Элементы качественной теории динамических систем (1238806)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМА.П.Иванов1. Основные понятия. Динамической системой (с непрерывным временем)называют систему дифференциальных уравнений видаxdx f ( x ), x  ( x1 ,dt, xn )Tn n(1.1)где функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Коши о существованииединственного решения при данных начальных условиях x(t0 )  x0 . В простейшемслучае n  1 уравнение (1.1) можно проинтегрировать и представить решение внеявной форме:xt  t0  x0dxf ( x)В задачах механики полагаютx  ( q1 ,, qk , q1 ,, qk )T(1.2)где q1 , , qk - обобщенные координаты; при этом порядок системы (1.1) не меньшедвух.

Аналитическое построение общего решения возможно лишь в редких частныхслучаях, например, если правая часть линейна.Качественное исследование включает отыскание частных решений иисследование их свойств при неограниченном росте времени.1.1. Положения равновесия – это простейшие частные решения.

Им отвечаютрешения алгебраического уравненияf ( x)  0(1.3)Если начальное значение x(t0 )  x* удовлетворяет этому уравнению, то x(t )  x* .Отметим, что для нелинейной функции f ( x ) уравнение (1.3) может иметьнесколько корней (в том числе бесконечно много) или быть неразрешимым.1.2. Периодические траектории характеризуются соотношениемx(t   )  x(t ), t  t0где величина периода  - некоторое положительное число.

В фазовом пространствеR n системы (1.1) положения равновесия изображаются единственной точкой, апериодические траектории – замкнутыми кривыми (рис. 1 а, б).бв аРис.1. Регулярные решения: а) равновесие; б) периодическое; в) условно периодическоеРис.2. Странные аттракторы1.3.Ограниченные траектории. Свойство ограниченности траектории означает,что ее можно накрыть некоторым шаром. В задачах механики ограниченностьчасто обусловлена диссипативностью, т.е.

невозрастанием механическойэнергии. Условно периодическая траектория характеризуется наборомрационально несоизмеримых частот 1 , , s и функцией  (1t, , s t ) созначениями в R n , 2 - периодической по каждому из аргументов. Этатраектория незамкнута и всюду плотно обматывает тор (рис.1, в). Напрактике типичны более сложные хаотические траектории, образующиепричудливые геометрические формы (рис.2).

Хаотической динамике присущасверхчувствительность решения задачи Коши к изменению начальныхусловий («эффект бабочки»). При численном моделировании такой системыможно построить весь маршрут (так называемый «странный аттрактор»), нонельзя предсказать, когда именно мы попадем в ту или иную его часть.Примеры. 1. Для математического маятника длины l положим x1 равным углумежду стержнем и вертикалью, x2  x1 . Уравнения (1.1) выглядят так:x1  x2 , x2   2 sin x1 ,   g / l(1.4)Положения равновесия определяем из условия (1.3):x1*   l , x2*  0, l  Z(1.5)Нижнее положение ( l четное) окружено периодическими орбитами, причемпериод зависит от амплитуды.

При стремлении последней к нулю имеем  2 /  .2. В системе двух одинаковых математических маятников, не связанных друг сдругом, движение будет периодическим или условно периодическим взависимости от того, будет ли отношение периодов  1 /  2 рациональнымчислом.3.

Если связать маятники пружинкой, сохранятся два семейства периодическихдвижений, для которых углы отклонения маятников равны либопротивоположны. Этим динамика системы далеко не исчерпывается: в нейтакже имеются условно периодические и хаотические движения.4. Задача о конвекции морской воды в плоском слое в некотором приближенииописывается системойx   ( y  x ), y  x ( r  z )  y , z  xy  bz(1.6)где  , r, b - физические параметры. Уравнения (1.6) были численно исследованыамериканским математиком и метеорологом Э.Лоренцом (1917-2008), которыйобнаружил при определенных значения параметров наличие странногоаттрактора (справа на рис.2). Благодаря этому синоптики могут строгообосновать невозможность успешных долгосрочных прогнозов погоды.2.

Устойчивость равновесия. В повседневной жизни устойчивостью называютсохранение каких-либо свойств при наличии неблагоприятных факторов. Наукаоб устойчивости восходит к труду Архимеда «О плавании тел» (3-й век до н.э.).Современный вид теория устойчивости приобрела во многом благодарявыдающемуся российскому ученому А.М.Ляпунову, сформулировавшему всвоей диссертации (1892) основные понятия и методы исследования.Определение 1.

