Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 6

Октаэдрические напряженияРассмотрим в некоторой точке тела площадку, одинаково наклоненнуюк главным осям.Очевидно:1n12 + n22 + n32 = 1 ⇒ni =3Таких площадок четыре. С четырьмя параллельными они образуютфигуру октаэдра (Рис. 1.8). Поэтому напряжения в этих площадках называютоктаэдрическими.Значения этих напряжений можно определить, подставив значениенаправляющих косинусов в выражения для нормальных и касательныхнапряжений в наклонной площадке в главных осях координат.Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему главномунапряжению:σ окт = σ cpКасательное напряжение (1.21):(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32)2263σоктσоктσоктτокт1τоктτоктτокт2σоктРис.

1.8. Октаэдрические площадки211111 ⎞⎛1= σ12 + σ 22 + σ 32 − ⎜ σ1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =33333 ⎠⎝31= 2σ12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2σ1σ 2 − 2σ 2σ 3 − 2σ 3σ1 =91= ⎡⎢ σ12 − 2σ1σ 2 + σ 22 + σ 22 − 2σ 2σ 3 + σ 32 + σ 32 − 2σ 3σ1 + σ12 ⎤⎥ =⎦9⎣1222= ⎡⎢(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) ⎤⎥⎦9⎣откуда12τ окт = ± (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = ±I 2 ( Dσ ) (1.25)33Все основные площадки, можно изобразить на фигуре Рис.

1.9.Таким образом, существует три вида характерных площадок,проходящих через точку:• Три взаимно перпендикулярных площадки главных напряжений, вкоторых отсутствуют касательные напряжения• Три пары площадок главных (максимальных) касательныхнапряжений. Эти площадки равнонаклонены к двум главным осям ипараллельны третьей.• Восемь площадок октаэдрических напряжений, нормальныенапряжения в которых равны среднему нормальному напряжению(гидростатическому давлению с обратным знаком) в точке.

Этиплощадки являются равнонаклоненными к главным осям.2τ окт()() () ()27σ33 площадки главныхнапряжений8 площадококтаэдрическихнапряженийσ23σ31τ316 площадокмаксимальныхкасательныхнапряженийσoτ23τoτ12σ2σ12σ1Рис. 1.9. Характерные площадки1.12. Интенсивность напряженийДля комплексной характеристики напряжений применяют двевеличины: интенсивность нормальных напряжений и интенсивностькасательных напряжений.Интенсивность нормальных напряжений4 определяют по выражению1(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 =σi =2.(1.26)33= 3 I 2 (Dσ ) =sij sij =τ окт22В случае линейного растяженияσ1 ≠ 0; σ 2 = σ 3 = 0; σ i = σ 1.Интенсивность касательных напряжений определяют по выражению1(1.27)T=(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ1 ) 2 = I 2 ( Dσ ) .6В случае чистого сдвигаσ1 = τ ; σ 2 = 0; σ 3 = −τ ; T = τ .В зарубежной литературе часто обозначают σ , в ряде отечественныхизданий σ и428Между интенсивностью нормальных и касательных напряженийсуществует связь:σ(1.28)σi = 3T ; T = i31.13.

Диаграммы напряжений МораНаглядное представление об области возможных значений нормальныхи касательных напряжений на различных площадках, проходящих черезнекоторую точку деформируемого дела, дает диаграмма Мора.Запишем в главных осях напряжений соотношения междунаправляющими косинусами и выражения нормального и полногонапряжений:pn2 = σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 ⎫⎪⎪222σ n = σ 1n1 + σ 2 n2 + σ 3n3(1.29)⎬⎪n12 + n22 + n32 = 1⎪⎭Эта система представляет собой систему линейных алгебраическихуравнений относительно квадратов направляющих косинусов.

Решить ее,например, можно следующим образом:Умножим почленно второе уравнение (1.29) на (σ 2 + σ 3 ) , а третье наσ 2σ 3 . Затем произведем почленное вычитание первого и второго уравнений,а к результату почленно прибавим третье уравнение:σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32−+−σ n = σ 1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 × (σ 2 + σ 3 )+× σ 2σ 31 = n12 + n22 + n32В результате этих преобразований получим:σ n2 + τ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 =()()= σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 (σ 2 + σ 3 ) + n12 + n22 + n32 σ 2σ 3 == σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1σ 2 n12 − σ 22 n22 − σ 3σ 2 n32 − σ1σ 3n12 − σ 2σ 3n22 − σ 32 n32 ++σ 2σ 3n12 + σ 2σ 3n22 + σ 2σ 3n32В правой части уравнения члены, содержащие квадраты направляющихкосинусов n22 ,n32 сокращаются.

Вынесем в правой части n12 за скобки, алевую часть преобразуем к другому виду:29()= n12 (σ 12 − σ 1σ 2 − σ 1σ 3 + σ 2σ 3 ) = n12 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )τ n2 + σ n2 − σ nσ 2 − σ nσ 3 + σ 2σ 3 = τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) =Теперь можно выразить значение направляющего косинуса в виде:22 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )Проведя аналогичные преобразования для двух других направляющихкосинусов, получим решение системы уравнений относительно квадратовнаправляющих косинусов:2⎫2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =⎪(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ⎪2⎪2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ⎪(1.30)n2 =(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ⎬⎪22 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ⎪n3 =⎪(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ⎪⎭Поскольку σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 то знаменатели формул удовлетворяютследующим неравенствам:(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ≥ 0 ⎫(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ≤ 0⎪⎬(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎭Так как решения получены для квадратов направляющих косинусов,т.е.

