Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин, страница 5

Указанное слагаемоеназывается переносным ускорением точки Ο , обозначаетсяперWΟи вычисляется “замораживанием” точки Ο в системеΒΙ ′ .3Второе слагаемоеWΟотн = ∑ ρΟk ik′1относительное ускорение точки Οпредставляет собойв системе ΒΙ ′ , а третьеW Oкор = 2ω nep × VOотнслагаемоеназываетсякориолисовым ускорением точки Ο .

Таким образом,формула для ускорения точки Ο записывается в виде:WΟ = WΟпер + WΟотн + WΟкор .(2.29)Формулы (2.28) и (2.29) дают правило вычисленияскоростей и ускорений точек методом сложного движения.Формула (2.29) для ускорений называется формулойКориолиса.Чтобы найти угловую скорость ω твердого тела всистеме ΑΙ , запишем скорость произвольной точки тела вэтой системе. С одной стороны,в силу формулыраспределения скоростей в твердом теле (2.11) скоростьточки может быть записана через искомую угловую скоростьωв видеV = VΟ + ω × r (рис. 8). С другой стороны,V можно вычислить по правилам сложногоскоростьдвижения точки:V = V пер + V отн = VΒ + ω nep × ( ρΟ + ri ) ++ VΟотн + ω отн × r = VΒ + ω nep × ρΟ + VΟотн ++ (ω nep + ω отн ) × r = VΟ + (ω nep + ω отн ) × r .Отсюда в силу произвольности r получаем для угловойскорости тела в системе ΑΙ формулу38ω = ω пер + ω отн .(2.30)Формулу сложения угловых скоростей (2.30) можноустановить также, используя формулу (2.22), котораяопределяет угловую скорость одного базиса относительнодругого как функцию кватерниона, задающего взаимнуюориентацию этих базисов.

Обозначим через ΟΙ и ΟΙ ′базисы с началом в точке Ο и ортами, параллельнымиодноименным ортам базисов ΑΙ и ΒΙ ′ , соответственно(рис.8). Пусть кватернион Λ задает положение базиса ΟΙ ′относительно ΟΙ , а кватернионом Μ – положение ΟΕотносительно ΟΙ ′ . Тогда по формуле сложения поворотов(2.17), получаем, что положение базиса ΟΕ относительноΟΙопределяется∗кватернионом~Ν = Λ Μ ∗,где=Λ ΜΛ – отображение кватерниона Μ из егособственного базиса ΟΙ ′ в базис ΟΙ . При этом угловаяскорость базиса ΟΕ относительно ΟΙ в соответствии сΜ(2.22) записывается в виде~~ω = 2Ν Ν = 2(Λ Μ ∗ + Λ Μ *) Μ * Λ =(2.31)~ ~= 2Λ Λ + 2Λ Μ Μ * Λ.~*С другой стороны, заданные угловые скоростипереносного и относительного движения имеют следующийвид~ω пер = 2Λ Λ ,~ω отн = 2Μ Ι ′ Μ ,где Μ Ι ′ –производная от кватерниона Μ , вычисленная в системеΟΙ ′ :33~Μ Ι ′ = µ 0 + ∑ µ k∗ ik′ = Λ ( µ 0 + ∑ µ k∗ ik ) Λ =1=Λ Μ∗~Λ, ⇒ ω1отн~~= 2Λ Μ ∗ Μ ∗ Λ .39Отсюда следует, что выражение (2.31) представляет собойформулу сложения угловых скоростей (2.30).Для вычисления углового ускорения тела ε относительносистемы ΟΙ нужно продифференцировать вектор угловойω = ω пер + ω отнскоростив системе ΟΙ .

При этомследует учитывать, что векторпроизводную от векторат.е. еслиωсобой, вычисленную в системе ΟΙ ′ ,331отн1ω отн = ∑ ω kотн ik′, , то ε отн = ∑ ω kотн ik′ . Поэтомупроизводная ототнωотнε отн представляет3= ∑ω1ω, вычисленная в системе ΟΙ , равна3i ′ + ∑ ω kотн ik′ = ε отн + ω пер × ω отн .отнkk1Отсюда следует формула для углового ускоренияε:ε = ω + ω = ε + ε + ω × ω . (2.32)Полученные формулы (2.27) – (2.32) дают возможностьвычислять все кинематические параметры результирующегодвижения твердого тела через заданные кинематическиепараметры переносного и относительного движения.Исследуем свойства решений кинематических уравненийперотнперотнперотнПуассона. Вычислим производную по времени отΛ. Изуравнения (2.24) с учетом вытекающего из этого уравнения~~~Λ = Λ = −2Λ ω получаем~~Λ Λ + Λ Λ = 2ω − 2ω = 0.следствияОтсюда следует, что уравнение (2.24)интеграл Λ = const.имеет первыйПусть Λ (t ) и Λ′(t ) – два решения уравнения (2.24).Записывая Λ (t ) в виде Λ (t ) = Λ′(t ) Μ (t ) и подставляя эторешение в уравнение (2.24), получаем40Λ ′ Μ + Λ ′ Μ = 2ω Λ ′ Μ , Λ ′ = 2ω Λ ′.Отсюда следует Λ′ Μ = 0, т.е.

