Элементы качественной теории динамических систем, страница 3

Приэтом в формулах (5.8) величина f '(1) будет отличаться от нуля (на величину порядка ), а вторая производная f ''(1) сохранит свой знак (если только она не равна нулю).Возможно два случая (см. рис.5, где показаны примерные графики f (u) ). а) Еслиf ''(1)  0 , то в начальный момент f (u0 )  0, f (1)  0 , поэтому один из нулей функцииf (u) лежит между u0 и единицей, другой же нуль u1 , необходимо лежащий винтервале (1, u0 ) , удален от u0 на расстояние, не исчезающее вместе с  . Такаяситуация свидетельствует о неустойчивости. б) Во втором случае f ''(1)  0 , вначальный момент также f (u0 )  0, f (1)  0 , однако вследствие неравенства f ''(u0 )  0второй нуль удален от u0 на расстояние порядка  .

Окончательно приходим к выводу:для устойчивости необходимо и достаточно выполнение неравенстваC 2 r 2  4 Amgl(5.9)известного как условие Маиевского. Заметим, что согласно теореме 5.5, вследствиетрения волчок рано или поздно упадет. Это не препятствует широкому практическомуиспользованию гироскопических устройств.-1|1|u1u0-1|uu11|u0uРис. 5. Области возможного движения волчкаа) неустойчивый случай; б) устойчивый случай6.Кривая равновесий. В реальных динамических системах правая частьзависит не только от переменных состояния x , но и от некоторого параметра (или нескольких параметров).

При изменении параметра может менятьсяколичество корней уравнения (1.3), а также характер устойчивостисоответствующих им положений равновесия системы (1.1). Надо иметь в виду,что переменные состояния обычно допускают весьма точное измерение, тогда какнекоторые внешние параметры (например, влажность или скорость ветра) скореестоит считать не константами, а медленно меняющимися функциями времени. Какправило, эти плавные изменения параметров не меняют качественно картинудвижения, а вызывают лишь смещение положения равновесия без изменения егохарактера устойчивости.Рис.

6. Пример кривой равновесийОднако имеются и ключевые значения параметра  , в окрестности которыхдинамика системы существенно неодинакова. Такие значения называютбифуркационными. Допустим, что при фиксированном значении   0 нам удалосьнайти корень x  x0 уравненияf ( x,  )  0(6.1)Согласно теореме о неявной функции, если матрица Якоби J , определенная в(4.1), невырождена, то уравнение (6.1) в некоторой окрестности значения ( x0 ,0 )имеет единственный корень x  x ( ) , зависящий от параметра непрерывнодифференцируемым образом. Следовательно, точка бифуркации определяетсясоотношениемfdet ix jn0(6.2)i , j 1Геометрическую интерпретацию кривой равновесий удобно дать для случаяединственной переменной состояния (на рис.

6 она обозначена q p ). Здесь имеется триточки, где выполнено равенство (6.2), обозначенные 01 , 02 и 03 . Первая из точексоответствует пересечению двух ветвей кривой равновесий, две других – экстремумамфункции    ( x ) .7. Основные типы бифуркаций. Ветви кривой (6.1) разбивают плоскость ( x,  )на несколько областей, в каждой из которых функция f ( x,  ) сохраняет знак (рис. 7).x++-0102 03Рис.

7. Бифуркации «смена устойчивости» и «седло-узел»Если в некоторой точке кривой при возрастании x и фиксированном значение f ( x,  ) меняет знак с «плюса» на минус, то f / x  0 , и по теоремеЛяпунова об устойчивости по первому приближению положение равновесияасимптотически устойчиво. Соответствующие части кривой равновесия показаны нарис. 7 сплошными линиями. Противоположный переход означает, что f / x  0 ; этинеустойчивые точки лежат на пунктирных линиях.При значении 01 мы имеем бифуркацию «смена устойчивости»: если   01 , тоточки на одной ветви устойчивы, а на другой – неустойчивы; при   01 характерустойчивости меняется на противоположный. В точках   02 и   03 имеет местобифуркация, называемая «складка» (английское “fold”) или «седло – узел».

