Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 11

Компоненты перемещений и малых деформаций.Рассмотрим перемещение бесконечно малого отрезка dr=MN (Рис. 2.2.Деформация элементарного отрезка). Этот отрезок в начальный моментвремени t = t0 имеет проекции dx, dy, dz на координатные оси. Начальныекоординаты концов отрезка:M = ( X M , YM , Z M ) ;N = ( X N , YN , Z N ) .(2.7)В момент времени t отрезок займет положение M'N' и его проекции накоординатные оси соответственно dx', dy', dz'. Текущие координаты концовотрезка:M ' = ( xM , y M , z M ) ;N ' = ( xN , y N , z N ) .(2.8)Проекции вектором перемещений концов отрезка на ось x всоответствии с формулами (2.2):u xM = xM − X M ; u xN = xN − X N .(2.9)Аналогичные вид имеют формулы и для проекций перемещений на осиy, z . Из рисункаРис. 2.2 видно, что: dx + u x N = dx′ + u x M57zdr'M'drMzMN'YMNyMyZMXMdxdx'uxMxMuxNxРис.

2.2. Деформация элементарного отрезкаПоскольку функцию перемещения можно считать непрерывной, а самоперемещение малым11, то ее можно разложить в ряд Тейлора, ограничившисьтолько линейными членами∂u∂u∂u(2.10)u x N = u x M + x dx + x dy + x dz∂x∂y∂zОткуда:∂u∂u∂udx′ = dx + (u x N − u x M ) = dx + du x = dx + x dx + x dy + x dz∂x∂y∂zПо аналогии:∂u y∂u y∂u ydzdy +dx +dy ′ = dy + du y = dy +∂x∂y∂z∂u∂u∂udz ′ = dz + du z = dz + z dx + z dy + z dz∂x∂y∂zДлина отрезка:dr ′ 2 = dx′ 2 + dy ′ 2 + dz ′ 2Деформация отрезка:11С учетом исключения перемещения тела как жесткого целого.58εr =dr ′ − dr dr ′=− 1;drdr22dr ′⎛ dr ′ ⎞2 ⎛ dr ′ ⎞εr = ⎜ ⎟ − 2+1= ⎜⎟ − 2ε r − 1 ≈ 0⎝ dr ⎠(ε r << 1)⎝ dr ⎠dr2⎛ dr ′ ⎞⇒⎜⎟ = 2ε r + 1⎝ dr ⎠С другой стороны:(dx')2 + (dy')2 + (dz ')2 =⎛ dr ′ ⎞=⎟⎜⎝ dr ⎠(dr )2222⎛ dy + du y ⎞dz + du z ⎞⎛ dx + du x ⎞⎟ + ⎛⎜=⎜⎟ + ⎜⎜⎟⎟dr⎝ dr ⎠⎝ dr⎠⎝⎠Раскроем первую скобку в (2.11):2⎛ dx ∂u dx ∂u x dy ∂u x dz ⎞⎛ dx + du x ⎞⎟⎟++⎜⎟ = ⎜⎜ + xdrdrxdrydrzdr∂∂∂⎝⎠⎝⎠учтем направляющие косинусы:dzdxdynz =n x = cosα x = ; n y = ;drdrdrтогда выражение примет вид2(2.11)22⎛∂u∂u∂u⎞⎛ ∂u∂u∂u⎞⎜⎜ n x + x n x + x n y + x n z ⎟⎟ = n x2 + 2n x ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ +∂x∂y∂z∂y∂z⎝⎠⎝ ∂x⎠2∂u∂u∂u∂u⎛ ∂u⎞⎛ ∂u⎞+ ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ ≅ n x2 + 2⎜⎜ x n x2 + x n x n y + x n x n z ⎟⎟∂y∂z∂y∂z⎝ ∂x⎠⎝ ∂x⎠≈0раскрыв все скобки получим:2∂u⎛ ∂u 2 ∂u⎞⎛ dr ′ ⎞222⎜⎟ = n x + n y + n x + 2⎜⎜ x n x + x n x n y + x n x n z ⎟⎟ +∂y∂z⎝ dr ⎠⎝ ∂x⎠=1∂u y 2 ∂u y⎛ ∂u y⎞n y nx +ny +n y n z ⎟⎟ ++ 2⎜⎜∂y∂z⎝ ∂x⎠⎞⎛ ∂u∂u∂u+ 2⎜⎜ z n z n x + z n z n y + z n z2 ⎟⎟ = 2ε r + 1∂y∂z⎠⎝ ∂xОкончательноε r = ε x n x2 + ε y n 2y + ε z n z2 + γ xy n x n y + γ yz n y n z + γ zx n z n x ,(2.12)где59εx =εy =∂u x∂x∂u y- относительные линейныедеформации вдоль координатныхосей∂y∂uεz = z∂z(2.13)∂u x ∂u yγ xy =+∂y∂x∂u- относительные угловые∂uγ yz = y + zдеформации∂z∂y∂u∂uγ zx = z + x∂x∂zЭти уравнения впервые получил Коши.Рассмотрим физический смысл линейных и угловых деформаций вдолькоординатных осей.Предположим, что отрезок MN параллелен оси Ox и деформируетсявдоль оси Ox.

