Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 3

Это могут быть остаточные напряжения,связанные с неоднородностью пластической деформации на предыдущихэтапах технологического процесса, литейные напряжения, возникающие впроцессе неравномерной кристаллизации материала и др. Использованиеэтой гипотезы, во-первых, связано с неопределенностью в общем случаетаких напряжений, а во-вторых, с необходимостью определения напряжений,вызванными конкретной внешней нагрузкой.В механике сплошных сред обычно считают, что тело однородно иизотропно.

Первое означает, что механические характеристики материаланеизменны в рассматриваемой области, а второе – равенство свойствматериала в любом направлении. Неоднородность материала физическиможет быть связана, например, с различными посторонними включениями.Примером не изотропного материала является металлический лист,полученный прокаткой. В направлении прокатки его характеристикисущественно отличаются от свойств в направлении перпендикулярномпрокатке. Физически это связано с появлением текстуры деформации.1.2. Внешние силы и напряженияНапряженное состояние – это состояние тела, вызванное действиемвнешних сил.

Внешние силы бывают двух основных видов: поверхностные иобъемные.Поверхностные силы приложены к поверхности тела. К объемным(массовым) силам относятся силы, действующие на все материальные точкитела и пропорциональные их массам.Изкурса«Сопротивлениематериалов»известнопонятие«напряжение».

Для определения вектора полного напряжения в некоторойплощадке, проходящей через материальную точку М тела, последнеемысленно разделяется сечением, проходящим через точку М на две части (7Рис. 1.1). Одна из частей мысленно отбрасывается, а ее действие наоставшуюся часть заменяем системой внутренних сил. Пусть на бесконечномалую площадку этого сечения ∆F действует сила ∆P . В общем случаенаправление действия силы ∆P не совпадает с направлением нормали кплощадке n .∆PnαM∆FРис. 1.1. К определению напряженияВектором напряжения (полного напряжения), действующего вплощадке, проходящей через точку М, называют предел:∆P(1.1)p = lim∆F →0 ∆FЧерез точку можно провести бесконечное число площадок, каждая изкоторых будет иметь свое направление нормали.

Величина полногонапряжения p будет зависеть от направления нормали к элементарнойплощадке. Таким образом:pn = p(n )Направление вектора полного напряжения pn в общем случае несовпадает с направлением нормали n . В этом случае его можно разложить нанормальное и касательное напряжения:σ n = p cos α ; τ n = p sin α(1.2)очевидноpn2 = σ n2 + τ n2(1.3)1.3. Напряжения в координатных площадках. Индексация.Правило знаковНемного позже мы докажем, что полное напряжение в произвольнойплощадке однозначно определяется векторами напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку и направлениемнормали.В качестве таких трех площадок удобно рассматривать площадки,расположенные параллельно координатным плоскостям.

Такие площадкиносят название координатных.8Наиболее распространенной является декартова система координат ипрежде, чем перейти к определению полного напряжения рассмотримобозначения нормальных и касательных напряжений в координатныхплощадках декартовой системы координат.Проведем через напряженную точку М три плоскости, параллельныеплоскостям координат.

Построим параллелепипед, ребра которого примембесконечно малыми. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда,проходящих через точку М, можно изобразить векторы напряжений,действующих в каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок (Рис.1.2). Напряжения в каждой площадке разложим на три (любой вектор м.б.разложен на три взаимно перпендикулярных): нормальное σ – направленноеперпендикулярно площадке и два касательных τ – расположенных вплоскости площадки и направленных вдоль координатных осей.Введем следующее правило индексации напряжений:Первый индекс указывает направление нормали площадки, второй направление оси, на которую проектируется вектор напряжения. Например,обозначая напряжение τxy , имеем в виду, что это касательное напряжениедействует в площадке, перпендикулярной к оси x в направлении оси y.ZYXσzτzx τzyτyzMτxzσyτxy τyxσxРис.

1.2. Индексация напряжений в координатных площадках.Очевидно, что для нормальных напряжений направление нормали кплощадке и направление действия совпадает, поэтому для краткости вместоσxx используют запись σx, аналогично и для других осей.Используют также другую запись, когда все составляющие напряженийв площадках, параллельных декартовым плоскостям (и нормальные икасательные) обозначают через σ. В этом случае, если подстрочные индексысовпадают, например σyy, то это нормальное напряжение, если нет, напримерσyz, то это – касательное.

