Элементы качественной теории динамических систем, страница 4

Исследуем систему (8.4) при малых  и  . Рассмотрим траекторию сначальными условиями  (0)  0 ,  (0)  0 . Поскольку    O(  )  0то за время t1  2 /  траектория пройдет четыре четверти координатной плоскости ивернется на полярную ось, т.е. (t1 )  1 ,  (t1 )  2Зависимость 1  g ( 0 ) называют функцией последования. Эта функция всегдамонотонно возрастает ввиду невозможности пересечения траекторий на фазовойплоскости.

Ключевым фактором, определяющим устойчивость положения равновесияв начале координат, а также существование и устойчивость периодических орбит,является знак величины( 0 )  1  0(8.5)1) Если для малых значений  0 имеем ( 0 )  0 , то траектория стремится к началукоординат, что свидетельствует об асимптотической устойчивости. В случае ( 0 )  0траектории покидают окрестность начала, которое ввиду этого неустойчиво.2) Равенство (  *)  0 свидетельствует о периодичности траектории. В случае,если ( 0 )  0 при 0   * и ( 0 )  0 при 0   * , эта траектория притягивает всеблизлежащие точки. Такое свойство характеризует устойчивый предельный цикл.В силу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, началокоординат рассматриваемой системы устойчиво при   0 (при этом также   0 ) инеустойчиво при   0 .

По условию, в граничном случае   0 нелинейные членыобеспечивают асимптотическую устойчивость, т.е. неравенство ( 0 )  0 для всех11аб000*0Рис.13. Бифуркация рождения цикла: а)   0 ; б)   0 .достаточно малых значений  0 . Данная ситуация показана на рис.13, а: графикфункции последования касается биссектрисы, но проходит ниже нее. При увеличениипараметра  график выходит из начала выше касательной (рис.13,б), что показываетпотерю устойчивости.

В то же время, согласно формулам (8.4) зависимость функциипоследования от  непрерывна. Поэтому ее график имеет вид, показанный на рис.13,б. Точка пересечения графика с биссектрисой соответствует периодическойтраектории. Теорема доказана.1.2.3.4.5.ЛитератураМеркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движенияТомпсон Дж.М.Т.

Неустойчивости и катастрофы в науке и техникеЙосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркацийАрнольд В.И. Теория катастрофГуккенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы ибифуркации векторных полей.