Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 9

Таким образом, в этом случае нормальные напряжения вкоординатных площадках σ ρ ,σ θ являются главными (Рис. 1.19).σθσρσρσθРис. 1.19. Схема осесимметричного плоского напряженногосостоянияУравнения равновесия для этого случая можно получить из уравненийравновесия для осесимметричного напряженного состояния, положив в нихτ ρz = τ zρ = 0 . Кроме того, следует учесть, что для плоской задачинапряжения не зависят от координаты z . Тогда система уравненийравновесия преобразуется к одному, в котором от частных производныхможно перейти к полным:48dσ ρ+σ ρ − σθ=0ρ(1.47)dρДля пространственной заготовки, или пространственного очагапластической деформации уравнения равновесия получают проектированиемсил на нормаль к серединной поверхности.В формоизменяющих операциях листовой штамповки часто металлконтактирует с одной поверхностью деформирующего инструмента.

Тогдадля осесимметричной задачи можно получить одно приближенное уравнениеравновесия элемента, выделенного в участке очага деформации и имеющегопостоянную кривизну в меридиональном сечении.Это уравнение выводится на основе безмоментной теории оболочек, воснову которой положены следующие допущения:σmσnnσnσθРис.

1.20. Основные допущения безмоментной теории оболочек1. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединнойповерхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими компонентаминапряжений.2. Направление нормали к серединной поверхности в процессе деформациине изменяется.3. Нормальные напряжения, действующие в сечениях оболочки,распределяются равномерно по ее толщине. Это допущение означаетпренебрежение изгибающими моментами, действующими в сеченияхоболочки. Отсюда название – безмоментная теория оболочек.Все уравнения для безмоментной теории оболочек выводятсяприменительно к серединной поверхности оболочки.Привыводеуравненияравновесияприменительнокформоизменяющим операциям листовой штамповки дополнительно сделаныследующие допущения:1. Оболочка контактирует только с одной поверхностью рабочегоинструмента.

На этой поверхности возникают контактные силы трения.Поскольку нормальные силы малы (см. выше), то контактные силы трениятакже малы, и следовательно, допустимо использовать закон Амонтона –Кулона, согласно которому τ k = µσ n . (При малых значениях сил тренияони никогда не достигнут максимальной величины, равной k ).492. Вследствие малости сил трения можно пренебречь парнымикасательныминапряжениямивплощадках,перпендикулярныхповерхности оболочки. Таким образом, напряжения, действующие в этихплощадках, σ m ,σ θ считаем главными.3.

Оболочка является оболочкой вращения и, следовательно, имеетпостоянную кривизну в широтном сечении6.σmσθ σnτκ=µσnσnµσnσθРис. 1.21. Дополнительные допущенияПусть некоторая пластически деформируемая оболочка вращенияимеет толщину s . Выделим в очаге деформации оболочки элемент abcd,образованный пересечением двух меридиональных7 и двух широтныхсечений (Рис. 1.22). Угол, между касательными к образующим оболочки вмеридиональных сечениях - dθ , между образующими широтных сечений вмеридиональной плоскости - dα , а в широтном направлении - dβ . Крометого, на рисунке обозначено: Rθ - радиус кривизны в широтном сечении; R ρ- радиус кривизны в меридиональном сечении; ρ - радиус кривизныоболочки в сечении, проходящем перпендикулярно оси симметрии; dγ - уголмежду плоскостями широтных сечений (равен проекции угла dθ наплоскость, перпендикулярную оси симметрии).Из элементарных геометрических соображений получим:dρρab = ρdγ = Rθ dβ =dθ ; bc = Rm dα =sin αsin αПри составлении уравнений равновесия все элементарные силы, в томчисле и силу трения, будем относить к срединной поверхности.Проецируя силы на нормаль к поверхности, получим:dαdβ(1.48)σ n f 3 − 2σ m f1− 2σ θ f 2=02267Широтное сечение – сечение конической поверхностью, образующиекоторой нормальны поверхности оболочки, а вершины конусов лежат наоси симметрии оболочки.Меридиональное сечение – сечение, проходящее через ось симметрии (осьвращения) оболочки.50dθdγdαRmσθ σnασmaf2Rθf1f2bd µσnf1+df1cdαασθf3σm+dσmρρ+dρRmτdβRθdαРис.