положительны всегда, то числители должны удовлетворятьнеравенствам:τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) ≥ 0⎫⎪⎪τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ≤ 0 ⎬τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎪⎭Несколько преобразуем полученные неравенства, например дляпервого:τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) = τ n2 + σ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 ≥ 022⎛σ +σ3 ⎞ ⎛σ 2 −σ3 ⎞σ 2σ 3 = ⎜ 2−⎟ ⇒⎟ ⎜⎝2⎠⎝2⎠22⎛ σ 2 + σ 3 ⎞⎤⎛σ 2 −σ3 ⎞2 ⎡τ n + ⎢σ n − ⎜⎟⎥ − ⎜⎟ ≥022⎠⎦⎝⎠⎝⎣Окончательно получим следующую систему неравенств:302⎛ σ 2 − σ 3 ⎞ ⎫⎪≥⎜⎟22⎝⎠⎦⎝⎠ ⎪⎣22⎪⎛ σ 1 + σ 3 ⎞⎤⎛ σ1 − σ 3 ⎞ ⎪2 ⎡(1.31)τ n + ⎢σ n − ⎜⎟⎥ ≤ ⎜⎟ ⎬22⎝⎠⎦⎝⎠ ⎪⎣22⎛ σ1 − σ 2 ⎞ ⎪⎛ σ 1 + σ 2 ⎞⎤2 ⎡τ n + ⎢σ n − ⎜⎟ ⎪⎟⎥ ≥ ⎜22 ⎠ ⎪⎝⎝⎠⎦⎣⎭Неравенства ограничивают область значений нормальных икасательных напряжений в наклонной площадке, проходящей череззаданную точку в том случае, если заданы значения главных нормальныхнапряжений. Легко заметить, что если заменить неравенства равенствами, томы получим уравнения окружностей в координатах σ n ,τ n .Напомним уравнение окружности, смещенной относительно началакоординат в точку x0 , y0 :⎡⎛ σ + σ 3 ⎞⎤τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 2⎟⎥2( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2Поэтому первое неравенство представляет собой геометрическое местоточек на плоскости в координатах σ n ,τ n , вне окружности, радиусомr1 = (σ 2 − σ 3 ) / 2 , центр которой имеет координаты:σ +σ3τ n = 0;σn = 22Второе неравенство – геометрическое место точек внутри окружности:σ −σ3σ +σ3;r2 = 1τ n = 0;σn = 122Третье неравенство – геометрическое место точек вне окружности:σ −σ2σ +σ2;r3 = 1τ n = 0;σn = 122Эти окружности называются главными окружностями Мора.

Такимобразом, возможные значения нормальных σ n и касательных τ n напряженийлежат внутри области, ограниченной тремя главными окружностями Мора.Эта область вместе с ограничивающими ее окружностями называетсякруговой диаграммой напряженного состояния Мора в точке тела (Рис.1.10).Точки P1, P2, P3 пересечения главных окружностей диаграммы Мора сосью абсцисс носят названия полюсов.Поскольку знак касательных напряжений по диаграмме Мора получитьнельзя, то обычно ограничиваются верхней ее половиной.Рассмотрим некоторые свойства диаграммы Мора.1 свойствоОкружности 1, 2, 3, ограничивающие круговую диаграмму, являютсягеометрическим местом точек, координаты которых дают величины31нормальных и касательных напряжений на площадках, перпендикулярныхглавным плоскостям.τnσ1 − σ 322Bσ1 − σ 22σ2 −σ33OP3C1σ3C2P212C3P1σnσ2 +σ32σ2σ1 + σ 32σ1 + σ 22σ1Рис.

1.10. Диаграмма напряжений МораИными словами:R1 → n1 = cosα1 = 0 ⇒ α1 = 90R2 → n2 = cosα 2 = 0 ⇒ α 2 = 90R3 → n3 = cosα 3 = 0 ⇒ α 3 = 90Откуда это следует? Вернемся опять к уравнению22 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )Очевидно, что с помощью уже выполнявшихся нами преобразований,оно может быть преобразовано к виду:⎡⎛ σ + σ 3 ⎞⎤τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 2⎟⎥⎣⎝222⎛σ −σ3 ⎞2=⎜ 2⎟ + n1 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )2⎠⎦⎝⎠32Это уравнение –окружностей радиусом:параметрическоеуравнениеконцентрических2⎛σ −σ3 ⎞2r1 = ⎜ 2⎟ + n1 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )2⎝⎠с центром в точкеσ +σ3.τ n = 0;σn = 22Радиус окружности определяется значением n1 . Подставляя n1 = 0 ,получим уравнение для 1-й главной окружностью Мора. Аналогичныевыражения могут быть получены и для других кругов.2 свойствоУгол между прямой, соединяющей точку на главной окружности иполюс, принадлежащий этой окружности, с вертикалью, проведенной изполюса, равен углу наклона площадки к главной оси, индекс которойсоответствует индексу полюса.(C1Q2)τ=(σ1-σ3) sinαcosα /2τnQ2Q3T12ααC1P1P3(σ2+σ3)/2C2(C1Q2)σσn(σ1-σ3)sin2ασ1Рис.