МУ - М-1 (Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента)

Государственный комитет СССР по народному образованиюА. И. Савельев, И. Н. ФетисовОбработка результатов измерений припроведении физического экспериментаМетодические указания к лабораторной работе М-1 по курсу «Общейфизики»Под редакцией С. П. ЕрковичаИздательство МГТУ1990АннотацияСавельева А.И., Фетисов И.Н. Обработка результатов измерения при проведении физического эксперимента: Методическиеуказания к лабораторной работе M-1 по курсу «Общая физика»/ Под ред. С.П. Ерковича.

— М.: Изд-во МГТУ, 1990. -32 с., ил.ISBN 5–7038–0347–0Изучаются погрешности измерений и методы обработки экспериментальных данных. Методические указания предназначеныдля студентов 1-го курса всех специальностей.Таблиц — 13 , иллюстраций — 10, Библиографических названий— 6.Рецензент Б.А. Розановc МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990.Электронная версия документа подготовлена с помощью издательскойсиcтемы LATEX 2ε .PDF версия получена с помощью программы pdfTEX версии 0.14-f.Перечисленные программные продукты являются свободными и распространяются бесплатно.

Они входят в состав проекта MiKTEX. Официальный сайт проекта http://miktex.orgГарнитура Computer Modern Roman. Для поготовки документа использованы кириллические PostScript шрифты (Type I), входящие всостав пакета cm-super 0.3.2 (ftp://vvv.vsu.ru)Погрешности измерения2Цель работы — ознакомление с погрешностями измерений и методами их оценки.1Погрешности измеренияИзмерить физическую величину — значит опытным путём с помощьюспециальных технических средств определить её численное отношение коднородной eй величине, принятой за единицу.Поскольку не существует абсолютно точных приборов и методов измерений, то результат измерения xизм в какой-то мере отличается отистинного значения x.

Абсолютной погрешностью (ошибкой) измеренияназывают разность между измеренным и истинным значениями физической величиныδx = xизм − x(1)В задачу измерения входит также оценка погрешности измерения, таккак без этого нельзя судить о том, в какой мере достоверен полученныйрезультат. Поскольку истинное значение обычно неизвестно, вычислитьпогрешность по (1), разумеется, нельзя.

Погрешность определяют, исходя из точности измерительных приборов, разброса экспериментальныхданных, методики измерения и т. д. В результате получают не δx, а еёприближённое значение ∆x, в котором неизвестен, как правило, дажезнак.Типичная форма представления результата измеренияx = xизм ± ∆x(2)означает, что истинное значение с достаточно высокой вероятностью находится в интервалеxизм − ∆x < x < xизм + ∆x(3)Интервал (3) называется доверительным.

Например, для ЭДС элементаполучим E = (1.4 ± 0.1) В, т. е. искомая величина заключена в доверительном интервале 1.3 . . . 1.5 В.Относительная погрешность измерения — отношение абсолютнойпогрешности к измеряемой величинеε=δx∆x≈xxизм(4)Погрешности измерения3Относительную погрешность можно выразить также в процентах. Качество измерений, их точность удобно характеризовать именно относительной погрешностью.

Например, скорость света c = 299 792 459 м/с измерена с абсолютной погрешностью ∆c = 1 м/с или относительной погрешностью ε = 3 × 10−9 = 3 × 10−7 %. Это очень высокая точностьизмерения. Если с такой же абсолютной погрешностью измерена малаяскорость, например, v = 10 ± 1 м/с, то ε = 10 % — это весьма посредственная точность.Без указания погрешности результаты измерений имеют малую ценность, что видно из следующего примера.Пример 1. Испытания на прочность стальной проволоки сечением1мм2 показали, что разрыв происходит под действием силы FA = 1400 Hдля стали A и FB = 1300 H для B. Можно ли считать, что сталь A прочнее, чем B? На этот вопрос нельзя ответить обоснованно, не зная погрешностей измерения.

Пусть они достаточно малы, например ∆F = 10 H. Тогда прочность стали A лежит в интервале FA = 1390 . . . 1410 H, а стали B— FB = 1290 . . . 1310 H. Сравнивая эти интервалы, видим, что с учётомпогрешностей измерения FA > FB , т. е. сталь A прочнее. Иная ситуациявозникает при больших погрешностях, например ∆F = 200 H. В этомслучае, сравнивая интервалы FA = 1200 . .

