Элементы качественной теории динамических систем, страница 2

Допустим, что выполненонеравенство ( A  C )(C  B)  0 , т.е. вращение происходит вокруг средней оси инерции.Возьмем функциюV  pq  V  ( B  C ) A1rq 2  (C  A)B 1rp 2(3.3)Производная функции (3.3) при сделанных предположениях строго положительна вобласти p  0, q  0 , если A  B , в достаточно малой окрестности исследуемогорешения, из теоремы Четаева следует неустойчивость (в случае A  B можно взятьV   pq ). В случае, если ( B  C )(C  B)  0 (вращение происходит вокруг наибольшейили наименьшей оси инерции), Устойчивость можно доказать по теореме Ляпунова,полагаяV  A | A  C | p2  B | B  C | q2(3.4)Несложно проверить, что функция (3.4) является первым интегралом системы (3.2).При учете интеграла энергии1/ 2AB r   r02  p 2  q2 CC (3.5)Следовательно, поверхности уровня функции (3.4) окружают точку равновесия, откудаследует устойчивость.

(Более формальное, но громоздкое доказательство можнопостроить, подставляя равенство (3.5) в первые два уравнения системы (3.2), а затемрассматривая функцию (3.4).)4. Устойчивость по первому приближению. Теоремы предыдущего параграфаимеют общий характер, они не содержат рецепта построения функции Ляпунова. Напрактике распространен конструктивный алгоритм, основанный на линеаризацииуравнений (1.1) в окрестности положения равновесия.

Без ограничения общности,считаем x *  0 (этого можно добиться заменой x  x  x * , не изменяющей левуючасть системы).Наряду с данной системой (1.1) рассмотрим вспомогательную линейную системуf ix  Jx, J x jnn n(4.1)i , j 1где частные производные вычисляются в начале координат. Из теории обыкновенныхдифференциальных уравнений известно, что общее решение системы (4.1) являетсясуммой квазимногочленов, т.е. функций вида j (t )  Pn (t )e jt(4.2)jЗдесь  j - собственное значение матрицы J (вообще говоря, комплексное), Pn j (t )-многочлен, степень которого на единицу меньше кратности собственного значения, скоэффициентами, зависящими от начальных условий задачи Коши.Для решения задачи об устойчивости системы (4.1) коэффициенты многочленовPn j (t ) несущественны: определяющую роль играют вещественные части собственныхзначений Re  j . При помощи правила Лопиталя-Бернулли, несложно показать, что, если Re  j  0lim  j (t )  t  0, если Re  j  0Отсюда можно сделать вывод; нулевое решение системы (4.1) асимптотическиустойчиво, еслиRe  j  0,j  1,,n(4.3)и неустойчиво, если хотя бы одно из этих неравенств имеет противоположный смысл.Следующее утверждение связывает свойства устойчивости линейной системы (4.1) иисходной нелинейной системы (1.1).Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Если всенеравенства (4.3) выполнены, то положение равновесия системы (1.1) асимптотическиустойчиво. В случае, если хотя бы одно из этих неравенств имеет противоположныйсмысл – неустойчиво.Замечание. Данная теорема не охватывает случаи, когда для части чисел  jвыполнены условия (4.3), а для всех остальных чисел  j вещественные части равнынулю. Такие случаи называют критическими: здесь возможна как устойчивость, так инеустойчивость в зависимости от значений производных функции f ( x ) старшихпорядков.Для проверки условий (4.3) следует составить характеристический многочлен дляматрицы J ( J )  det( J   En )(4.4)где En - единичная матрица соответствующего порядка.

Далее можно воспользоватьсятеоремой Рауса – Гурвица (аналитический подход), а при решении практических задачвысокой размерности - пакетом символьных вычислений для вычислений корнейполинома (4.4).5. Влияние структуры сил на устойчивость. В задачах механики в ряде случаевроль функции Ляпунова играет полная механическая энергия.Теорема Лагранжа.

Если в положении равновесия консервативной системыпотенциальная энергия  имеет строгий минимум, то такое положение равновесияустойчиво.Доказательство. В консервативной системе кинетическая энергия Tпредставляет собой квадратичную форму относительно обобщенных скоростей,коэффициенты которой не зависят явно от времени (могут зависеть от обобщенныхкоординат). Известно, что такая система обладает интегралом энергииE  T    const(5.1)При сделанных предположениях функция V ( x )  T ( x )  ( q) с учетом обозначений(1.2) удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости.Важным частным случаем теоремы Лагранжа является принцип Торричелли: еслисистема твердых тел находится в однородном поле тяжести, то наинизшее положениецентра тяжести соответствует устойчивому равновесию.

Заметим, что в случаеконсервативной системы устойчивость всегда неасимптотическая ввиду отсутствиясвойства притяжения. Поэтому теорема из предыдущего раздела здесь не работает(критический случай).Строго говоря, формальное обращение теоремы Лагранжа неверно. На практикедостаточно следующего результата, принадлежащего Ляпунову.Теорема 5.1. Если в положении равновесия консервативной системыпотенциальная энергия  не имеет минимума, и это можно усмотреть по членамвторого порядка в ее разложении, то положение равновесия неустойчиво.Доказательство.