Если  02 , то в окрестности складки имеется два положения равновесия: устойчивое инеустойчивое. Напротив, для значений   02 вблизи складки на кривой точек нет.Аналогичная картина – в точке   03 .К более сложному типу бифуркаций относится «вилка» (“fork”, корень термина«бифуркация»), объединяющая пересечение двух ветвей кривой равновесий соскладкой. Такой случай типичен в системах с симметрией, когда функция f ( x,  )четна по x , кривая равновесий в окрестности «вилки» изображена на рис.8.Рис.8. Бифуркация типа «вилка»Формальные условия перечисленных основных бифуркаций выражаютсяследующим утверждением.Теорема. Пусть точка x  0,   0 кривой (6.1) является особой, т.е.

f / x  0 .f2 f 0, 2  0 , то имеет место «складка»;1) Еслиxf2 f2 f 0, 2  0, 0 происходит смена устойчивости:2) в случаеxxf2 f3 f2 f 0, 2  0, 3  0, 0.3) условия «вилки» имеют видxxxДоказательство. 1. В данном случае кривую равновесий можно представить вокрестности начала координат в виде  Ax 2, 2 f  f A  2 x   1где многоточие обозначает члены порядка не ниже третьего.2. Здесь кривая (6.1) выражается формулойf  A x  Bx 22 f1 2 fA,Bx2 x 2,что свидетельствует о наличии двух ее ветвей, пересекающихся в начале координат.3. В случае вилкиf  A x  Bx 3,2 f1 3 fA,Bx6 x 3Т.е. (в отсутствие отброшенных членов) имеем пересечение оси абсцисс и параболы.Во всех случаях устойчивость определяется знаком f / x в точке, лежащей накривой.В механических системах с одной степенью свободы при определении фазовыхпеременных формулой (1.2) в положении равновесия необходимо x2  0 , и криваяравновесий задается на плоскости ( x1 ,  ) уравнениемf 2 ( x1 ,0, )  0(7.1)Для этой кривой строится диаграмма по аналогии с рис.7.

Исследование устойчивостипо первому приближению проводится путем анализа корней характерическогоуравнения n n 2В консервативном случаеf 20qиf 2f 2 0qq2 f 2. Тогда для устойчивости необходимо иqf 2 0 (теорема Лагранжа и ее обращение), чтоqсогласуется с характеристикой устойчивости для общего случая (рис.7). В общемслучае асимптотическая устойчивость (по первому приближению) равносильнаffсистеме неравенств 2  0, 2  0 .qqЗаметим, что кривую равновесия можно строить и для систем более высокойразмерности, однако для выводов об устойчивости потребуется дополнительныйанализ.Пример. Рассмотрим конечноэлементную модель классической задачи Эйлера оравновесии нагруженной колонны (рис.9). Два невесомых стержня длины l связаныторсионной пружиной жесткости c .

Свободный конец одного из стержней шарнирнозакреплен на стенке, а к свободному концу другого стержня прилагается сила P .Определить положения равновесия и их устойчивость. При x  0 пружина ненапряжена, где x угол между стержнем и основанием.достаточно выполнения условияcllxPРис.9. Модель балки ЭйлераРешение. Потенциальная энергия системы складывается из энергии деформациипружины 1  2cx 2 и работы внешней силы, затраченной на перемещение тележки, спротивоположным знаком: 2  2Pl (1  cos x) . Кривая равновесий (7.1) задаетсяформулой2cx  Pl sin x  0(7.2)Обозначим   2c / Pl ; кривая (7.2) распадается на две ветвиsin x, x0x(7.3)x1Рис.

10. Кривая равновесий для системы на рис.9Таким образом, при малой нагрузке P имеется единственное положениеравновесия x  0 , притом устойчивое. При значении   1 , что соответствует P  c / 2 ,происходит бифуркация («вилка»): коллинеарное положение стержней становитсянеустойчивым, взамен появляется пара устойчивых изогнутых положения,соответствующих противоположным корням трансцендентного уравнения (7.3).8. Бифуркация рождения цикла. Данный тип бифуркации не связан с равенством(6.2): здесь изолированное положение равновесия при изменении параметра сохраняется, но теряет устойчивость.