Тогда dz = dy = 0 .По определению:∂uεx = x .∂xПоскольку отрезок деформируется только вдоль оси Ox, топеремещение вдоль этой оси не зависит от других координат и частнаяпроизводная становится полной.dudx'− dxεx = x =dxdxТаким образом, относительная линейная деформация вдолькоординатной оси представляет собой отношение изменения длиныэлементарного отрезка, расположенного вдоль координатной оси к егопервоначальной длине. На этом свойстве основано экспериментальноеопределение деформаций.Геометрически сдвиговые деформации можно представить какискажение прямого угла в проекции на соответствующую плоскость.Относительные сдвиговые деформации считаются положительными, если имсоответствует уменьшение угла со сторонами, направленными вположительном направлении координатных осей.Предположим, что в начальный момент времени выделены дваэлементарных отрезка MB и MA, составляющие друг с другом прямой угол(Рис.

2.3). Пусть отрезок MB параллелен оси Oy, а отрезок MA параллеленоси Ox. Предположим также, что деформация тела осуществлялась вплоскости xOy таким образом, что отрезки MA и MB повернулись вокруг60точки M на элементарные углы соответственно ϕ xy , ϕ yx и заняли положениеMA' и MB'.dx'yBB'dyϕxyπ/2−γxy= π/2−ϕxy−ϕyxA'MϕyxAxРис. 2.3. К определению сдвиговых деформацийДля отрезка MB справедливо: dx = dz = 0 . Тогда BB' = dx' и с точностьюдо бесконечно малых высших порядков:dx'ϕ xy =dyС другой стороны:∂u∂u∂u∂udx' = dx + du x = x dx + x dy + x dz = x dy∂x 0∂y∂z 0∂y0Окончательно∂uϕ xy = x∂yРассуждая аналогично, получим∂u yϕ yx =∂xОкончательно∂u y∂uπγ xy = − ∠A' MB' = ϕ xy + ϕ yx = x +∂y∂x2Очевидно, что в общем случаеϕ xy ≠ ϕ yx , но γ xy = γ yxСдвиговая деформация может быть представлена как совокупностьчистого сдвига и вращения. Представим, что происходит сдвиговаядеформация (т.е.

без изменения длины сторон) квадрата (Рис. 2.4).Результатом такой деформации в общем случае будет ромб, развернутый61относительно диагонали квадрата на некоторый угол, называемый угломвращения:Можно показать, что:ϕ − ϕ yx 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞⎟= ⎜⎜−ω xy = xy(2.14)∂x ⎟⎠22 ⎝ ∂yВ этом случае процесс деформации состоит из чистого сдвига, когдаискажение происходит вдоль диагонали квадрата и поворота ромба вокругдиагонали.ωxyωxyyyϕxyϕyxy½γxyϕxy=+x½γyxxϕyxxРис. 2.4. Схема деформации сдвигаПри чистом сдвиге сдвиговая деформация:11(2.15)ϕ xy = ϕ yx = γ xy = γ yx22Очевидно, что последующий поворот не меняет формы ромба,следовательно, в качестве меры сдвиговой деформации можно выбратьвеличину:11(2.16)ε xy = ε yx = γ xy = γ yx22В общем случае совокупность линейных и сдвиговых деформацийможно записать в виде единой формулы, используя сокращенную запись12:1ε ij = (ui , j + u j , i ) ,i,j = x,y,z(2.17)2Окончательно выражение для деформации элементарного отрезкаможно выразить следующей сокращенной записью:ε r = ε ji ni n j(2.18)2.4.

