Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.4). Координатамицентра тяжести, очевидно, будут12111x0' = ∆x; y0' = ∆y; z0' = ∆z.333Центры тяжестей граней AMB, BMC, CMA совпадают с проекциями насоответствующие координатные плоскости точки O'. На рисунке отобразимтолько касательные напряжения, поскольку только они дают крутящиймомент относительно точки O'Рассмотрим уравнение ∑ M x ′ = 0 . При составлении суммы моментоввсех сил относительно оси x' учтем, что силы τ xy ∆Fn x , τ xz ∆Fn x , σ y ∆Fn y ,σ z ∆Fn z пересекают ось. Поэтому в условие равновесия войдут моментытолько двух поверхностных сил (τ yz ∆Fn y и τ zy ∆Fn z ):131111Так как∆Fn y ∆y = ∆Fy ∆y = ∆Fn z ∆z = ∆Fz ∆z = V3333пирамиды), то τ yz = τ zy .13τ yz ∆Fn y ∆y − τ zy ∆Fn z ∆z = 0 .(V - объемτ xz = τ zx и τ yx = τ xy , т.е.составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярныхплощадках, нормальные к линии пересечения этих плоскостей, равны междусобой (закон парности касательных напряжений).Таким образом, напряженное состояние в точке определяется девятьюкомпонентами напряженного состояния, из которых шесть касательныхпопарно равны.Используя закон парности касательных напряжений, развернемвыражение (1.6)σ n = σ ij ni n j = σ xj n xσ j + σ yj n y n j + σ zj n z n j =Аналогичнорассуждая,получаем= σ xx n x n x + σ xy n x n y + σ xz n x n z ++ σ yx n y n x + σ yy n y n y + σ yz n y n z +.(1.8)+ σ zx n z n x + σ zy n z n y + σ zz n z n z == σ x n x2 + σ y n 2y + σ z n z2 + 2τ xy n x n y + 2τ yz n y n z + 2τ zx n z n x1.6.

Тензор напряжений.Итак, напряженное состояние в точке определяется 9-ю величинаминормальных и касательных напряжений в 3-х взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Эти девять величин σ ji , которые связывают между собой проекцииполного напряжения в некоторой площадке pn и направляющие косинусыэтой площадки n составляют симметричный тензор 2-го ранга, называемыйтензором напряжений:13⎛ σ x τ yx τ zx ⎞⎜⎟Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟⎜⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠Попытаемся разобраться в понятии тензора.Допустим, что компоненты напряжений заданы в произвольнойсистеме координат Oxyz (для простоты воспользуемся второй формойзаписи):⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ или σ ji⎜⎟⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠Введем новую систему координат Ox'y'z' , повернутую относительнопервой вокруг начала координат O.

Положение каждой из осей новойсистемы координат зададим направляющими косинусами углов γ i' j междуновой осью и старыми осями (Рис. 1.5).zx' γx'zγx'yz'yγx'xOxy'Рис. 1.5. Положение новой системы координат при повороте координатныхосейНапример, для оси x' :n x ′x = cos(γ x ′x ); n x ′y = cos(γ x ′y );n x ′z = cos(γ x ′z )Таким образом, положение новой системы координат относительносистемы x, y, z задано девятью направляющими косинусами типа:xyzx ′ n x ′x n x ′y n x ′z,y ′ n y ′x n y ′y n y ′zz ′ n z ′x n z ′y n z ′zкоторые могут быть объединены в матрицу направляющих косинусов14⎛ nx ' x nx ' y nx ' z ⎞⎜⎟ni ' j = ⎜ n y ' x n y ' y n y ' z ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ nz ' x nz ' y nz ' z ⎠Следует заметить, что только три направляющих косинуса в этойматрице независимы, остальные являются зависимыми.Напряженное состояние в рассматриваемой точке тела в новойкоординатной системе определяется напряжениями σ j ′i ′ .⎛σ x'x' σ x' y' σ x'z' ⎞⎜⎟σ j ' i '= ⎜ σ y ' y ' σ y ' x ' σ y ' z ' ⎟⎜⎜⎟⎟.σσσ''''''yzzzxz⎝⎠Поскольку напряженное состояние в точке не может зависеть отвыбора координатных осей, то между компонентами напряжений вкоординатах xyz и x'y'z' должна существовать взаимосвязь.Можно показать, что в сокращенной записи эта зависимость имеетследующий вид:σ j ' i ' = n j ' i ⋅ ni ' j ⋅ σ ji ,(1.9)где i, j = x, y, zПроверим эту запись для компонента σ x ' x ' .

