Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 5

Элипсоид напряженийВернемся к рассмотрению напряжений в наклонной площадке. Однакорасположим эту площадку не в произвольной, а в главной системекоординат.Тогда проекции полного напряжения (компоненты) в наклоннойплощадке в проекции на главные оси будет иметь вид ( pi = σ ji n j ):19p1 = σ 1n1; p2 = σ 2 n2 ; p3 = σ 3n3Выразив направляющие косинусы из уравнений для компонентполного напряжения по осям координат, и учтя, что сумма квадратовнаправляющих косинусов равна единице, получим:p12σ 12+p22σ 22+p32σ 32=1(1.15)3σ3p3p1p1σ2σ1p22Рис.

1.6. Эллипсоид напряженийЗначения главных напряжений для каждого напряженного состоянияявляются постоянными. В этом случае полученное уравнение являетсяуравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собойглавные напряжения в данной точке.Поверхность эллипсоида – геометрическое мест точек, котороеописывает конец вектора полного напряжения pn при произвольномположении наклонной площадки, если начало вектора находится в началекоординат. Иными словами длина радиус-вектора любой точки поверхностипредставляет собой значение полного напряжения в наклонной площадке.Этот эллипсоид носит название эллипсоида напряжений или эллипсоидаЛаме и дает геометрическую интерпретацию тензора напряжений.Из анализа эллипсоида напряжений следует важный вывод:абсолютное значение вектора полного напряжения в любой площадке неможет быть больше максимального и меньше минимального главногонапряжения.Если все три главных напряжения равны между собой и одинаковы познаку, то эллипсоид превращается в шар, и любые три взаимноперпендикулярные оси становятся главными.

В этом случае во всехплощадках действуют одинаковые равные между собой нормальныенапряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют. Иначе говоря, точканаходится в состоянии всестороннего растяжения, или всестороннего сжатия.20Тензор напряжений для такого напряженного состояния носит названиешарового тензора и имеет следующий вид:⎛σ 0 0 ⎞⎟⎜Tσ0 = ⎜ 0 σ 0 ⎟⎜0 0 σ⎟⎠⎝Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоидпревращается в эллипс и объемное напряженное состояние становитсяплоским.Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид превращаетсяв отрезок прямой линии, что соответствует одноосному напряженномусостоянию.1.9.

Разложение тензора напряжений на шаровой тензор идевиаторЛюбой тензор может быть представлен в виде суммы двух тензоров.Воспользуемся этим свойством и представим тензор напряжений в видесуммы двух тензоров, один из которых является шаровым тензором, авторой – девиатором напряжений:Tσ = Tσ0 + Dσ ,Шаровой тензор:00 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛⎜ σ ср⎟⎟⎜0 ⎟,Tσ0 = σ ср E = σ ср ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 σ ср(1.16)⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 00 σ ср ⎠⎠ ⎝⎝Здесь Е – единичный тензорВеличина, равная 1/3 первого (главного, линейного) инвариантатензора напряжений1:σ x + σ y + σ z σ1 + σ 2 + σ 3 1I (T )σ ср === σ ii ≡ 1 σ(1.17)3333носит название среднего нормального напряжения, а величинаp = −σ ср - гидростатическим давлением.Второй тензор носит название девиатора и имеет вид:⎛ σ x − σ срτ yxτ zx ⎞ ⎛ s xx s yx s zx ⎞⎟⎟ ⎜⎜Dσ = ⎜ τ xyσ y − σ срτ zy ⎟ = ⎜ s xy s yy s zy ⎟ ,⎜τ yzσ z − σ ср ⎟⎠ ⎜⎝ s xz s yz s zz ⎟⎠⎝ τ xz(1.18)В сокращенном виде компоненты девиатора могут быть представленыв следующем виде:sij = σ ij − δ ijσ ср ,(1.19)1В зарубежной литературе среднее напряжение часто обозначают σ m21где⎧1, если i = jсимвол Кронекера⎩0, если i ≠ jКак уже было показано, шаровой тензор представляет собойнапряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия (взависимости от знака σ cp ).

