Теория обработки металлов давлением (Власов А.В. - Теория обработки металлов давлением), страница 12

Следует помнить, чтодиаграмму Мора для напряжений строят в координатах σ ,τ , а диаграммуγМора для деформаций в координатах ε , .22.6. Истинные деформации. Приращения деформацийОтносительная деформация Коши является очень удобной дляиспользования, поскольку имеет достаточно простое определение и являетсятензорной величиной. Однако при выводе соотношений для деформацииКоши элементарного отрезка мы использовали допущения о малойдеформации. Малыми являются упругие деформации, поэтому деформацииКоши применяются в теории упругости. В обработке давлением приходитсяиметь дело с большими (или как их еще называют конечными)деформациями.

Для таких величин деформации, определенные по формуламдеформаций Коши уже не являются тензорными величинами.При выводе выражения для малой деформации элементарного отрезкамы пренебрегли квадратами производных по сравнению с самимипроизводными:ui2, j << ui , jДля конечных деформаций произведением производных пренебречьуже нельзя, поэтому компоненты тензора конечных деформаций имеютболее сложный вид:1ε ij = (ui , j + u j ,i + u k ,i u k , j ) , i, j , k = x, y, z(2.36)2Ввиду сложности эти формулы в теории обработки давлением неиспользуются.

Если в этих формулах пренебречь произведениемпроизводных, то мы придем к формулам Коши.На первый взгляд, возможно использовать подход при которомконечную деформацию можно рассматривать как сумму несколькихпоследовательных деформаций, каждая из которых является малой. Однакотакой подход не реализуем, поскольку деформации Коши не обладаютсвойством аддитивности. Действительно, рассмотрим конечную деформациюстержня начальной длиной L0 до величины L2 .

Тогда относительнаядеформация:67L − L0ε 02 = 2L0Представим процесс растяжения стержня как сумму двух шагов –сначала от L0 до L1 , а затем от L1 до L2 . Определим деформации на каждомиз этих шагов:L −LL −Lε 01 = 1 0 , ε12 = 2 1 .L0L1Очевидно, что ε 02 ≠ ε 01 + ε12Введем понятие бесконечно малой деформации или приращениядеформаций:dl(2.37)dε = ,lгде l – текущая длина элементарного отрезка, dl – бесконечно малое ееизменение.Проинтегрировав приращение деформаций вдоль траектории движенияматериальной частицы, получим т.н. истинную деформацию.δ = ∫ dεl(2.38)В случае деформации стержня (траектория движения частицы –прямая) приходим к логарифмической деформацииLL dlLδ = ∫ dε = ∫= ln(2.39)L0L0 lL0Поэтому для однородной деформации истинная деформация равналогарифмической17.Истинные деформации, в отличие от малых, обладают свойствамиаддитивности.

Используем пример с растяжением стержня за два шага.Общая истинная деформация стержня:Lδ 02 = ln 2L0Истинная деформации на промежуточных шагах:LLδ 01 = ln 1 , δ12 = ln 2 .L0L1Тогда:LLLLLδ 01 + δ12 = ln 1 + ln 2 = ln 1 2 = ln 2 = δ 02L0L1L0 L1L0Логарифмическая деформация может быть выражена черезотносительную деформацию:17Не следует смешивать понятия истиной и логарифмической деформации. Вобщем случае деформированного состояния они не равны друг другу.68δ = ln⎛ L + ∆L ⎞L⎟⎟ = ln(1 + ε )= ln⎜⎜ 0L0L0⎠⎝Здесь ∆L - удлинение или абсолютная деформация, ε =∆LL0-относительная деформация.Рассмотрим вопрос о том, в каких пределах логарифмическиедеформации можно заменить малыми.

Разложим натуральный логарифм вряд:δ = ln(1 + ε ) = ε −ε2ε3n −1 εn++ … + (−1)(2.40)n23Этот ряд при ε < 1 - сходящийся. При ε < 0.1 разница между δ и ε непревосходит 5% ( 0.95 <δ< 1, т.е ε > δ ). При ε < 0.05 разница неεпревосходит 2%. Поэтому деформации менее 5% считаются малыми, для нихистинные деформации равны относительным.Рассмотрим, как связаны приращения деформаций dε с приращениямиперемещений du . Пусть стержень постоянного поперечного сечения длинойl , защемленный с одной стороны, получил абсолютную деформацию dl .Если деформация однородна, то перемещения произвольной материальнойточки вдоль оси стержня пропорциональны расстоянию от защемленногокрая:xdu = dllРассмотрим частную производную:∂(du ) = ∂ ⎛⎜ dl x ⎞⎟ = dl = dε(2.41)∂x∂x ⎝ l ⎠ lТаким образом, приращение деформации есть частная производная покоординате от приращения перемещения.Введем по аналогии с компонентами малой деформации Коши ε ijпонятие компонентов приращения деформаций dε ij в виде:1dε ij = dui, j + du j ,i2⎡∂⎤∂∂dε x = (du x );dγ xy = ⎢ (du x ) +du y ⎥ = 2 ⋅ dε xy∂x∂x⎣ ∂y⎦Тогда тензор приращения деформаций может бытьследующим образом:()( )(2.42)записан6911⎛⎞dγ yxdγ zx ⎟⎜ dε x⎛ dε xx dε yx dε zx ⎞ ⎜22⎟⎟⎜11⎜(2.43)dε ydγ zy ⎟Tdε = ⎜ dε xy dε yy dε zy ⎟ = dγ xy⎜⎟22⎟⎜⎟1⎝ dε xz dε yz dε zz ⎠ ⎜ 1 dγdγ yzdε z ⎟⎜xz2⎝2⎠Приращения деформаций, также как и относительные деформацииявляются тензорными величинами и для них справедливы формулы,аналогичные формулам для относительных деформаций18.2.7.