Одновременно в окрестности этой точкирождается периодическое решение, амплитуда которого растет вместе с  . Дляреализации такого сценария требуется система (1.1) порядка не менее двух, чтосоответствует механической системе с одной степенью свободы. Потеря устойчивостиобусловлена тем, что пара комплексно сопряженных собственных значений матрицы(4.1) переходит из левой полуплоскости комплексной плоскости в правуюполуплоскость (рис.12, а). Эта особенность динамических систем была открыта иисследована в начале 20-го века и получила название бифуркации рождения цикла,или бифуркации Пуанкаре – Андронова – Хопфа. Сценарий показан на рис.11.

ЗдесьасимптотическиРис. 11. Бифуркация рождения цикла (при убывании параметра)устойчивое положение равновесия существует при значениях   0 , а при   0 оносохраняется, но теряет устойчивость. Одновременно рождается периодическоерешение, амплитуду которого возрастает от нуля примерно пропорционально  .Такую потерю устойчивости называют «мягкой» (так же, как в случае «вилки») впротивоположность «жесткой» потере устойчивости при «складке». Тем не менее,даже «мягкая» бифуркация может привести к катастрофе. В 1940 году при ровномветре скорости около 67 км/час мост Такома Нарроуз в Вашингтоне был разрушенпосле крутильных колебаний амплитуды до 45 градусов. Аналогичные явлениямногократно наблюдались впоследствии, в частности, «танцующий» мост вВолгограде (2010 г.). В авиации возникающие колебания называют «шимми» (в случаешасси самолета или колес автомобиля) или «флаттер» (крылья, хвостовое оперение).Что касается жесткой потери устойчивости в случае «складки», то ее называют впрактических задачах «дивергенцией».

Очевидно, оба этих типа неустойчивостиследует избегать на этапе выбора конструкционных параметров. В частности, на«танцующий» мост недавно установили дополнительные демпферы (гасителиколебаний).На рис.12 показано поведение собственных значений матрицы (4.1) при «мягкой»(рождение цикла) и «жесткой» (складка) потере устойчивости. В первом случае прикритическом значении параметра характеристическое уравнение имеет парукомплексно сопряженных корней, во втором – нулевой корень.Im 1 ( ) 0Re 1 ( ) 2 ( ) абРис.12.

Поведение собственных значений при мягкой (а – рождение цикла)и жесткой (б - складка) потере устойчивостиТеорема (Пуанкаре-Андронов-Хопф). Пусть при   0 матрица (4.1) имеет паручисто мнимых собственных значений Re 1,2 (0)  0, Im 1 (0)  0 , а другие собственныезначения лежат в левой полуплоскости. Если при   0 положение равновесияасимптотически устойчиво и выполнено неравенствоd  Re 1,2 ( ) d 0(8.1)то при   0 оно становится неустойчивым. Одновременно в системе (1.1) взависимости от нелинейных членов разложения правой части по степеням xрождается устойчивое периодическое решение.Доказательство проведем для случая n  2 . Он является простейшим для данноготипа бифуркации ввиду наличия не менее двух собственных значений у матрицы (4.1).Обозначим их1,2 ( )   ( )  i( ),   0(8.2)Как известно из курса линейной алгебры, собственные векторы, отвечающие этимчислам, комплексно сопряжены:e1,2 ( )  u1 ( )  iu2 ( )Замена x  Uy , где столбцы матрицы U - это векторы u1 и u2 , приводит систему (4.1)к каноническому видуy1   y1   y2 ,y2   y1   y2(8.3)Выполним эту замену в исходной нелинейной системе (1.1), а затем перейдем кполярным координатам по формуламy1   cos ,y2   sin В итоге получаем уравнения движения в полярных координатах в виде  y1 cos   y2 sin    ( )    2 R( ,  , )(8.4)  y2 cos  y1 sin   ( )    2( ,  ,  )где R( ,  ), ( ,  ) - некоторые дифференцируемые 2 - периодические по функции.