Воспользуемся методом линеаризации. Для консервативнойсистемыT1 n1 na(q)qq,(q) ij i j cij qi q j 2 i , j 12 i , j 1(5.2)где многоточие заменяет остаток в формуле Тейлора. В терминах энергиилинеаризация уравнений движения равносильна замене в формулах (5.2) aij ( q) наaij (0) с отбрасыванием многоточия.

При этом кинетическая и потенциальная энергиипревратятся в квадратичные формы с матрицами A и C соответственно. Первая изэтих матриц всегда положительно определена, и можно воспользоваться теоремой оприведении пары форм к каноническому виду из линейной алгебры. Согласно этойтеореме, существует такое невырожденное линейное преобразованиеq  U ,   (1 ,,  n )T(5.3)что в новых обобщенных координатах1 n 21 nT2   j ,  2    j j22 j 12 j 1(5.4)Уравнения Лагранжа для системы (5.4) имеют простую форму j   j j  0,j  1,,n(5.5)По условию, среди чисел  j есть отрицательные. Отсюда следует неустойчивость потеореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению.Пример.

Для математического маятника нижнее положение равновесия x1*  0соответствует минимуму потенциальной энергии   mgl (1  cos x1 ) и устойчиво потеореме Лагранжа. Напротив, в верхнем положении x1*   , при этом  ''( )  0 и изтеоремы 5.1 следует неустойчивость.Следующие теоремы были сформулированы Томсоном (Кельвин) и Тетом истрого доказаны Четаевым.Теорема 5.2. Если положение равновесия устойчиво при одних потенциальныхсилах, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных силустойчивость сохраняется.Теорема 5.3. Если изолированное положение равновесия устойчиво при однихпотенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлениипроизвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.Доказательство теорем 5.2 и 5.3 сводится к проверке условий теорем Ляпуноваоб устойчивости и асимптотической устойчивости, в которых роль функции V играетполная энергия (5.1).

Определенные технические трудности, обусловленныевозможностью равенства V  0 , можно преодолеть по аналогии с доказательствомтеоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.В частности, данные теоремы утверждают, что выполнение условий теоремыЛагранжа обеспечивает устойчивость положения равновесия при наличии сил трениявне зависимости от их природы. Данный факт вполне согласуется с интуитивнымпонятием об устойчивости: сохранять равновесие на сухом асфальте легче, нежели намокром льду. Гораздо более содержателен вопрос о возможности стабилизацииравновесия посредством добавления к консервативной системе непотенциальных сил.Ответ на этот вопрос каждый из нас знает с детства: для того, чтобы устойчивопоставить волчок-юлу в вертикальное положение, необходимо его раскрутить(гиростабилизация).

Разумеется, наличие трения достаточно быстро остановитвращение волчка. Это свидетельствует о разрушении гиростабилизации вследствиетрения. В практических целях бывает достаточно стабилизации на заданном конечномпромежутке времени.

Для этой цели оружейные стволы снабжают винтовой нарезкой.С позиций динамики, для достижения гиростабилизации необходимо придатьсистеме некоторое вращение: при этом возникают гироскопические кориолисовы силыинерции. Заманчивая идея универсальности такого метода была опровергнутавышеупомянутыми классиками.Теорема 5.4. Если число отрицательных коэффициентов  j в формулах (5.4)нечетно, то положение равновесия остается неустойчивым при добавлениипроизвольных гироскопических сил.Теорема 5.5. Если положение равновесия с четным числом отрицательныхкоэффициентов  j в формулах (5.4) стабилизировано при помощи некоторыхгироскопических сил, то оно станет неустойчивым при добавлении произвольных силсопротивления с полной диссипацией.Пример.

Рассмотрим динамически симметричное тяжелое твердое тело (волчокЛагранжа). Аналогично маятнику, имеется два положения равновесия: нижнееустойчивое и верхнее неустойчивое. Выясним возможность гиростабилизации. Какизвестно из курса динамики твердого тела, в случае Лагранжа уравнения движенияпри помощи первых интегралов могут быть сведены к единственномудифференциальному уравнению относительно переменной u  cos  :Au 2  f (u ), f (u )  (2h  Cr 2 )(1  u 2 )  2mglu(1  u 2 )  A1 (k  Cru ) 2(5.6)где k , h и r - значения первых интегралов, определяемые начальными условиями.Границы изменения угла нутации  определяются интервалом положительностифункции f (u) .

При верхнем положении центра тяжести имеем u  1 , откуда следует1k  Cr , u  0, h  Cr 2  mgl2(5.7)Первое равенство (5.7) вытекает из условия неотрицательности правой части надействительном движении, а третье равенство выражает интеграл энергии черезугловую скорость и высоту центра тяжести над неподвижной точкой. Посколькуf '(u )  2u(2h  Cr 2 )  2mgl (1  u 2 )  4mglu 2  2CrA1 (k  Cru )f ''(u )  2(2h  Cr 2 )  12mglu  2C 2 r 2 A1то при выполнении равенств (5.7) получаемf '(1)  0,f ''(1)  8mgl  2C 2 r 2 A1(5.8)Для проверки устойчивости по Ляпунову воспользуемся непосредственноопределением 1. Если начальные условия выбраны  - близкими к   1,   0 , торавенства (5.7) будут выполнены приближенно (с погрешностью порядка  ).