Элементы качественной теории динамических систем

ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМА.П.Иванов1. Основные понятия. Динамической системой (с непрерывным временем)называют систему дифференциальных уравнений видаxdx f ( x ), x  ( x1 ,dt, xn )Tn n(1.1)где функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Коши о существованииединственного решения при данных начальных условиях x(t0 )  x0 . В простейшемслучае n  1 уравнение (1.1) можно проинтегрировать и представить решение внеявной форме:xt  t0  x0dxf ( x)В задачах механики полагаютx  ( q1 ,, qk , q1 ,, qk )T(1.2)где q1 , , qk - обобщенные координаты; при этом порядок системы (1.1) не меньшедвух.

Аналитическое построение общего решения возможно лишь в редких частныхслучаях, например, если правая часть линейна.Качественное исследование включает отыскание частных решений иисследование их свойств при неограниченном росте времени.1.1. Положения равновесия – это простейшие частные решения.

Им отвечаютрешения алгебраического уравненияf ( x)  0(1.3)Если начальное значение x(t0 )  x* удовлетворяет этому уравнению, то x(t )  x* .Отметим, что для нелинейной функции f ( x ) уравнение (1.3) может иметьнесколько корней (в том числе бесконечно много) или быть неразрешимым.1.2. Периодические траектории характеризуются соотношениемx(t   )  x(t ), t  t0где величина периода  - некоторое положительное число.

В фазовом пространствеR n системы (1.1) положения равновесия изображаются единственной точкой, апериодические траектории – замкнутыми кривыми (рис. 1 а, б).бв аРис.1. Регулярные решения: а) равновесие; б) периодическое; в) условно периодическоеРис.2. Странные аттракторы1.3.Ограниченные траектории. Свойство ограниченности траектории означает,что ее можно накрыть некоторым шаром. В задачах механики ограниченностьчасто обусловлена диссипативностью, т.е.

невозрастанием механическойэнергии. Условно периодическая траектория характеризуется наборомрационально несоизмеримых частот 1 , , s и функцией  (1t, , s t ) созначениями в R n , 2 - периодической по каждому из аргументов. Этатраектория незамкнута и всюду плотно обматывает тор (рис.1, в). Напрактике типичны более сложные хаотические траектории, образующиепричудливые геометрические формы (рис.2).

Хаотической динамике присущасверхчувствительность решения задачи Коши к изменению начальныхусловий («эффект бабочки»). При численном моделировании такой системыможно построить весь маршрут (так называемый «странный аттрактор»), нонельзя предсказать, когда именно мы попадем в ту или иную его часть.Примеры. 1. Для математического маятника длины l положим x1 равным углумежду стержнем и вертикалью, x2  x1 . Уравнения (1.1) выглядят так:x1  x2 , x2   2 sin x1 ,   g / l(1.4)Положения равновесия определяем из условия (1.3):x1*   l , x2*  0, l  Z(1.5)Нижнее положение ( l четное) окружено периодическими орбитами, причемпериод зависит от амплитуды.

При стремлении последней к нулю имеем  2 /  .2. В системе двух одинаковых математических маятников, не связанных друг сдругом, движение будет периодическим или условно периодическим взависимости от того, будет ли отношение периодов  1 /  2 рациональнымчислом.3.

Если связать маятники пружинкой, сохранятся два семейства периодическихдвижений, для которых углы отклонения маятников равны либопротивоположны. Этим динамика системы далеко не исчерпывается: в нейтакже имеются условно периодические и хаотические движения.4. Задача о конвекции морской воды в плоском слое в некотором приближенииописывается системойx   ( y  x ), y  x ( r  z )  y , z  xy  bz(1.6)где  , r, b - физические параметры. Уравнения (1.6) были численно исследованыамериканским математиком и метеорологом Э.Лоренцом (1917-2008), которыйобнаружил при определенных значения параметров наличие странногоаттрактора (справа на рис.2). Благодаря этому синоптики могут строгообосновать невозможность успешных долгосрочных прогнозов погоды.2.

Устойчивость равновесия. В повседневной жизни устойчивостью называютсохранение каких-либо свойств при наличии неблагоприятных факторов. Наукаоб устойчивости восходит к труду Архимеда «О плавании тел» (3-й век до н.э.).Современный вид теория устойчивости приобрела во многом благодарявыдающемуся российскому ученому А.М.Ляпунову, сформулировавшему всвоей диссертации (1892) основные понятия и методы исследования.Определение 1.