. 1600 Н и FB = 1100 . . . 1500 H,видим, что они сильно перекрываются и поэтому не можем утверждать,что материалы отличаются по прочности.Точность, с которой следует проводить измерения, должна быть согласована с целями измерений. Предположим, что в данном примереизмерения проводились с целью выбора более прочной стали, тогда точность ∆F = 10 H достаточна и её дальнейшее повышение может привестик неоправданной трате времени и средств.Из примера также видно, что, если мы ошиблись в оценке погрешности даже в 2 раза, т.е.

считали её равной 5 или 20 Н вместо 10 Н, тоэто не мешает сделать правильный вывод о большей прочности стали A.Поэтому во многих случаях лучше дать хотя бы приближённую оценкупогрешности, чем никакой.Некоторые экспериментаторы сильно занижают погрешности, потому что недостаточно критически относятся к своей работе или хотятпредставить более «качественный» результат. Это совершенно недопустимо, так как ведёт к ошибочным выводам. Другая крайность состоитв произвольном увеличении погрешности в несколько раз (для запаса),что также не рекомендуется, так как обесценивает результаты хорошихСистематические погрешности4измерений.Иногда при проведении эксперимента возникают грубые погрешности — промахи, являющиеся результатом низкой квалификации экспериментатора, его небрежности или неожиданных сильных воздействийна измерения. Промахи приводят обычно к очень большим погрешностям, и поэтому возможность их возникновения должна быть полностьюисключена.

Для этого следует соблюдать аккуратность и тщательностьв проведении опыта, записях результатов. В дальнейшем будем считать,что промахи в рассматриваемых измерениях отсутствуют.По характеру проявления погрешности подразделяют на систематические и случайные.2Систематические погрешностиСистематическая погрешность — это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется приповторных измерениях одной и той же величины. Например, результатыизмерения времени будут завышены, если часы спешат.Причины, вызывающие систематические погрешности, детально исследуются в тех разделах физики или техники, в которых разрабатывается методика соответствующих измерений; там же определяются правила исключения из результатов измерения систематических погрешностей.Систематические погрешности можно разделить на несколько групп.1. Погрешности, природа которых известна и которые могут быть достаточно точно определены.

В этой случае в результаты измеренийможно внести поправку и тем самым исключить погрешность илисущественно её уменьшить.Пример 2. Ток J и напряжение U на резисторе R измеряются по схеме (рис. 2). Принимая U равным показанию U1 вольтметра (B), мыдопускаем систематическую погрешность Jr, равную напряжениюна сопротивлении r амперметра (A). Введя поправку Jr , получимправильное значение U = U1 − Jr.2. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины.Например, температура горячего тела измеряется по схеме (рис.

1).Систематические погрешности5Очевидно, что результаты измерения будут занижены, так как погрешность, зависящая от теплового контакта термометра с телом,трудно поддаётся оценке. Самое лучшее, что можно предложить вподобных случаях, — это изменить саму методику измерений, т.е.влияние воздуха на термометр надо уменьшить, как показано нарис. 1а, б.Рис. 1. Измерение температуры3. Погрешности, о существовании которых мы не подозреваем, хотяих величина может быть значительной. Например, в схеме на рис. 1поверхность металла в клеммах a и b окислилась, и сопротивлениеконтактов сильно возросло. В этом случае результат измерения напряжения на резисторе может оказаться неверным. Такого типапогрешности самые опасные, особенно при сложных измерениях ив мало изученных областях исследования.Погрешности измерительных приборов в значи←Jr →rraтельной степени также систематические; они будутAрассмотрены ниже.Из приведённых примеров видно, что систематические погрешности могут быть столь велики, чтоB U1 R Uсовершенно искажают результаты измерений.

Поэтоrrbму учёт и исключение систематических погрешноJ стей составляют важную часть экспериментальнойработы. Необходимо очень тщательно продумыватьРис. 2. схемаметодику измерений и подбирать приборы, проводить контрольные измерения, оценивать роль мешающих факторов ит. д. Один из способов убедиться в отсутствии систематических погрешностей — это повторить измерения другим методом и в других условиях.

Совпадение полученных результатов служит некоторой гарантией ихправильности.Случайные погрешности36Случайные погрешности3.1Вероятность случайного событияСлучайными называются такие события, о появлении которых не можетбыть сделано точного предсказания. Например, выпадение тройки прибросании игральной кости, выигрыш в лотерее и т. д.Хотя в таких случаях невозможно точное предсказание, можно указать вероятность появления того или иного результата.

Поясним понятиевероятности на следующем примере. Пусть стрелок делает n прицельныхвыстрелов, из них m раз попадает в цель и n − m раз промахивается. Тогда отношение m/n называется частотой попадания. При увеличении nчастота стремится к некоторому пределу, который и есть вероятность попадания в цель.