МУ к лабораторным работам

СОДЕРЖАНИЕПредисловие...................................................................................7Лабораторная работа 1. Погрешности вычислений...................Введение (9). Погрешности вычислений. (9). Вычисление значения функции с помощью разложения ее в ряд Тейлора (13).Вычисление производной (15). Формула первого порядкааппроксимации (15).

Формула второго порядка аппроксимации (17). Формула четвертого порядка аппроксимации (18).Контрольные вопросы (19). Порядок выполнения работы (21).Библиографическая справка (23).9Лабораторная работа 2. Табличное задание ................................и интерполирование функцийВведение (24).

Задача интерполяции (24). Алгебраическая интерполяция (25). Непосредственное вычисление коэффициентов интерполяционного полинома (25). Интерполяционныйполином в форме Лагранжа. Интерполяционный многочленв форме Ньютона (26). Формула для погрешности алгебраической интерполяции (27). О сходимости интерполяционногопроцесса (28).

Обусловленность задачи построения интерполяционного многочлена для функции, заданной таблицей (29).Классическая кусочно-многочленная интерполяция (31).Оценка неустранимой погрешности при приближении функции по ее значениям в узлах интерполяции. Выбор степеникусочно-многочленной интерполяции (31). Насыщаемость(гладкостью) кусочно-многочленной интерполяции (32). Кусочно-многочленная гладкая интерполяция (сплайны). Локальные сплайны (32).

Нелокальная гладкая кусочномногочленная интерполяция (34). Тригонометрическая интерполяция (35). Многочлены Чебышёва (38). Алгебраический интерполяционный полином на сетке из нулей полинома Чебышёва (38). Алгебраический интерполяционныйполином на сетке из экстремумов полинома Чебышёва (39).Чувствительность интерполяционного тригонометрическогомногочлена к погрешностям задания функции в узлах интерполяции (39).

Контрольные вопросы (40). Порядок выполнения работы (41). Библиографическая справка (44).24Лабораторная работа 3. Численное интегрирование................Введение (45). Способы конструирования квадратурных формул (45). Погрешность квадратурных формул (48).

Приемывычисления несобственных интегралов (52). Контрольные453вопросы (56). Порядок выполнения работы (56). Библиографическая справка (57).Лабораторная работа 4. Численное решение систем ...............линейных уравненийВведение (58). Обусловленность систем линейных уравнений (59). Метод Гаусса (61). Метод сопряженных градиентов (63). Метод простых итераций (65).

Метод Зейделя и метод релаксации (67). Метод простых итераций с оптимальнымпараметром (68). Трехслойный метод Чебышева (70). Метод соптимальным набором параметров (71). Метод минимальныхневязок (72). Метод скорейшего спуска (73). Контрольные вопросы (74). Порядок выполнения работы (75). Некоторые рекомендации по работе с программой (76).

Библиографическаясправка (78).58Лабораторная работа 5. Численное решение ..............................нелинейных уравненийВведение (79). Нелинейные уравнения. Теоретическая справка (79). Метод простой итерации (80). Метод Ньютона (81).Метод секущих (83). Мера погрешности (84). Сходимость поаргументу (84). Сходимость по функции (85). Контрольныевопросы (85). Порядок выполнения работы (86). Библиографическая справка (87).79Лабораторная работа 6. Переопределенные системы..............линейных уравнений.Метод наименьших квадратовВведение (88). Переопределенная система линейных алгебраических уравнений (88).

Геометрический смысл методанаименьших квадратов (90). Оценка обусловленности матрицы системы МНК (91). Метод Гаусса (92). Метод сопряженных градиентов (92). Полиномы Лежандра (92). Порядоквыполнения работы (93). Некоторые рекомендации по работе с программой (95). Библиографическая справка (96).88Лабораторная работа 7. Численное решение ..............................обыкновенных дифференциальных уравнений.Задача КошиВведение (97).

Численные методы решения задачи Кошидля обыкновенных дифференциальных уравнений (98). Устойчивость (99). Дифференциальная задача (99). Сеточнаяобласть (100). Разностная задача (100). Погрешность метода (100). Явные методы Рунге–Кутты (100). Метод Рунге–Кутты первого порядка точности (101). Метод Рунге–Куттывторого порядка точности (101). Метод Рунге–Кутты третьего порядка точности (102). Метод Рунге–Кутты четвертого974порядка точности (102). Экстраполяция Ричардсона (102).Схема второго порядка с центральной разностью (103).

