МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах

Сурьянинов Н.Г.МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВСТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ИСТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХСИСТЕМАХОдесса - 2001ВВЕДЕНИЕЭта книга в значительной степени соответствует курсу лекций, напротяжениимногихлетчитаемыхвОдесскомгосударственномполитехническом университете для студентов механических специальностей.Книга состоит из четырех глав, в которых достаточно подробнорассматриваются методы построения эпюр внутренних силовых факторовстатически определимых и статически неопределимых стержневых системах.В большинстве изданных учебников и учебных пособий этот важнейшийвопрос излагается поверхностно, или вообще отсутствует.В главе 1 рассматривается построение эпюр в различных стержневыхсистемах: балках, рамах, плоскопространственных и др.Вглаве2приводятсяразличныеобщиеметодыопределенияперемещений, что имеет самостоятельное значение, а также является базой длядвух последующих глав.В главе 3 дается подробное изложение метода сил применительно красчету статически неопределимых балок и рам.

Рассмотрены все проверкиметода, а также использование симметрии.Глава 4 посвящена изложению метода перемещений. Приведенный здесьматериал в лекционном курсе, как правило, не излагается в связи сограниченностью во времени. Тем не менее метод перемещений очень важен,так как, во-первых, является мощным инструментом для расчета статическинеопределимых систем, а во-вторых, используется студентами механическихспециальностей в дисциплинах, читаемых на старших курсах.Книга снабжена большим количеством примеров.2ГЛАВА 1ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ1.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ. МЕТОД СЕЧЕНИЙРассмотрим тело произвольной формы в “спокойном”, ненагруженномсостоянии. Между его частицами всегда существуют силы взаимодействия,которые стремятся сохранить его как единое целое, то есть препятствуютизменениювзаимногорасположениячастиц.Принагружениителапроизвольной внешней нагрузкой силы взаимодействия между частицамиизменяются, появляются дополнительные силы взаимодействия, которыеприводят к изменению взаимного расположения частиц тела, то есть к егодеформации.Эти дополнительные силы взаимодействия называются внутреннимисилами упругости (ВСУ) и являются предметом изучения сопротивленияматериалов.Анализхарактерараспределениявнутреннихсилупругостиосуществляется при помощи метода сечений.

Рассмотрим тело произвольнойформы,нагруженноесамоуравновешеннойсистемойсил(рис.1,а).Винтересующем нас сечении мысленно рассечем его плоскостью на две части(рис.1,б)Рис. 13Внутренние силы упругости определяют взаимодействие между частицамитела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения.В разных сечениях тела возникают разные внутренние силы упругости, но попринципу действия и противодействия они всегда взаимны. Правая отсеченнаячасть тела действует на левую точно так же, как и левая на правую, а этоозначает, что равнодействующая внутренних сил может определяться изусловий равновесия как левой отсеченной части тела, так и правой.Из курса теоретической механики известно, что любую произвольнуюсистему сил можно привести к центру тяжести сечения.

В результатевнутренние силы упругости, действующие в рассматриваемом сечении,приводятся к главному векторуRиглавному моментуM.Выберемпрямоугольную систему координат OXYZ так, что ось Z будет направлена понормали к поперечному сечению, а оси X и Y лежат в плоскости сечения.Проектируя главный вектор R на каждую из осей, а главный момент M накаждую из координатных плоскостей, получим шесть величин - 3 силы и 3момента, - которые называются внутренними силовыми факторами (рис.2).Рис. 2Полученные таким образом 6 внутренних силовых факторов (ВСФ) имеютстрого определенные названия:4N z - продольная (нормальная) сила;Q x , Q y -поперечная (перерезывающая) сила;M x , M y - изгибающий момент;M z - крутящий момент.Иногда обозначение M z заменяют на M к рили M к , более точноотвечающие физическому смыслу этой величины.График, показывающий как меняется внутренний силовой фактор по длинерассматриваемого тела, называется эпюрой.Правильность построения эпюры обеспечивается, в первую очередь,надлежащим выбором характерных сечений, то есть тех сечений, в которыхвеличина внутреннего силового фактора обязательно должна быть определена.К характерным сечениям относятся:1) сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точекприложения сосредоточенных сил и моментов;2) сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка сраспределенной нагрузкой;3) сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободныхконцах.1.2 ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЙВ зависимости от характера внешней нагрузки и от особенностейнагружаемого тела, в поперечных сечениях могут возникать не все шестьвнутренних силовых факторов, а какой-либо один или некоторая ихкомбинация.Всоответствиисэтимразличаютследующиевидысопротивлений.Растяжение (или сжатие) - это вид сопротивления, при котором во всехпоперечных сечениях возникает только продольная сила N z .Кручение - это вид сопротивления, при котором во всех поперечныхсечениях возникает только крутящий момент M к р .5Чистый изгиб - это вид сопротивления, при котором во всех поперечныхсечениях возникает только изгибающий моментM x (или M y ).

