Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин

Московский физико-техническийинститут(государственный университет)Н.И. АмелькинКинематика и динамикатвердого тела~r′ = Λ r ΛМосква 2000г.ВВЕДЕНИЕНастоящее пособие предназначается для студентовМФТИ, изучающих кинематику и динамику твердого тела вкурсе теоретической механики.Изложениеразделакинематикипостроенонаиспользовании аппарата кватернионов – четырехмерныхгиперкомплексных чисел со специальными правиламиумножения. Кватернионы дают возможность в достаточнопростой и удобной форме задавать повороты в трехмерномпространстве, что и обуславливает их применение дляописания вращательного движения твердого тела.Кватернионный способ имеет ряд преимуществ посравнению с другими способами описания вращательногодвижения твердого тела.

С помощью кватернионовэффективно решаются задачи на определение параметровконечного поворота твердого тела и задачи сложенияповоротов. Кинематические уравнения движения твердоготела в кватернионах не вырождаются, как это имеет местопри использовании углов Эйлера, и не содержаттригонометрических функций, а число этих уравненийсущественно меньше, чем число уравнений в направляющихкосинусах (четыре против девяти).Предлагаемый вариант изложения кинематики твердоготела с помощью кватернионов аппарата дает также иметодические преимущества. В кватернионах это изложениеполучается наиболее полным и компактным, являясьодновременно достаточно простым и доступным дляизучения.Раздел динамики твердого тела наряду с освещениемтрадиционных вопросов содержит подробное изложениетеории волчка Лагранжа.Автор выражает благодарность В.Ф.

Журавлеву заоказанное содействие в работе.41 . Алгебра кватернионовКватернионы были введены в математику В.Р.Гамильтоном в 1843 году. Они представляют собойобобщение аппарата комплексных чисел на четырехмерныйслучай и записываются выражениями следующего вида:Λ = λ0 ⋅ i0 + λ1 ⋅ i1 + λ2 ⋅ i2 + λ3 ⋅ i3 ,(1.1)гдеλ0 , λ 1, λ 2, λ 3– произвольные действительные числа,называемые компонентами кватерниона Λ , а i0 , i1 , i2 , i3 –кватернионные единицы.Кватернионное сложение определяется по правиламобычной векторной алгебры, т. е.

при сложении двухкватернионов Λ и Μ складываются их соответствующиекомпонентыλkиµ k ( k = 0, 1, 2, 3 ).Кватернионное произведение обозначается знаком « » иопределяетсяследующимиправиламиумножениякватернионных единиц:i0 i0 = i0 , i0 ik = ik i0 = ik , ik ik = −1, k = 1, 2, 3.i1 i2 = i3 , i2 i3 = i1 , i3 i1 = i2 ,(1.2)i2 i1 = −i3 , i3 i2 = −i1 , i1 i3 = −i2 .В соответствии с приведенными правилами сложения иумножения можно использовать такую интерпретациюкватернионов, при которой элемент i0 отождествляется свещественнойединицей,аэлементыi1 , i2 , i3–сединичными векторамиi1 , i2 , i3 , образующими втрехмерном пространстве правую ортогональную тройку.Тогда кватернион Λ можно записать в виде формальнойсуммы скалярной частиλ0и векторной части5λ:Λ = λ0 + λ1 ⋅ i1 + λ2 ⋅ i2 + λ3 ⋅ i3 = λ0 + λ ,(1.3)а правила (1.2) умножения базисных элементов кватернионазапишутся через скалярное и векторное произведениеследующей формулой:ik i j = −(ik , i j ) + ik × i j , k , j = 1, 2, 3.(1.2*)Отсюда, аксиоматизируя дистрибутивность умножения поотношению к сложению, получаем формулу длякватернионного произведения векторовλиµ:λ µ = − (λ , µ ) + λ × µ ,(1.4)а также формулу для произведения двух кватернионов сненулевойскалярнойчастьюΛ = λ0 + λΜ = µ0 + µ :Λ Μ = λ 0 µ 0 − (λ , µ ) + λ 0 µ + µ 0 λ + λ × µ .и(1.5)Приведенные правила сложения и умножения полностьюопределяют алгебру кватернионов и все вытекающие из неесвойства.

При рассмотрении кватернионов с нулевымиполучаем алгебрувекторными частями ( Λ = λ 0 )вещественных чисел. Если же векторная часть кватернионовпредставлена одним измерением( Λ = λ 0 + λ1 ⋅ i1 ),тополучается алгебра комплексных чисел. Поэтому алгебракватернионов включает в себя алгебру вещественных икомплексных чисел.Укажем основные свойства умножения кватернионов.1.

Умножение кватернионов обладает дистрибутивнымипо отношению к сложению свойствами, т. е.Λ (Μ + Ν ) = Λ Μ + Λ Ν .2. Умножение кватернионов ассоциативно, т. е.Λ (Μ Ν ) = (Λ Μ ) Ν .63. Кватернионное умножение не обладает свойствомкоммутативности, т. е. Λ Μ ≡/ Μ Λ.

