Семинары 4 семестр Часть 2

СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРАМОСКОВСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА.ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ.Преподаватель: Семендяев Сергей Вячеславович.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра1СЕМИНАР №7.УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И СКОБКИ ПУАССОНА.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика.

– М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................

Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...................................................................................... -Переходим к темам второго задания. Необходимо обязательно ходить на лекции погамильтоновой механике, т.к. задание чисто теоретическое.В подходе Гамильтона рассмотрение ведется в расширенном фазовомпространствеq, p, t , где pi =∂L- обобщенный импульс.

Эти переменные еще называют∂qiгамильтоновыми.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра2Рассматриваются голономные системы, для которых существует функция ЛагранжаL , удовлетворяющая требованию: det∂2 L≠ 0 (Требование обратимости перехода∂qi ∂qkот лагранжевых t , q, q переменных к гамильтоновым t , q, p ).Функция Гамильтона (Гамильтониан):nΗ ( q, p, t ) = ∑ pi qi |q =Ψ ( q , p ,t ) − L ( q, q, t ) |q =Ψ ( q , p ,t )i =1где запись qi = Ψ ( q, p, t ) означает, что qi должны быть выражены через переменныеq, p, t , что можно сделать с помощью соотношения pi =∂L= f ( t , q, q ) .∂qiКанонические уравнения Гамильтона (гамильтонова система):∂Η⎧⎪⎪ q i = ∂pi, i = 1, n .⎨∂Η⎪ pi = −⎪⎩∂qiЭти уравнения удобны для вычислительной техники, а также с точки зренияаналитического решения, т.к.

разрешены относительно производных второгопорядка. Также им на помощь приходят первые интегралы движения.Первым интегралом уравнений Гамильтона называется функция f (q, p, t ) , котораяпри подстановке в нее любого решения q(t ), p(t ) системы Гамильтона сохраняет какфункция t свое значение: f (q(t ), p(t ), t ) = f (q0 , p0 , t 0 ) = const .Количество всех функционально независимых первых интегралов: 2n .Первые интегралы можно найти без вычислений, например, через циклическиекоординаты.Координата q k называется циклической, если функция Гамильтона (а значит иЛагранжиан) от нее не зависит явно, т.е.∂Η∂L= 0 (или= 0 ).∂qk∂qkЦиклической координате q k соответствует первый интеграл pk = Ck = const - импульс.При введении m циклических координат порядок системы Гамильтона понижаетсяна 2m единицы. Чем больше циклических координат, тем больше можем понизитьпорядок системы.С.В.

Семендяев. Семинары весеннего семестра3Пример. Для центрального поля, если координаты декартовы - Π (x, y, z ) . Еслисферические - Π (r ) , т.е. в сферических координатах θ и ϕ - циклическиекоординаты.Η совпадает с полной энергией, когда система натуральна (тогдаL = T2 + T1 + T0 − Π ) и склерономна (тогда T = T2 ). Тогда можно записатьгамильтониан Η = Τ + Π , выраженный через p и q . Система натуральна, еслисуществует обычный либо обобщенный потенциал. Если система, кроме того,склерономна, то вся кинетическая энергия в Τ2 . Если она, кроме того, еще иконсервативна, то полная энергия сохраняется Η = h ,dΗ ∂Η=. Таким образомdt∂tясен физический смысл Гамильтониана: для натуральных склерономныхсистем он совпадает с полной энергией, а для консервативных более того –сохраняется.Задача С.19.24.RR sin θϕθRθϕ□ Система реономна R = R(t ) .L=()m 2R + R 2θ 2 + R 2 sin 2 θϕ 2 − mgR cos θ2pθ =∂L= mR 2θ∂θpϕ =∂L= mR 2 sin 2 θϕ∂ϕ⇒ θ=ϕ=pθ,mR 2pϕmR sin 2 θ2.С.В.

Семендяев. Семинары весеннего семестра4nΗ ( q, p, t ) = ∑ pi qi |q =Ψ ( q , p ,t ) − L ( q, q, t ) |q =Ψ ( q , p ,t ) .i =1pϕ2pϕ2pθ2m ⎛⎜ pθ2Η=+−+mR 2 mR 2 sin 2 θ 2 ⎜⎝ m 2 R 2 m 2 R 2 sin 2 θ⎞⎟ + mgR cos θ − m R 2⎟2⎠m 2R можно было не писать, т.к. Η определяется с точностью до аддитивной2функции от времени, а у нас R = R(t ) .⎞pϕ21 ⎛⎜ pθ2⎟ + mgR cos θ = h .Η=+2m ⎜⎝ R 2 R 2 sin 2 θ ⎟⎠pθ = −2∂Η 1 pϕ cos θ=+ mgR sin θ .∂θ m R 2 sin 3 θpϕ = −∂Η= 0.∂ϕpϕ = Cϕ и Η = h - первые интегралы.Η (θ , Cϕ , pθ ) = h (ушла явная зависимость от t ).Кстати, можно выразить pθ = 2mR h − 2m gR cos θ −2θ=23Cϕ2sin 2 θ.pϕpθ=,ϕ.■mR 2mR 2 sin 2 θЕсть еще одна возможность приобретения первых интегралов – это скобкиПуассона:n⎛(ϕ ,ψ ) = ∑ ⎜⎜ ∂ϕ ∂ψi =1⎝ ∂qi ∂pi−∂ϕ ∂ψ∂pi ∂qi⎞⎟⎟ .⎠Свойства:1.