Теоремы об устойчивости методов Рунге–Кутты (103). Контрольные вопросы (104). Порядок выполнения работы (105).Библиографическая справка (108).Лабораторная работа 8. Численное решение............................... 109обыкновенных дифференциальных уравнений.Краевая задачаВведение (109). Пример краевой задачи (109). Линейнаякраевая задача (110). Метод численного построения общегорешения (110). Конечно-разностный метод (прогонки) (111).Нелинейная краевая задача (112). Метод стрельбы (112).Вычислительная неустойчивость задачи Коши (114). Методлинеаризации (115). Порядок выполнения работы (116).Библиографическая справка (118).Лабораторная работа 9. Численное решение............................... 119дифференциальных уравненийв частных производных гиперболического типа.Уравнение переносаВведение (119).

Дифференциальная задача (119). Сеточнаяобласть (120). Пример разностной задачи (120). Шаблонразностной схемы (120). Погрешность метода (120). Невязка (121). Спектральный признак устойчивости (122). Явныйлевый уголок (122). Явная четырехточечная схема (123). Явная центральная трехточечная схема (124). Гибридная схема(схема Федоренко) (124). Схема «чехарда» (126). Неявныйлевый уголок (126).

Неявный правый уголок (127). Неявнаячетырехточечная схема (127). Схема «прямоугольник» (128).Неявная шеститочечная схема (129). Точное решение задачиКоши для однородного уравнения (129). Порядок выполнения работы (130). Библиографическая справка (131).Лабораторная работа 10. Численное решение............................. 132дифференциальных уравненийв частных производных гиперболического типа.Волновое уравнениеВведение (132).

Дифференциальная краевая задача (132).Сеточная область (133). Разностная задача (133). Шаблон разностной схемы (133). Ошибка аппроксимации (133). Спектральный признак устойчивости (134). Способы конструирования разностных схем (135). Сведение задачи (10.1) к задачедля системы двух уравнений первого порядка (138). Контрольные вопросы (149). Порядок выполнения работы (150).Библиографическая справка (150).5Лабораторная работа 11. Численное решение ............................ 151дифференциальных уравненийв частных производных параболического типа.Уравнение теплопроводностиВведение (151).

Дифференциальная краевая задача (152). Сеточная область (152). Пример разностной задачи (152). Шаблон разностной схемы (153). Спектральный признак устойчивости (153). Шеститочечная параметрическая схема (154).Схема Франкела–Дюфорта (155). Схема Ричардсона (155).Явная центральная четытрехточечная схема (156). СхемаАлена–Чена (157). Нецентральная явная схема (157). СхемаСаульева (158). Точные решения тестовых краевых задач дляодномерного линейного уравнения теплопроводности (159).Порядок выполнения работы (160). Библиографическаясправка (161).Лабораторная работа 12. Численное решение уравнений .......

162эллиптического типа. Уравнение ПуассонаВведение (162). Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы (163). Обусловленность систем линейных уравнений (167). Метод дискретного преобразования Фурье (167). Метод сопряженных градиентов (169). Метод простых итераций (169). Метод с оптимальнымпараметром (169). Трехслойный метод Чебышева (169). Метод спектрально-эквивалентных операторов (169). Контрольные вопросы (170).

Порядок выполнения работы (171).Библиографическая справка (171).Лабораторная работа 13. Метод разностных потенциалов..... 172Введение (172). Форма области и сетка (173). Сеточныемножества (173). Разностная вспомогательная задача (174).Разностный потенциал (175). Граничный проектор (175).Решение краевой задачи (176). Оператор вычисления плотности (177). Вычисление нормальной производной (178).Кусочно-кубическая интерполяция (179).

Порядок выполнения работы (180). Библиографическая справка (181).Приложение 1. Теоретическая справка ..................................... 182к работам 9–12Разностные методы (182). Спектральный признак устойчивостидля эволюционных уравнений (184).Приложение 2. Некоторые рекомендации ................................