Чаще всегоизгибающий момент M x сопровождается наличием поперечной силы Q y (илимомент M y сопровождается наличием поперечной силы Q x ). В этом случаеимеет место поперечный изгиб.Возможны случаи, когда в поперечных сечениях возникают два и болеевнутренних силовых фактора одновременно (исключая их комбинации,рассмотренные выше), тогда говорят о сложном сопротивлении..1.3 ВИДЫ ОПОРНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЙС технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьмаразнообразны. При формировании расчетной схемы все многообразиесуществующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основныхтипов опор, из которых наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.3,а), шарнирнонеподвижная опора (рис.3,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.3,в).Рис. 3Вшарнирно-подвижнойопоревозникаетоднаопорнаяреакция,перпендикулярная опорной плоскости.

Такая опора лишает опорное сечениеодной степени свободы, то есть препятствует смещению в направленииопорнойплоскости,нодопускаетперемещениевперпендикулярномнаправлении и поворот опорного сечения.Вшарнирно-неподвижнойопоревозникаютвертикальнаяигоризонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениямопорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.6В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции иопорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещатьсяи поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорныереакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобызаделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем нашарнирных опорах реакции опор должны бытьопределены обязательно.Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка,рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящегопособия.1.4 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ N zПродольная сила в сечении численно равна алгебраической суммепроекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемогосечения, на продольную ось стержня.Правило знаков для N z : условимся считать продольную силу в сеченииположительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемойотсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - впротивном случае.Пример 1.

Построить эпюру продольных сил для жестко защемленнойбалки (рис.4).Порядок расчета:1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного концастержня к заделке.2. Определяем продольную силу N z в каждом характерном сечении. Приэтом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадаетжесткая заделка.7N z ,1 = 0;N z ,2 = N z ,3 = q 1 ⋅ 2 = 20 кН;N z ,4 = N z ,5 = q 1 ⋅ 2 − F1 = 20 − 40 = −20 кНN z ,6 = q 1 ⋅ 2 − F1 + q 2 ⋅ 1 = 20 − 40 + 20 = 0N z ,7 = N z ,8 = N z ,6 − F2 = −30 кН3.

По найденным значениям строим эпюру N z .Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) надосью эпюры, отрицательные - под осью.Рис. 41.4 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ M KPКрутящий момент в сечении численно равен алгебраической суммевнешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемогосечения, относительно продольной оси Z.Правило знаков для M KP : условимся считать крутящий момент в сеченииположительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемойотсеченной части внешний момент виден направленным против движениячасовой стрелки и отрицательным - в противном случае.8Пример2.Построитьэпюрукрутящихмоментовдляжесткозащемленного стержня (рис.5,а).Порядок расчета.Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящихмоментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построенияэпюры продольных сил.1.Намечаем характерные сечения.2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.M KP,1 = M KP,2 = M1 = 30 кН ⋅ м;M KP,3 = M KP,4 = M1 − m1 ⋅ 2 = 30 − 40 = −10 кН ⋅ м;M KP,5 = M1 − m1 ⋅ 2 + m2 ⋅ 2 = 30 − 40 = 10 кН ⋅ м;M KP,6 = M KP,7 = M KP,5 − M 2 = 10 − 40 = −30 кН ⋅ м.3.По найденным значениям строим эпюру M KP (рис.5,б).Рис.

591.6 ПРАВИЛА КОНТРОЛЯ ЭПЮР N Z И M KPДляэпюропределенныепродольныхсилзакономерности,икрутящихзнаниекоторыхмоментовхарактерныпозволяетоценитьправильность выполненных построений.1. Эпюры N Z и M KP всегда прямолинейные.2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра N Z ( M KP ) - прямая,параллельная оси; а на участке под распределенной нагрузкой - наклоннаяпрямая.3. ПодточкойприложениясосредоточеннойсилынаэпюреNZобязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично подточкой приложения сосредоточенного момента на эпюре M KP будет скачок навеличину этого момента.1.7 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ Q y И ИЗГИБАЮЩИХМОМЕНТОВ M X В БАЛКАХСтержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок,загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, двавнутренних силовых фактора - поперечная сила Q y и изгибающий момент M X .Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической суммепроекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемогосечения, на поперечную (вертикальную) ось.Правило знаков для Q y : условимся считать поперечную силу в сеченииположительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемойотсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке иотрицательной - в противном случае.10Схематически это правило знаков можно представить в видеИзгибающий момент M X в сечении численно равен алгебраической суммемоментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемогосечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.Правило знаков для M X : условимся считать изгибающий момент в сеченииположительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемойотсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волоконбалки и отрицательной - в противном случае.Схематически это правило знаков можно представить в виде:Следует отметить, что при использовании правила знаков для M X вуказанном виде, эпюра M X всегда оказывается построенной со стороны сжатыхволокон балки.1.8 КОНСОЛЬНЫЕ БАЛКИПри построении эпюр Q y и M X в консольных, или жестко защемленных,балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислятьопорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченнуючасть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.11Пример 3.