(ϕ ,ψ ) = −(ψ , ϕ ) ;⎛m⎞m⎠i =12. ⎜ ∑ λiϕ i ,ψ i ⎟ = ∑ λi (ϕ i ,ψ i ), λ = const ;⎝ i =13. ((ϕ , f ),ψ ) + (( f ,ψ ), ϕ ) + ((ψ , ϕ ), f ) = 0 (тождество Пуассона);4.∂ (ϕ ,ψ ) ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ψ,ψ ⎟ + ⎜ ϕ ,=⎜∂t⎝ ∂t⎠ ⎝ ∂t⎞⎟.⎠Через скобки Пуассона можно сформулировать критерий того, что некотораяС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра5функция f - интеграл уравнений Гамильтона.Для того чтобы f была первым интегралом необходимо и достаточно, чтобыnndf ∂fdf ∂f∂f∂f=+( f ,H) = 0 (=+∑qi + ∑pi = 0 , и учесть уравнения Гамильтона).dt ∂t i =1 ∂qidt ∂ti =1 ∂piЕсли для элементов векторного пространства определена бинарная операция (•,•) ,удовлетворяющая условиям 1-3, то пространство есть алгебра Ли.

Другим примеромалгебры Ли является трехмерное векторное пространство с операцией векторногоумножения.Понятие скобки Пуассона полезно тем, что дает возможность по двум первыминтегралам простыми вычислениями подсчитать еще один первый интеграл.Теорема Якоби-Пуассона. Скобка Пуассона (ϕ ,ψ ) от первых интеграловгамильтоновой системы есть первый интеграл той же системы.Пример. Пусть Η = h - первый интеграл, а q1 - циклическая координата, тогда p1 = C первый интеграл.

Скобка Пуассона от них: ( p1 , H ) = 1 ⋅∂Η= 0 . Цепочка остановилась,∂q1новый первый интеграл не получить.Кроме того, нас интересуют независимые первые интегралы.Есть еще один способ получения первых интегралов, основанный на отделимыхкоординатах.Координата q k называется отделимой, если от нее и от соответствующего ейимпульса функция Гамильтона зависит следующим образом:Η = Η ( t , z , q1 ,.., qk −1 , qk +1 ,.., qn , p1 ,.., pk −1 , pk +1 ,.., pn ) , где z = f ( qk , pk ) .Циклическая координата q k - частный случай отделимой координаты:z = f (q k , p k ) = p k .Теорема.

Отделимой координате q k соответствует первый интеграл z = f (q k , p k ) .Пример. Отделение переменных в Η ( f 2 ( f1 (q1 , p1 ), q 2 , p 2 ), p3 , q 4 , p 4 ) дает четыре первыхинтеграла: f1 (q1 , p1 ) = α 1 , f 2 (α 1 , q 2 , p 2 ) = α 2 , p3 = α 3 , Η (α 2 , α 3 , q 4 , p 4 ) = α 4 .

Для каждой изшести скобок Пуассона этих функций выполняется (•,•) = 0 , что позволит удвоитьС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра6количество первых интегралов. (Об этом в §41 краткого курса аналитическойдинамики Г.Н. Яковенко).Через скобки Пуассона уравнения Гамильтона можно записать в виде:⎧ qi = (qi , Η )⎨⎩ pi = ( pi , Η )Пример. В плоскости y, z точка отпущена вниз в поле тяжести с нулевой скоростью.xyzДопустим, есть первые интегралы:x = const , K y = const = p x z − xp z .ijkKo = xpxypyzpzСкобка Пуассона (x, K y ) = 1 ⋅ z = const в соответствии с теоремой Якоби-Пуассона.Но z ≠ const ⇒ противоречие. Ошибка здесь в том, что x и K y не первые интегралы.Задача С.19.41.qi = f i (θ j , t ) , i, j = 1, n .{qi , qi , t} → {θ j ,θ j , t}.piq =∂L.∂qidqi∂f∂f=∑ i θj + i .dt∂tj ∂θ j⎛∂f∂f ⎞L = L⎜ f i , ∑ i θ j + i , t ⎟ .⎜∂t ⎟⎠j ∂θ j⎝p jθ =⎛ ∂L ⎞∂f∂f∂f∂L= ∑⎜⋅ i = ∑ piq i .

⇒ pθ =⎟∂θ∂θ j∂θ ji ⎝ ∂qi ⎠ qi =..., ∂θ jiTpqqi =...С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра7СЕМИНАР №8.ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика.

– М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................

Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ......................................................................................