Μ =C – постоянныйкватернион. Таким образом, общее решение уравнения (2.24)имеет видΛ (t ) = Λ ′(t ) C ,(2.33)где Λ′(t ) – любое частное решение, а C – кватернионнаяконстанта.Полученный результат следует трактовать таким образом,что общее решение уравнения (2.24) определяет положениетвердого тела относительно любого неподвижного базисаΟΙ , а положение относительно конкретного базиса ΟΙ ′определяется частным решением Λ ′(t ). При этом взаимнаяориентация базисов ΟΙкватернионом C (рис. 9).ΙΛC Λ′и ΟΙ ′ΙΙ′Εзадается постояннымΛΛ′ΟΕ′ΜΕΟРис.

9Рис.10Общее решение (2.33) можно трактовать и таким образом,что оно определяет положение любого связанного с теломбазиса ΟΕ относительно системы отсчета ΟΙ , а частноерешение Λ′(t ) описывает положение связанного с теломбазиса ΟΕ ′ (рис.10). При этом в силу формулы сложения∗∗поворотов (2.17) имеем Λ (t ) = Λ′(t ) Μ , где Μ–отображение кватерниона Μ из его собственного базиса41ΟΕ ′ в базис ΟΙ . В силу неизменности взаимной ориентации∗базисов ΟΕ ′ и ΟΕ кватернион Μ является постоянным.∗Поэтому, полагая Μ = C , приходим к решению (2.33).Каждое конкретное решение уравнений Пуассонаполучается из общего решения (2.33) заданием начальныхусловий.

Если, например, положить Λ (0) = 1, то решениеΛ (t ) будет определять текущее положение твердого телаотносительно его начального положения в момент t = 0.Простейшим движением твердого тела является вращениевокруг неподвижной оси, т.е. когда вектор угловой скоростиимеет вид ω = e ⋅ ω (t ), где e – неизменный единичныйвектор.

В этом случае решение уравнения (2.14),удовлетворяющее условию Λ (0) = 1, находится следующимобразомΛ (t ) = cosϕ (t )2+ e sinϕ (t )2t,гдеϕ (t ) = ∫ ω (τ )dτ .0В некоторых случаях проинтегрировать кинематическиеуравнения Пуассона удается с помощью метода сложногодвижения, представляя движение твердого тела в видекомбинации нескольких простых интегрируемых движений.Рассмотрим для примера случай прецессионногодвижения твердого тела, определяемый как такое движениетвердого тела с неподвижной точкой, при котором некотораяось eтела совершает движение по поверхностинеподвижного кругового конуса (рис.

11). В этом случае, какнетрудно убедиться, вектор угловой скорости твердого телараскладывается на ось конуса i и ось тела e следующимобразомω = ω1 + ω 2 = ω1 (t ) ⋅ i + ω 2 (t ) ⋅ e .Составляющие ω1 и ω 2 называются,угловойскоростьпрецессии42исоответственно,угловой скоростьюсобственного вращения. Они равны соответствующимпроизводным от углов Эйлера ω1 = Ψ , ω 2 = ϕ (рис.3),если систему отсчета и связанный с телом базис выбрать так,что i3 = i , e3 = e . Угол нутации θ между осями i и eпри этом не меняется.Если составляющие ω1 иiωψω2eпостоянны, то такоедвижениеназываетсяϕрегулярной прецессией.ω1ω2Введем вспомогательныйΟбазисΟΙ ′ ,которыйРис.

11вращаетсяотносительнонеподвижного базиса ΟΙ сугловой скоростью ω1 . Тогда положение базиса ΟΙ ′относительно ΟΙ задается кватерниономΛ1 = cosϑ12+ i sinϑ12t, ϑ1 = ∫ ω1 (τ )dτ , i = 1.0Связанный с телом базиса ΟΕ движется относительноΟΙ ′ с угловой скоростью ω 2 = ω 2 e . Так как ось e вбазисе ΟΙ ′ неподвижна, то кватернион Λ2 , задающийположение базиса ΟΕ относительно ΟΙ ′ , имеет видΛ2 = cosϑ22+ e sinϑ22t, ϑ2 = ∫ ω 2 (τ )dτ , e = 1.0Применяя теперь формулу сложения поворотов (2.17),находим кватернион Λ , задающий положение ΟΕотносительно ΟΙ :ϑϑϑϑ2222Λ = Λ1∗ Λ∗2 = (cos 1 + i sin 1 ) (cos 2 + e 0 sin 2 ),43гдеΟΙ ′~e 0 = Λ1 e Λ1– отображение векторав базис ΟΙ , представляющееположение оси e в момент t = 0.Упражнения1.

Пусть R =r0 + reиз базисасобой начальное– некоторый кватернион. Показать,что преобразованиеR′ = Λ R Λне изменяетскалярной части кватерниона R , а его векторная часть−1поворачивается вокруг осиλна угол ϑ= 2 arccos(λ0).Λr ′ = e r e, e = 1собой зеркальное отражение вектора rплоскости, перпендикулярной e . Показать2. Показать, что преобразованиепредставляетотносительнотакже, что последовательность двух зеркальных отраженийотносительно двух плоскостей эквивалентна повороту вокруглинии пересечения этих плоскостей на двойной угол междуними.3. Перемещение твердого тела с неподвижной точкойзадается двумя последовательными поворотами вокруг осейξ1 и ξ 2 .