1.22. К выводу уравнений равновесия для формоизменяющих операцийлистовой штамповкиПлощади элементарных поверхностей:f1 = ab × s = sRθ dβ = sρdγdf1 = s × dρdγ⇒f 2 = bc × s = sRm dα = sdρsin αdρsin αПодставляя первые значения полученных площадей в уравнениепроекций на нормаль (1.48), получим8:σ n Rθ Rm dαdβ − σ m sRθ dαdβ − σ θ sRm dαdβ = 0Сокращая на sRθ Rm dαdβ , получим уравнение, известное вбезмоментной теории оболочек как уравнение Лапласа:f 3 = ab × bc = Rθ dβRm dα = ρdγσnσσ− m − θ =0(1.49)sRm RθПроецируя силы на ось τ касательную к поверхности вмеридиональном сечении, получим:dαdαdθ− σ m f1 cos+ (σ m + dσ m )( f1 + df1 )cos− µσ n f 3 − 2σ θ f 2=0222Подставляя вторые значения в выражениях для площадей, значение σ nиз уравнения Лапласа, а также пренебрегая бесконечно малыми высшихпорядков и приводя подобные члены получим:8В учебнике М.В.Сторожева и Е.А.Попова напряжения в меридиональномсечении обозначены не σ m , а σ ρ .

Мы используем обозначения σ m , чтобыподчеркнуть, что меридиональные напряжения действуют в направлении,перпендикулярном меридиональному сечению, а не в направлении оси ρ .51⎛σσ ⎞ dρdθdσ m sρdγ + σ m sdρdγ − µs⎜⎜ m + θ ⎟⎟ρdγ − σ θ sdρ = 0RRsinαsinαθ ⎠⎝ mdγСокращая на sdρdγ , получим уравнение равновесия элементазаготовки постоянной толщины, выделенного в пространственном участкеочага деформации при осесимметричном деформировании заготовки сналичием трения на контактной поверхности.dσµ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞⎜⎟=0(1.50)ρ m + σ m − σθ −+dρsin α ⎜⎝ Rm Rθ ⎟⎠Если оболочка имеет переменную толщину вдоль образующей, тоуравнение равновесия принимает следующий вид:dσ⎛ρ ds ⎞µ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞⎜⎜⎟⎟ = 0⎟⎟ − σ θ −(1.51)ρ m + σ m ⎜⎜1 ++dρsdRRραsin⎝⎠θ ⎠⎝ m1.18.

Вопросы для самопроверки1. Доказать справедливость формулы pi = σ ji n j для i=y,z2. Доказать справедливость закона парности касательных напряженийτ ij = τ ji для i=x,j=y; i=y,j=z; i=z,j=x3. Известны компоненты тензора напряжений в системе координат Oxyz иматрица направляющих косинусов осей системы координат Ox'y'z' поотношению к осям системы координат Oxyz, Определить компонентуσ y 'z ' тензора напряжений в системе координат Ox'y'z'.4. Известны главные напряжения и следующие компоненты тензоранапряжений: σ x ,σ y ,τ xy ,τ yz .

Записать девиатор напряжений.5. Известны главные напряжения. Определить нормальное и касательноенапряжения в площадке, наклоненной к главной системе координат подуглом, определяемым направляющими косинусами n1.n2 .6. Определить максимальное касательное напряжение, гидростатическоедавление и интенсивность напряжений для напряженного состояния,характеризующегося следующими компонентами тензора напряжений:σ xx ,σ yy ,σ zz , остальные σ ij = 0 ;7. Известны компоненты девиатора напряжений и нормальные напряжения вплощадке, равнонаклоненной ко всем главным осям.

Определитькомпоненты тензора напряжений и интенсивность напряжений.8. Известны ненулевые компоненты шарового тензора и два главныхнапряжения. Доказать или опровергнуть утверждение, что существуетплощадка, проекции полного напряжения на главные оси в которой равныp1, p2 , p39. Напряженное состояние в точке таково, что оси x, y, z являются главными.При заданных значениях напряжений σ xx ,σ yy ,σ zz определить52нормальные и касательные напрядения в площадке параллельной 1главной оси и составляющей с 2 и 3 главными осями угол 45о.10.

Известно, что σ xx = a - главное напряжение в точке. Также известнонапряжение σ yz = b . Какова величина касательных и нормальныхнапряжений в той площадке, в которой достигается максимальное полноенапряжение для данного напряженного состояния в исследуемойнапряженной точке, чему равна величина этого полного напряжения?11. Известно гидростатическое давление p и напряжения (нормальное икасательное) в площадке, касательное напряжения в которой являетсямаксимальным для данного напряженного состояния в исследуемой точке.Определить интенсивность нормальных и касательных напряжений вточке. Записать девиатор напряжений в главной системе координат.12.