений.

Это видно из сравнения с гистоx̄i ,c1.92.02.1граммой на рис. 4, полученной при измерениях периода того же маятника другим методом:Рис. 4. Число ресекундомер запускался и останавливался элекзультатов в интертрическим сигналом от фотоэлемента, когда павале 0.01сдающий на него луч перекрывался маятником.Гистограмма (рис. 4) также имеет вид колокола,но ширина её в 5 раз меньше, чем на рис. 3в.Необходимо отметить следующее важное обстоятельство.

Гистограммы распределения результатов измерения, полученные при измеренияхфизических величин, выполненных с помощью разнообразных приборови методов, в большинстве случаев очень похожи по форме на гистограммы рис. 3в и 3в. Они различаются только шириной гистограммы и положением максимума, т.е. величиной X. Про такие распределения говорят,что они подчиняются закону Гаусса (распределение Гаусса или нормальное распределение).

В теории погрешностей даётся математическое выражение для распределения Гаусса, которое будет приведено ниже.Основной характеристикой случайной погрешности является средняя квадратическая погрешность. Необходимо чётко различать среднююквадратическую погрешность σ для единичного (отдельного) измеренияи среднюю квадратическую погрешность σx̄ для среднего значения x̄.Средняя квадратическая погрешность единичного измерения вычисляется по результатам n измерений x1 , x2 , . .

. , xn :vuPu nru (xi − x̄)2(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + . . . + (xn − x̄)2 t i=1σ==,(6)n−1n−1niгде x̄ — среднее из n измерений.Значение σ является основной характеристикой для определения точности данного способа измерений, оно характеризует ширину гистограммы распределения результатов измерения.Иногда встречаются распределения результатов измерений, отличаю-Случайные погрешности10щиеся от нормального, например прямоугольные. Мы не будем рассматривать эти менее типичные случаи, поэтому и все дальнейшие выводыбудут сделаны для нормального распределения.Хотя величина σ характеризует случайную погрешность результатаединичного измерения, выполненного данным методом, сама она можетбыть определена только из результатов достаточно большого числа измерений и тем точнее, чем больше n (на практике можно ограничитьсязначением n = 10 .

. . 50).Вычислив σ (см. пример 3 на стр. 7) для n = 300, получим σ =0.10 с. Отметим это значение на рис. 3а и подсчитаем частоту попаданиярезультатов измерения в интервалX − σ < xi < X + σ(7)На гистограмме (см. рис. 3в) в интервал (7), т.е. 1.90 < xi < 2.10, попадает m = 190 измерений, следовательно, частота попадания равнаm= 190= 0.63. Увеличивая число измерений, мы всё более уточняемn300значения σ и частоты.

В пределе при n → ∞ теория даёт вероятностьP = m/n = 0.68 того, что результат единичного измерения окажется винтервале (7). Другими словами, имеется 68 шансов из 100 за то, чторезультат какого-либо одного измерения отклонится от истинного значения не более чем на σ, и 32 шанса из 100 за то, что отклонение будетбольше.Для полноты описания случайной погреш...ностинеобходимо уметь указывать вероятность..1................P (k) попадания результата измерения xi в интер....P (k).....вал любой заданной полуширины ∆x.0.5...X − ∆x < xi < X + ∆x,(8)........

1 2 3где ∆x удобно выражать через σ и некоторый0kмножитель k:Рис. 5. P (k)∆x = kσ(9)В табл. 3 и на рис. 5 приведены вычисленные теоретически значения P (k). Вероятность P (k) изменяется от 0 до 1 при изменении k от0 до ∞. Однако уже при k = 2 вероятность P (2) = 0.95, а при k = 3имеем P (3) = 0.997. Вероятность 0.997 означает, что из 1000 измеренийв среднем 997 попадут в интервал от X − 3σ до X + 3σ и только триСлучайные погрешности11измерения будут иметь отклонение больше 3σ. Поэтому с некоторой долей условности величину ∆x = 3σ называют предельной погрешностьюизмерения.Неравенство (8) можно записать в другом виде:xi − ∆x < X < xi + ∆xилиX = xi ± ∆xЭта запись имеет следующую важную интерпретацию. Произведя одноизмерение некоторой величины и получив её значение xi , можно утверждать, что искомое значение величины X находится в интервале отxi − ∆x до xi + ∆x с вероятностью P (k).

Интервал, в котором с заданной вероятностью P находится истинное значение измеряемой величины,называется доверительным интервалом. Соответствующая вероятностьP — доверительная вероятность этого интервала. Полуширина доверительного интервала есть оценка погрешности результата измерения.k=∆xσили k =122.63∆x̄σzДоверительная вероятность P (k)0.680.950.990.997Таблица 3.Примечание. Вероятность P иногда называют надёжностью.Возвращаясь к примеру 3, можно указать погрешность ∆x = kσ единичного измерения для любой заданной вероятности: ∆x = 0.10 с дляP = 0.68 или ∆x = 2σ = 0.20 для P = 0.95 и т.д. Результат однократногоизмерения (например первого в табл. 2) представим в виде:X = x1 ± 2σ = 1.87 ± 0.20c,для P = 0.95 .У читателя может возникнуть вопрос: раз мы провели много измерений, чтобы оценить σ, зачем же указывать результат какого-либо единичного измерения, когда среднее значение x̄, рассчитанное из многихизмерений, ближе к истинному? Чтобы понять, зачем нужно знать σ,рассмотрим следующую ситуацию.Случайные погрешности12Пусть после того как измерили период маятника и получили x̄ =2.00 с и σ = 0.10 с (см.

пример 3 на стр. 7), мы выполним всего лишь одно измерение периода другого маятника и получим, например значение2.52 с. Можно ли указать погрешность этого результата? Да, можно. Этоизмерение имеет ту же среднюю квадратическую погрешность σ = 0.10 с,поскольку оно произведено в тех же самых условиях: тем самым человеком, тем же методом, с помощью того же самого секундомера, и периодвторого маятника не слишком сильно отличается от периода первого.Итак, результат измерения периода второго маятника равен 2.52 ± 0.10 сдля P = 0.68. Такие случаи, когда неизвестная величина измеряется всего лишь один раз, а случайные погрешности подобных измерений хорошоизучены (т.е.