Тензор деформаций.Легко заметить, что выражение для деформации отрезка (2.18)аналогично выражению для нормального напряжения в наклонной площадке.Формула (2.18) может быть получена из формулы (1.6) заменой нормального12Напомним, что в сокращенной записи индекс после запятой показываетдифференцирование62напряжения σ n на деформацию отрезка ε r и компонент напряжений σ ij накомпоненты деформации ε ij . Поскольку напряженное состояние σ ij –величина тензорная, то по аналогии записи выражений для напряжений идеформаций следует ожидать, что и деформированное состояние ε ij тожетензорная величина.В теории упругости строго доказывается, что при повороте осейкоординат компоненты деформаций изменяются в соответствии с тензорнымсоотношением:ε i ' j ' = ε ij ⋅ ni ' j ⋅ n j ' i ,где ni ' j , n j ' i - направляющие косинусы новой системы координатотносительно старой.Тензор деформаций принято записывать в следующем виде:11⎧⎫εγγxyxzx⎪22⎧ε xx ε yx ε zx ⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ 11⎪ 1εyγ zy ⎬ = ui, j + u j , iTε = ⎨ε xy ε yy ε zy ⎬ = ⎨ γ xy(2.19)222⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ε xz ε yz ε zz ⎪⎭ ⎪ 11⎪εz ⎪⎪⎩ 2 γ xz 2 γ zy⎭В цилиндрической системе координат при осесимметричномнапряженном состоянии:∂u ρ∂u ρ ∂u zuρ∂u+ερ =; εθ =; ε z = z ; γ ρz =(2.20)ρ∂z∂ρ∂z∂ρТензор деформаций является симметричным тензором второго ранга.Как и для любого симметричного тензора, для него можно найти главные оси– оси в направлении которых возникают главные деформации ε1, ε 2 , ε 3 , асдвиговые деформации γ отсутствуют.

По аналогии с напряженнымсостоянием главные деформации находят как решение кубическогоуравнения, получаемого при развертывании определителя:(εx − ε∆=γ xy2γ xzγ yxγ zx22εy −εγ yzγ zy2)=0εz −ε22произведя преобразования, получимε 3 − I1 (Tε )ε 2 + I 2 (Tε )ε − I 3 (Tε ) = 0 ,(2.21)где63⎫⎪22⎪2γ xy γ yz γ xz⎪−−I 2 (Tε ) = ε xε y + ε y ε z + ε z ε x −;⎬444⎪122 ⎪− ε xγ 2yz − ε z γ xyI 3 (Tε ) = ε xε y ε z + γ xyγ yzγ zx − ε yγ xz.⎪⎭4В главных осях инварианты тензора деформаций имеют вид:I1 (Tε ) = ε1 + ε 2 + ε 3 ;I1 (Tε ) = ε x + ε y + ε z ;((2.22))(2.23)I 2 (Tε ) = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1;I 3 (Tε ) = ε1ε 2ε 3 .Первый инвариант тензора деформаций имеет следующий физическийсмысл: с точностью до бесконечно малых второго порядка он выражаетотносительное изменение объема деформируемого тела.V − V0(2.24)I1 (Tε ) = дV0При упругой деформации объем тела изменяется (при растяжении –увеличивается, при сжатии – уменьшается).

Тщательные экспериментыпоказали, что объем пластически деформируемого тела остается постоянным.Это положение называется законом постоянства объема при пластическойдеформации. Поэтому, первый инвариант тензора деформаций припластической деформации с точностью до бесконечно малых второгопорядка равен нулю. Следует оговориться, что пластическая деформациявсегда сопровождается упругой, особенно для процессов холоднойштамповки.