Такое напряженное состояние не может вызватьδ ij = ⎨изменения формы тела – возможно лишь изменение его объема. Девиаторнапряжений обуславливает изменение формы тела без изменения объемаПо аналогии с инвариантами тензора напряжений можно записатьинварианты девиатора напряжений.

Первый инвариант девиаторанапряжений равен нулю:I1 ( Dσ ) = s xx + s yy + s zz = sii = σ xx + σ yy + σ zz − 3σ cp = 0Большое значение в теории обработки металлов давлением имеетвеличина второго инварианта девиатора напряжений. Его мы будемиспользовать в дальнейшем, поэтому запишем его в различных формах:22I 2 ( Dσ ) = s xx s yy + s yy s zz + s zz s yy − s xy− s 2yz − s zx=⎤1⎡12= ⎢(sii ) − sij sij ⎥ = − sij sij =2⎢2⎥⎦⎣ =022 ⎤⎡+ s 2yy + s zzs xx222⎥== − ⎢ s xy + s yz + s zx +2⎢⎥⎣⎦((1.20)) () ()⎡σ x − σ cp 2 + σ y − σ cp 2 + σ z − σ cp 2 ⎤222⎥== − ⎢τ xy + τ yz + τ zx +2⎢⎥⎣⎦3σ cp⎡⎤⎢2222 ⎥σ x + σ y + σ z − 2σ cp σ x + σ y + σ z + 3σ cp ⎥22= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+=⎢⎥2⎢⎥⎢⎣⎥⎦2⎡⎛σx +σ y +σz ⎞ ⎤222⎢σ x + σ y + σ z − 3⎜⎟ ⎥⎢ 23⎝⎠ ⎥=2= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎦⎥()22() (())21⎡22 ⎤= − ⎢3 σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x + σ y + σ z + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx⎥⎦ =6⎣122 ⎤= − ⎡ 2σ x2 + 2σ 2y + 2σ z2 − 2σ xσ y − 2σ yσ z − 2σ zσ x + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=⎢⎥⎦6⎣122= − σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=61= − [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]6Выражение для третьего инварианта девиатора напряжений (внастоящее время он пока редко используется в теории пластичности)приведем только в сокращенной тензорной форме:1I 3 ( Dσ ) = sij s jk skl3Главные оси девиатора напряжений совпадают с главными осямитензора напряжений.[() (()())]1.10.

Максимальные касательные напряженияМаксимальными касательными (иногда их еще называют главнымикасательными) напряжениями называются наибольшие касательныенапряжения для данного напряженного состояния. Определим положениеплощадок, в которых действуют максимальные касательные напряжения. Дляэтого необходимо определить направляющие косинусы этих площадок.Касательные напряжения в наклонных площадках выражаются черезглавные напряжения следующим образом:(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32)2(1.21)В формуле (1.21) использованы соотношенияpi = σ ji n j ; p 2 = p x2 + p 2y + p z2 ;σ n = pi ni = σ ji n j niПоскольку три направляющих косинуса связаны между собойсоотношением:n12 + n22 + n32 = 1 ,то один из них (например n3 ) можно исключить, в результате получим:()()τ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 1 − n12 − n22 − ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥⎣⎦2Для определения экстремума необходимо взять частные производныепо каждому из направляющих косинусов и приравнять полученноевыражение нулю.∂ (τ n2 )= 2σ12 n1 − 2σ 32 n1 − 2 ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥ 2σ1 n1 − 2σ 3 n1 = 0⎣⎦∂n12 (σ1 −σ 3 )(σ1 +σ 3 ) n1()()23()n1 σ 1 + σ 3 − 2σ 1 n12 − 2σ 2 n22 − 2σ 3 + 2σ 3 n12 + 2σ 3 n22 = 0 21⎡⎤n1 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 1 − σ 3 )⎥ = 0 32⎣⎦Аналогично, дифференцируя по n2 и приравняв производную нулю,получим1⎡⎤n2 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 2 − σ 3 )⎥ = 02⎣⎦Эти два уравнения образуют систему.