Это обусловленоλ × µ,некоммутативностью векторного произведениявходящего в формулу (1.5) для произведения кватернионов.Поэтому равенство Λ Μ = Μ Λ имеет место только втом случае, когда векторные части сомножителейколлинеарны, т. е. (λ × µ = 0).4. Скалярная часть произведения кватернионов неизменяется при циклической перестановке сомножителей, т.е.sqal(Λ ΜΝ ) = sqal(Ν Λ Μ ).Свойство 2 устанавливается непосредственной проверкойс использованием введенных аксиом сложения и умножениякватернионов, а свойство 4 следует из того, что в силуформулы (1.5) скалярная часть произведения двухкватернионов не зависит от порядка сомножителей. Поэтомуполучаемsqal[(Λ Μ ) Ν ] = sqal[Ν (Λ Μ )].По аналогии с комплексными числами для кватернионаΛ = λ0 + λопределяется сопряженный кватернион~Λследующего вида:~Λ = λ0 − λ .Нормой кватерниона(1.6)Λназывается произведение этогокватерниона на его сопряженное значение~~Λ.Посколькувекторные части кватернионов Λ и Λ отличаются толькознаком, то в соответствии с правилами умножения для нормыкватерниона Λ получается следующее выражение:~3Λ = Λ Λ = λ 02 + (λ , λ ) = ∑ λ2k .k =07(1.7)Таким образом, норма кватерниона является скаляром иинвариантна по отношению к выбору базисаλ1 , λ 2 , λ 3время как компонентыi1 , i2 , i3 ,в товекторной частикватерниона зависят от выбора базиса.Кватернион Λ называется нормированным, еслиΛ = 1.Правила вычисления сопряженного значения и нормы отпроизведения двух кватернионов легко устанавливаются спомощью формулы умножения (1.5).

Так, для произведения~~Λ имеем~ ~Μ Λ = (µ 0 − µ ) (λ0 − λ ) =двух кватернионовΜи~= λ0 µ 0 − (λ , µ ) − ( µλ0 + λµ 0 + λ × µ ) = (Λ Μ ) .Отсюда получаем, что сопряженное значение отпроизведения двух кватернионов равно произведению ихсопряженных значений, взятых в обратном порядке:~ ~ ~(Λ Μ ) = Μ Λ.(1.8)Полученное соотношение позволяет в свою очередь найтивыражение для нормы произведения двух кватернионов:~~Λ Μ =Λ Μ Μ Λ= ΛΜ ,(1.9)т.

е. норма произведения двух кватернионов равнапроизведению норм сомножителей. Отсюда следует, чтопроизведение нормированных кватернионов есть такженормированный кватернион.Методом индукции легко показать, что правила (1.8) и(1.9) распространяются на случай произвольного числасомножителей, т. е.~ ~~(Λ1 ... Λn ) = Λn ... Λ1 ,Λ 1 ...Λ n = Λ 1 ⋅ ... ⋅ Λ n8.Операция деления кватернионов определяется какоперация умножения на обратный кватернион.Кватернионом, обратным к Λ , называется кватернионΛ−1 , определяемый из условияΛ Λ−1 = 1.(1.10)Выражение для обратного кватерниона можно найтинепосредственно из этого определения, рассматривая его какуравнение относительно неизвестного~Λ−1 .Умножая обечасти (1.10) на Λ слева и используя соотношение (1.7) длянормы, получаем~ΛΛ =, ( Λ ≠ 0) .Λ−1Отсюда следует, чтонормированным, т.

е.(1.11)кватернион Λ является= 1 , то обратным к немуеслиΛ~кватернионом будет его сопряженное значение Λ .Используя приведенные выше правила вычислениясопряженного значения и нормы от произведениякватернионов, получаем, что норма обратного кватернионаравнаΛ−1 =1Λ, а кватернион, обратный произведениюкватернионов, вычисляется по формуле( Λ1 ... Λn ) −1 = Λ−n1 ...

Λ1−1 .(1.12)Обратим внимание, что свойства сложения и умножениякватернионов аналогичны свойствам сложения и умноженияматриц.Какследствиеэтого,правиларешениякватернионных уравнений аналогичны правилам решенияматричных уравнений.Кватернионноеуравнениеэквивалентночетыремскалярным уравнениям. Одно из них получается9приравниванием скалярных составляющих правой и левойчастей кватернионного уравнения, а остальные три – эторавенство компонент векторных составляющих в некоторомортогональном базисе трехмерного пространства.Тригонометрическая форма записи кватернионов. ПустьΛ – нормированный кватернион.

Вводя новые переменные спомощью равенствλ0 = cosν , λ = e ⋅ sin ν ,единичный вектор, коллинеарный вектору λ ,тригонометрическую форму записи кватернионагдеe–получаемΛ = cosν + e ⋅ sin ν .(1.13)Λ = Λ ⋅ (cosν + e ⋅ sinν ),(1.14)Для ненормированного кватерниона имеемгдеΛ =Λ – модуль кватерниона Λ.Формакватерниона(1.14)аналогичнатригонометрической записи комплексных чисел. Из этогопредставления следует, что любой кватернион однозначноопределяется значением модуляΛ,единичным векторомe и углом ν . Выбор же e и ν для заданного Λ являетсядвухзначным, т.