При горячей штамповке упругими деформациями обычно можнопренебречь.В главных осях тензор деформаций приводится к виду:⎛ ε1 0 0 ⎞⎜⎟Tε = ⎜ 0 ε 2 0 ⎟⎜0 0 ε ⎟3⎠⎝Так же, как и для тензора напряжений, тензор деформаций можнопредставить в виде суммы двух тензоров: шарового и девиатора.Tε = Tε0 + DεШаровой тензор деформаций отражает деформации объема:⎛ ε cp00 ⎞⎜⎟00 ⎟Tε = ⎜ 0 ε cp⎜⎟0 ε cp ⎠⎝ 0гдеε cp =εx + εy + εz3ε + ε 2 + ε3= 13(2.25)(2.26)(2.27)64Девиатор деформации отражает изменение формы:γ yx⎛γ zx ⎞⎜ ε x − ε ср⎟22⎜⎟ ⎛ e xx e yx e zx ⎞⎟γγ⎜xyzy ⎟ ⎜Dε = ⎜=eeeε y − ε ср⎜xyyyzy ⎟⎟22⎜⎟⎜⎟ eeeγxzyzzz⎝⎠yz⎜ γ xzε z − ε ср ⎟⎟⎜22⎝⎠eij = ε ij − δ ij ε cp(2.28)Первый инвариант девиатора деформаций равен нулю, второйинвариант:122− e 2yz − e zx= − eij eij =I 2 ( Dε ) = e xx e yy + e yy e zz + e zz e yy − e xy21⎡3 22 ⎤= − ⎢ ε x − ε y 2 + ε y − ε z 2 + (ε z − ε x )2 + γ xy+ γ 2yz + γ zx(2.29)⎥⎦ =6⎣21= − [(ε1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε1 ) 2 ]6При пластической деформации шаровой тензор деформаций равеннулю ε cp = 0 , следовательно Dε = Tε() (()())2.5.

Интенсивность деформаций, максимальные сдвиговые иоктаэдрические деформацииВ теории обработки металлов давлением второй инвариант девиаторадеформаций имеет очень большое значение. Через второй инвариант можно сточностью до постоянных выразить две важнейшие скалярные величины:интенсивность деформаций сдвига Г и интенсивность деформаций ε i :Γ = 2 I 2 (Dε ) ==23=23=23(ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 32 (γ xy2 + γ 2yz + γ zx2 ) =(ε xx − ε yy )2 + (ε yy − ε zz )2 + (ε zz − ε xx )2 + 6(ε xy2 + ε 2yz + ε zx2 ) =(ε1 − ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 − ε1 )2(= 2 eij eijПри(2.30)=)12чистомсдвигеε x = ε y = ε z = γ yz = γ zx = 0;γ xy = γследовательно, при чистом сдвиге Γ = γ .65При развитых пластическихдеформациями можно пренебречь132Γεi =I 2 (Dε ) =33=деформациях,когда(ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 32 (γ xy2 + γ 2yz + γ zx2 ) =23() ()(упругими)222+ ε 2yz + ε zx=ε xx − ε yy 2 + ε yy − ε zz 2 + (ε zz − ε xx )2 + 6 ε xy(2.31)32(ε1 − ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 − ε1 )2 ==312=eij eij 23При одноосном растяжении (также при развитых пластическихдеформациях) ε 2 = ε 3 = −0.5ε1; ε1 = ε , следовательно, при одноосномрастяжении ε i = ε .=()3I 2 (Dε ) , и при1+ µодноосном растяжении ε 2 = ε 3 = − µε1; ε1 = ε .

Здесь µ - коэффициентПуассона14.В площадках параллельных одной главной координатной плоскости исоставляющих одинаковые углы 45° с каждой из двух других, возникаютмаксимальные (главные) сдвиговые деформации γ 12 , γ 23 , γ 31 определяемыечерез главные линейные деформации15:γ 12 = ε1 − ε 2 ;γ 23 = ε 2 − ε 3 ;γ 31 = ε 3 − ε1 .(2.32)Линейные деформации в площадках главных сдвиговых деформаций:ε +εε +εε +εε12 = 1 2 ;ε 23 = 2 3 ;ε 31 = 3 1(2.33)222В площадках, равнонаклоненных к осям координат (октаэдрическихплощадках) возникают октаэдрические деформации16:Для упругих деформаций справедливо ε i =Сравните σ i = Τ 3; ε i = Γ / 3Поэтому говорят, что при пластических деформациях µ = 0.51115Сравните τ12 = (σ1 − σ 2 ); σ12 = (σ1 + σ 2 )221116(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2Сравните σ O = I1(Tσ ); τ O =33131466ε +ε +ε1ε O = ε cp = 1 2 3 = I1 (Tε )33(2.34)2222(ε1 − ε 2 ) + (ε 2 − ε 3 ) + (ε 3 − ε1 )γO =3по аналогии с показателем Лоде-Надаи для напряжений вводятпараметр Лоде-Надаи для деформаций:ε −ε2ε − ε − ε(ε − ε ) − (ε1 − ε 2 )µε = 2 2 3 − 1 = 2 1 3 = 2 3(2.35)ε1 − ε 3ε1 − ε 3ε1 − ε 3Аналогично напряженному состоянию, для деформированногосостояния можно также построить диаграмму Мора.