Напряжение σ x ' x ' нормальное напряжение в направлении оси x' . Следовательно, для егоопределения можно воспользоваться полученной нами ранее формулой,определяющей нормальное напряжение в произвольной направлении черезнапряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках и направляющиекосинусы:σ n = σ ij ni n jВданномслучаеσn = σ x'x' ,nx = nx' x ,n y = nx' y ,n z = n x' z ,следовательноσ x ' x ' = σ ij nx ' i nx ' jТакое же выражение получаем и при непосредственной подстановкеj ' = x , i ' = x в общую формулу преобразования компонент напряжений.В развернутом виде компоненты σ j ' i ' , например для σ x ' y ' , выглядятследующим образом:15σ x ' y ' = nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji = ∑∑ nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji =ij= ∑ (nx ' i n y ' xσ xi + nx ' i n y ' yσ yi + nx ' i n y ' zσ zi ) =i= nx ' x n y ' xσ xx + nx ' y n y ' xσ xy + nx ' z n y ' xσ xz ++ nx ' x n y ' yσ yx + nx ' y n y ' yσ yy + nx ' z n y ' yσ yz ++ nx ' x n y ' zσ zx + nx ' y n y ' zσ xy + nx ' z n y ' zσ zzТаким образом, зная компоненты напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку, мы можем всегдаопределить компоненты напряжений в любой другой совокупности трехвзаимно перпендикулярных площадок, проходящих через ту же точку.Теперь дадим определение тензора второго ранга (или второйвалентности):Физическая величина, определяемая набором девяти компонентов aij ,которая при изменении системы координат преобразуется в наборкомпонентов ai ' j ' согласно формуле: ai ' j ' = α i ' j ⋅ α j ' i ⋅ aij , где α i ' j ,α j 'i направляющие косинусы новой системы координат в данной системекоординат называется тензором 2-го ранга.Сравниваяопределениетензораиполученнуюформулупреобразования компонент напряженного состояния при повороте осейкоординат можно сделать вывод, что напряженное состояние в точкеявляется тензорной величиной.Вследствие парности касательных напряжений σ ij = σ ji тензорнапряженийявляетсясимметричным,посколькукомпоненты,расположенные симметрично относительно его главной диагонали, равнымежду собой.Понятие тензора является обобщением понятий вектора и скаляра.Вектор определяется тремя скалярными величинами (проекциями вектора накоординатные оси) и является тензором первого ранга.

Скаляры являютсятензорами нулевого ранга.Еще раз запишем различные формы записи тензора напряжений⎛ σ x τ yx τ zx ⎞ ⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟ ⎜⎟(1.10)Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟ = ⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ = σ ij⎜⎜⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠ ⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠1.7. Главные нормальные напряжения. Инварианты тензоранапряженийМы выяснили, что напряженное состояние в точке определяетсявеличиной напряжений, действующих на трех координатных площадках,проходящих через эту точку, и является тензорной величиной.16При произвольном выборе положения координатных осей на каждой изкоординатных площадок имеется нормальное и касательное напряжения.В курсе тензорного анализа доказывается, что при определенномповороте осей тензор второго ранга всегда может быть приведен кдиагональному виду.

Иными словами все компоненты тензора, находящиесявне главной диагонали будут равны нулю. Следовательно, и тензорнапряжений можно привести к диагональному виду. На главной диагоналитензора напряжений находятся нормальные напряжения, а вне ее –касательные. Это означает, что для любого напряженного состояниясуществует такая прямоугольная система координат, в координатныхплощадках которой действуют только нормальные напряжения, а всекасательные напряжения в этих площадках равны нулю. Координатные оситакой системы координат называются главными.

Площадки, параллельныекоординатным плоскостям такой системы называются главными площадками,а нормальные напряжения, действующие в главных площадках – главныминормальными напряжениями.Попробуем получить уравнения, выражающие напряжения в главныхплощадках через напряжения в координатных площадках произвольнойсистемы координат.Обратимся к Рис. 1.3. Предположим, что наклонная грань АВСпредставляет собой одну из главных площадок. Тогда на этой площадкедействует только нормальное напряжение σ.