Ее тривиальное решениеочевидно: n1=n2=0. Из уравнения суммы квадратов направляющих косинусовнайдем: n3 = ±1 . Эти площадки перпендикулярны главной оси 3.Касательные напряжения в них равны нулю – иными словами этоминимальные касательные напряжения, а мы ищем максимальные.Положим, что n1 ≠ 0, n2 ≠ 0 , тогда равны нулю выражения вквадратных скобках. Вычитая второе из первого после преобразованийполучим:σ 1 − σ 3 = σ 2 − σ 3 , что в общем случае неверно.Поэтому нетривиальные решения можно получить, приняв для первогоуравнения системы: n2 = 0, n1 ≠ 0 , а для второго n1 = 0, n2 ≠ 0 .

Тогда дляпервого уравнения:(σ 1 − σ 3 )n12 − 1 (σ 1 − σ 3 ) = 02Откуда11n1 = ± ; n2 = 0; тогда n3 = ±22Из второго уравнения системы:11n1 = 0;n2 = ± ; n3 = ±22Исключая последовательно в уравнении (1.21) для касательногонапряжения два других направляющих косинуса и проведя аналогичныепреобразования, получим 3 пары значений, определяющих направляющиекосинусы площадок, в которых действуют максимальные касательныенапряжения:2Сокращаем на 2(σ 1 − σ 3 ) и выносим n1 за скобки3Меняем знак, выносим за скобки n12 и n22 и делим на 2.24n1 = 0;n2 = n3 = ±12n2 = 0;n1 = n3 = ±12(1.22)12Легко заметить, что каждая из этих трех пар определяет площадки,параллельные одной из осей главных координат и составляющие с двумядругими осями угол 45° (Рис.

1.7).n3 = 0;n2 = n1 = ±33τ121232τ2312τ311Рис. 1.7. Площадки максимальных касательных напряженийПодставляя найденные значения направляющих косинусов в уравнениедля касательного напряжения (1.21), найдем значения максимальныхкасательных напряжений.(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32Для n1 = 0;τ2n2 = n3 = ±)21получим:2211 ⎞2 1 2 1 2 ⎛= 0σ 1 + σ 2 + σ 3 − ⎜ 0σ 1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =2222⎠⎝111111= σ 22 + σ 32 − σ 22 − σ 32 − σ 2σ 3 = (σ 2 − σ 3 )2224424или1τ 23 = ± (σ 2 − σ 3 )2Аналогично могут быть получены и выражения для двух другихсовокупностейнаправляющихкосинусов.Индексмаксимальныхкасательных напряжений показывает, к каким главным осям плоскость ихдействия наклонена под углом 45°:251(σ 1 − σ 2 ); τ 23 = ± 1 (σ 2 − σ 3 ) ; τ 31 = ± 1 (σ 3 − σ 1 ) .(1.23)222Таким образом, любое максимальное касательное напряжение равнополуразности главных нормальных напряжений в направлении тех осей, скоторыми площадка составляет угол 45°, взятой со знаком + или -.

Сумматрех главных касательных напряжений равна нулю.Наибольшее из всех значений касательное напряжение в данной точкеназывается максимальным напряжением τ max ; если σ1 > σ 2 > σ 3 , то1τ max = (σ1 − σ 3 ) .2Подставив найденные значения направляющих косинусов в формулудля нормальных напряжений для наклонной площадки в главных осяхσ n = σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 , можно определить величину нормальныхнапряжений на площадках, на которых действуют максимальныекасательные напряжения. Например, для σ 23 :11 σ +σ3σ n = σ10 + σ 2 + σ 3 = 2= σ 23222Таким образом:111σ12 = (σ1 + σ 2 ) ; σ 23 = (σ 2 + σ 3 ) ; σ 31 = (σ 3 + σ1 ) .(1.24)222τ 12 = ±1.11.