Положение равновесия x* системы (1.1) называетсяустойчивым (по Ляпунову), если для любого   0 найдется такое   0 , что изнеравенства | x (t0 )  x * |  следует | x(t )  x* |  для всех t  t0 .Здесь | x | x12  xn2 - евклидова норма.Определение 2. Положение равновесия x* называется притягивающим, еслинайдется такое   0 , что из неравенства | x (t0 )  x * |  следует lim x(t )  x* .t Определение 3.

Положение равновесия x* системы (1.1) называетсяасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и притягивающее.SVS. x*Рис.3. Геометрическая интерпретацииустойчивостиSРис.4. К доказательству теоремы Ляпуноваоб устойчивостиГеометрический смысл устойчивости (рис.3): траектория, стартующая из  окрестности положения равновесия, не покидает затем его  - окрестности.3. Метод функций Ляпунова. Функцией Ляпунова называют непрерывнодифференцируемую функцию V : R n  R , равную нулю в положении равновесиясистемы (1.1), строго положительную в некоторой его окрестности иневозрастающую на решениях системы. Построение таких функций лежит в основевторого метода Ляпунова исследования устойчивости. Не ограничивая общности,поместим начало координат в исследуемую точку x* .Теорема Ляпунова об устойчивости.

Пусть существует функция V : R n  R , длякоторой V (0)  0 , в некоторой проколотой окрестности начала координат V ( x )  0 ,причем производная этой функции в силу уравнений (1.1) неположительна:ndVVfi ( x)  0dt i 1 xi(3.1)Тогда x  0 - устойчивое положение равновесия.Доказательство можно провести геометрически (рис. 4).

Для проверкиопределения 1 построим сферу S произвольного радиуса  с центром в начале.Непрерывная функция V ( x ) достигает на S минимума m  0 . Тогда множествоV  x | V ( x )  m / 2 представляет собой замкнутую поверхность, лежащую внутри Sи окружающую начало. Вследствие (3.1) траектории не могут пересекать этуповерхность в направлении изнутри наружу. Поэтому в определении 1 достаточновыбрать число  таким, чтобы сфера S лежала внутри V .Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существуетфункция V : R n  R , для которой V (0)  0 , в некоторой проколотой окрестностиначала координат V ( x )  0 , причем производная этой функции в силу уравнений (1.1)отрицательно определена, т.е.

неравенство (3.1) для x  0 – строгое. Тогда x  0 асимптотически устойчивое положение равновесия.Для доказательства достаточно установить свойство притяжения,сформулированное в определении 2. В силу строгого неравенства (3.1) величинаV ( x(t )) строго монотонно убывает вдоль каждого решения x (t )  0 . По теоремеВейерштрасса, существуетlimV ( x(t ))  A  0t Очевидно неравенство A  0 означало бы, что траектория отделена от нуля. Тогда поусловию производная dV / dt  0 также отделена от нуля, и значения V ( x(t ))неограниченны снизу. Это противоречит положительности функции V ( x ) .Следовательно, A  0 , т.е.

x (t )  0 при t   , что и требовалось.Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть существует функция V : R n  R , длякоторой в любой окрестности начала координат имеется непустая область, гдеV ( x )  0 , причем производная (3.1) в этой области строго положительна, то положениеравновесия неустойчиво.Доказательство неустойчивости равносильно отысканию такого числа   0 , чтонайдутся траектории, начинающиеся сколь угодно близко к началу координат ипокидающие через некоторое время внутренность S . Для этого достаточно, чтобысфера S имела непустое пересечение с областью V ( x )  0 : если траектория стартуетиз любой точки этой области, то при сделанных предположениях величина V ( x(t ))монотонно растет, причем ее производная по времени отделена от нуля.

Поэтомутраектория не может сколь угодно долго оставаться внутри S .Пример. Уравнения динамики твердого тела с неподвижной точкой в случаеЭйлера имеют вид Ap  (C  B )qr  0 Bq  ( A  C ) pr  0Cr  ( B  A) pq  0(3.2)где p, q и r проекции угловой скорости тела на его главные оси инерции. Система(5.6) допускает равновесное решение p  q  0, r  r0  0 , соответствующееравномерному вращению тела вокруг главной оси.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)