Положение равновесия x* системы (1.1) называетсяустойчивым (по Ляпунову), если для любого   0 найдется такое   0 , что изнеравенства | x (t0 )  x * |  следует | x(t )  x* |  для всех t  t0 .Здесь | x | x12  xn2 - евклидова норма.Определение 2. Положение равновесия x* называется притягивающим, еслинайдется такое   0 , что из неравенства | x (t0 )  x * |  следует lim x(t )  x* .t Определение 3.

Положение равновесия x* системы (1.1) называетсяасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и притягивающее.SVS. x*Рис.3. Геометрическая интерпретацииустойчивостиSРис.4. К доказательству теоремы Ляпуноваоб устойчивостиГеометрический смысл устойчивости (рис.3): траектория, стартующая из  окрестности положения равновесия, не покидает затем его  - окрестности.3. Метод функций Ляпунова. Функцией Ляпунова называют непрерывнодифференцируемую функцию V : R n  R , равную нулю в положении равновесиясистемы (1.1), строго положительную в некоторой его окрестности иневозрастающую на решениях системы. Построение таких функций лежит в основевторого метода Ляпунова исследования устойчивости. Не ограничивая общности,поместим начало координат в исследуемую точку x* .Теорема Ляпунова об устойчивости.

Пусть существует функция V : R n  R , длякоторой V (0)  0 , в некоторой проколотой окрестности начала координат V ( x )  0 ,причем производная этой функции в силу уравнений (1.1) неположительна:ndVVfi ( x)  0dt i 1 xi(3.1)Тогда x  0 - устойчивое положение равновесия.Доказательство можно провести геометрически (рис. 4).

Для проверкиопределения 1 построим сферу S произвольного радиуса  с центром в начале.Непрерывная функция V ( x ) достигает на S минимума m  0 . Тогда множествоV  x | V ( x )  m / 2 представляет собой замкнутую поверхность, лежащую внутри Sи окружающую начало. Вследствие (3.1) траектории не могут пересекать этуповерхность в направлении изнутри наружу. Поэтому в определении 1 достаточновыбрать число  таким, чтобы сфера S лежала внутри V .Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существуетфункция V : R n  R , для которой V (0)  0 , в некоторой проколотой окрестностиначала координат V ( x )  0 , причем производная этой функции в силу уравнений (1.1)отрицательно определена, т.е.

неравенство (3.1) для x  0 – строгое. Тогда x  0 асимптотически устойчивое положение равновесия.Для доказательства достаточно установить свойство притяжения,сформулированное в определении 2. В силу строгого неравенства (3.1) величинаV ( x(t )) строго монотонно убывает вдоль каждого решения x (t )  0 . По теоремеВейерштрасса, существуетlimV ( x(t ))  A  0t Очевидно неравенство A  0 означало бы, что траектория отделена от нуля. Тогда поусловию производная dV / dt  0 также отделена от нуля, и значения V ( x(t ))неограниченны снизу. Это противоречит положительности функции V ( x ) .Следовательно, A  0 , т.е.

x (t )  0 при t   , что и требовалось.Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть существует функция V : R n  R , длякоторой в любой окрестности начала координат имеется непустая область, гдеV ( x )  0 , причем производная (3.1) в этой области строго положительна, то положениеравновесия неустойчиво.Доказательство неустойчивости равносильно отысканию такого числа   0 , чтонайдутся траектории, начинающиеся сколь угодно близко к началу координат ипокидающие через некоторое время внутренность S . Для этого достаточно, чтобысфера S имела непустое пересечение с областью V ( x )  0 : если траектория стартуетиз любой точки этой области, то при сделанных предположениях величина V ( x(t ))монотонно растет, причем ее производная по времени отделена от нуля.

Поэтомутраектория не может сколь угодно долго оставаться внутри S .Пример. Уравнения динамики твердого тела с неподвижной точкой в случаеЭйлера имеют вид Ap  (C  B )qr  0 Bq  ( A  C ) pr  0Cr  ( B  A) pq  0(3.2)где p, q и r проекции угловой скорости тела на его главные оси инерции. Система(5.6) допускает равновесное решение p  q  0, r  r0  0 , соответствующееравномерному вращению тела вокруг главной оси.