Иными словами pn = σ .Проекции этого напряжения на координатные оси равны произведениюдлины вектора на направляющие косинусы площадки:pi = σ ⋅ niПодставив эти выражения в соотношения для проекции полногонапряжения (1.6) σ n = pi ni , получим:σ x n x + τ yx n y + τ zx n z = σn x ; ⎫⎪⎪τ xy n x + σ y n y + τ zy n z = σn y ;⎬⎪τ xz n x + τ yz n y + σ z n z = σn z . ⎪⎭(σ x − σ )n x + τ yx n y + τ zx n z = 0; ⎫⎪⎪τ xy n x + (σ y − σ )n y + τ zy n z = 0;⎬(1.11)⎪τ xz n x + τ yz n y + (σ z − σ )n z = 0. ⎪⎭Полученная система уравнений является линейной однороднойотносительно направляющих косинусов ni (свободные члены равны нулю).Все направляющие косинусы не могут быть одновременно равны нулю( n x2 + n 2y + n z2 = 1 ).Для того чтобы система линейных однородных уравнений имелаотличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель,составленный из коэффициентов уравнений, равнялся 0:17σ x −στ yxτ zx∆ = τ xyσ y −στ zy = 0 ,τ xzτ yzσ z −σ(1.12)Развертывая определитель, получим:(σ x − σ ) σ y − σ (σ z − σ ) + τ yxτ zyτ xz + τ xyτ yzτ zx −(())− σ y − σ τ xzτ zx − (σ x − σ )τ zyτ yz − (σ z − σ )τ xyτ yx = 0произведя преобразования, придем к уравнениюσ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 ,(1.13)где⎫⎪I1 (Tσ ) = σ x + σ y + σ z ;⎪⎪σ x τ yx σ x τ zx σ y τ zy⎪++=I 2 (Tσ ) =⎪τ xy σ y τ xz σ z τ yz σ z⎪⎪222= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ yz − τ xz ;⎬⎪σ x τ yx τ zx⎪⎪I 3 (Tσ ) = τ xy σ y τ zy =⎪τ xz τ yz σ z⎪⎪222 ⎪= σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ yτ xz − σ xτ yz − σ zτ xy .⎭(1.14)Это уравнение имеет три корня.

Доказано, что исходя из соотношенийкоэффициентов I1, I2, I3 они всегда будут действительными. Эти корни иявляются величинами главных напряжений, которые принято обозначать:σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Оси координат, определяющие площадкиглавных напряжений обозначают 1,2,3. Иногда для главных напряженийиспользуется запись σ 11 ,σ 22 ,σ 33 показывающая, что напряжение действует вплощадке, нормаль к которой направлена вдоль оси 1 и само напряжениетакже направлено вдоль этой оси. При сравнении напряжений их следуетбрать с учетом знака, т.е. если корни уравнения имеют значения 0, -40, -10, тоσ 1 = 0,σ 2 = −10,σ 3 = −40 .В тензорном анализе доказывается, что значения коэффициентовхарактеристического уравнения тензора 2-го ранга не изменяются приповороте системы координат (инвариантны к преобразованию координат).Для тензора напряжений это физически означает, что главные напряженияпри данном напряженном состоянии имеют единственное значение.Коэффициенты I1, I2, I3 поэтому называют инвариантами тензоранапряжений.

Первый инвариант – линейный, второй – квадратичный итретий – кубический. В главных осях они будут иметь вид18I1 (Tσ ) = σ 1 + σ 2 + σ 3 ;I 2 (Tσ ) = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1;I 3 (Tσ ) = σ 1σ 2σ 3 .В главных осях тензор напряжений приводится к виду:0 ⎞⎛σ 1 0⎜⎟Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟⎜00 σ 3 ⎟⎠⎝Инварианты тензора напряжений имеют важное значение. Так,например, если записаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, можноопределить, выражают они одно напряженное состояние, или разные.Приведем тензорную запись первых двух инвариантов:I1 (Tσ ) = σ ii = ∑σ ii = σ xx + σ yy + σ zz = σ x + σ y + σ z[(i = x, y , z) ()]1(σ ii )2 − σ ijσ ij22(σ ii ) = ∑ (σ ii )2 = σ xx + σ yy + σ zz 2 =I 2 (Tσ ) =i = x, y , z()()∑ (σ ijσ ij ) = ∑ (σ ixσ ix + σ iyσ iy + σ izσ iz ) =22= σ xx+ σ 2yy + σ zz+ 2 σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xxσ ijσ ij =∑i = x, y , z j = x, y , zi = x, y , z= σ xxσ xx + σ yxσ yx + σ zxσ zx ++σ xyσ xy + σ yyσ yy + σ zyσ zy ++σ xzσ xz + σ yzσ yz + σ zzσ zz =(222222= σ xx+ σ yy+ σ zz+ 2 σ xy+ σ yz+ σ zx)Следовательно:122(σ ii )2 − σ ijσ ij = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xx − σ xy− σ 2yz − σ zx=2[]22= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy− τ 2yz − τ zxЧто и требовалось доказать.1.8.

Характеристики

Список файлов книги