Правила индексирования аналогичны принятымвыше (первый индекс – направление нормали, второй, направлениедействия). В этом случае всю совокупность напряжений в координатныхплощадках можно обозначить как σij, где i,j принимают значения x,y,z.Для напряжений в координатных площадках принято следующееправило знаков: если внешняя нормаль к площадке совпадает с9положительным направлением координатной оси, то за положительноенаправление напряжений, действующих на этой площадке, принимаютположительное направление соответствующих осей. Если внешняя нормаль кплощадке совпадает с отрицательным направлением координатной оси, то заположительное направление напряжений принимают отрицательноенаправление координатных осей.Руководствуясь этим правилом, следует признать, что все напряжения,показанные на рисунке – имеют положительное направление.Положительные нормальные напряжения называют растягивающими, аотрицательные нормальные напряжения – сжимающими.1.4.

Напряженное состояние в точкеНапряженное состояние в точке будем считать известным, еслиизвестен вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей черезданную точку.Если мы знаем напряженное состояние в каждой точке тела,следовательно, мы знаем напряженное состояние всего тела.Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то еенапряженное состояние полностью определено. Иными словами, если мызнаем напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, то мызнаем и напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.Для этого рассмотрим в окрестности точки М бесконечно малыйтетраэдр МАСВ, так, чтобы три его грани были параллельны координатнымплоскостям, а четвертая была бы наклонена к координатным плоскостям (Рис.1.3).ZCαzpzσyτyzτyx τM pαxpnxτzyσxτxyτxzσn αypyτzxNnYBσzX A10Рис.

1.3. К определению напряжений в наклонной площадке.Положение этой четвертой, наклонной грани определитсянаправляющими косинусами нормали n наклонной площадки относительноединичных векторов координатных направлений e x , e y , e z :n x = cos(n , e x ) = cosα x ; n y = cos(n , e y ) = cosα y ; n z = cos(n , e z ) = cosα z ;Пусть площадь наклонной грани ∆F, тогда площади остальных граней:∆Fx = ∆F × n x ;∆Fy = ∆F × n y ;∆Fz = ∆F × n z ;Пусть также в наклонной грани действует какое-то полное напряжениеpn .Разложим вектор полного напряжения(pn = p x , p y , p zpn на три составляющие:)TОчевидноp x2 + p y2 + p z2 .pn =Напомним, что напряжения в координатных площадках x,y,z мысчитаем известными.

Для равновесия тетраэдра сумма проекций сил нанаправления координатных осей должны быть равны нулю.∑ X = 0; ∑ Y = 0; ∑ Z = 0.Рассмотрим первое уравнение:− σ x ∆Fx − τ yx ∆Fy − τ zx ∆Fz + p x ∆F = 0.Уже получено:∆Fx = ∆F ⋅ nx ;∆Fy = ∆F ⋅ n y ;∆Fz = ∆F ⋅ nz ;Тогда, сокращая на ∆F , получаемp x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z .Рассматривая проекции сил на остальные координатные оси,окончательно получим систему уравнений:p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫⎪⎪p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬(1.4)⎪p z = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎪⎭Выражения (1.4) можно упростить, используя знак суммирования:pi = ∑ σ ji n j ,i , j = x, y , zjВыражения такого вида удобно представлять в сокращенной записи.Правило сокращенной записи введено Альбертом Эйнштейном изаключаются в следующем:Знак суммы опускается, а по каждому повторяющемуся в одночленеиндексу ведется суммирование.

Повторяющийся индекс называют немым, анеповторяющийся – свободным. В выражении для напряжения в свободной11площадке повторяющийся (немой) индекс – j, а неповторяющийся(свободный) – i.В сокращенной записи система уравнений примет вид:pi = σ ji n j , i, j = x, y, z .(1.5)Полученные нами выражения показывают, если известны девятькомпонентов напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярныхплоскостях, проходящих через точку, то можно определить полноенапряжение на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку.Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определенодевятью компонентами напряжений в трех взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется каксумма проекций компонент p x , p y , p z на нормаль к площадке n()σ n = p x n x + p y n y + p z n z = ∑ pi ni = pi ni = σ ji n j ni = ∑∑σ ji n j ni ,ii(1.6)jКасательная составляющая напряжения согласно выражению (1.3)определится по формулеτ = pn2 − σ n2 .(1.7)1.5.

Закон парности касательных напряженийСоставим еще три уравнения равновесия элементарной пирамиды:сумма моментов всех сил относительно осей координат равна нулю.CτyxZ`τxzτyz X` O`ττzy zxτxyY`BAРис. 1.4. К выводу закона парности касательных напряженийС целью упрощения преобразований поместим начало новой системыкоординат в центре тяжести грани ABC пирамиды (Рис.