Закон постоянства объема при пластической деформацииВернемся еще раз к условию постоянства объема. Мы говорили, чтопервый инвариант тензора малых деформаций с точностью до бесконечномалых величин равен относительному изменению объема тела в процесседеформации.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.Пусть параллелепипед объемом V = xyz подвергается однороднымдеформациям19 в направлении ребер. При этом направления главных осейдеформаций совпадают с ребрами параллелепипеда. Объем тела последеформации V1 = x1 y1 z1 = ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) . Относительное изменениеобъема:∆V ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) − xyz== (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1Vxyz∆V= 0 , тогдаДля пластической деформацииV(1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) = 1Прологарифмировав, получимln(1 + ε x ) + ln(1 + ε y ) + ln(1 + ε z ) = 0δx + δ y + δz = 0(2.44)18В отличии от малых деформаций и приращений деформацийлогарифмические (истинные) деформации не являются тензорнымивеличинами.19Возможно еще одно – более строгое математическое определениеоднородной деформации:Деформация, характеризующаяся тем, что перемещения являютсялинейнымифункциямикоординати,следовательно,величиныотносительных деформаций постоянны, называется однородной.Однородная деформация характеризуется тем, что два геометрическиподобных и подобно расположенных элемента тела и после деформацииостаются геометрически подобными.

Таким образом, плоскость всегдапреобразуется в плоскость, цилиндр в цилиндр. Параллельные плоскости илинии всегда остаются параллельными и после деформации.70Для малых деформаций δ ≅ εεx + ε y + εz = 0(2.45)То же можно получить из:∆V= 0 = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1 =V= 1 + ε x + ε y + ε z + ε xε y + ε y ε z + ε xε z + ε y ε xε z − 1 =для малых деформаций <<ε≈εx + ε y + εz = 0Таким образом, для конечных деформаций, выраженных черезотносительные деформации, условие (закон) постоянства объемавыполняется не строго. Точно условие постоянства объема выполняется длялогарифмических, или истинных деформаций, но они не являютсятензорными величинами.Из закона постоянства объема есть важное следствие.

Одна из степенейдеформации имеет знак, противоположный знаку двух других, а поабсолютной величине равна их сумме, т.е. максимальна по абсолютнойвеличине.2.8. Условие совместности деформаций.Компоненты деформаций определяются тремя компонентамиперемещений. Компонент деформации 6, а компонент перемещений – 3.Следовательно, компоненты деформаций не являются независимыми. Междуэтими компонентами должны существовать зависимости, определяющие ихвзаимосвязь между собой.

Эти зависимости называют условиямисовместности деформаций.Ограничимся выводом уравнений совместности для плоской задачи.При плоском напряженном и плоском деформированном состоянии вседеформации не зависят от одной координаты, вдоль которой либонапряжение, либо деформация равны нулю. Будем считать дляопределенности, что это координата z. Тогда деформации для плоской задачибудут иметь вид:∂u y∂u y∂u∂uεx = x ; εy =; γ xy = x +∂x∂y∂y∂xТаким образом, деформаций три, а компонент перемещений – два,следовательно, деформации зависимы.Продифференцируем первое из равенств дважды по y, а второе –дважды по x, после чего почленно сложим результаты, тогда:22∂ 3u y∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u x∂ 2 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ ∂ γ xy⎟=⎜(2.46)+=+=+⎜∂x ⎟⎠ ∂x∂y∂y 2∂x 2∂x∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y∂x ⎝ ∂yДля осесимметричного напряженного состояния точки имеют дванезависимых перемещения радиальное и осевое: u ρ , u z .

Деформированное71состояние определяется четырьмя деформациями: ε ρ =∂u ρ∂ρ,εθ =uρρ,∂u ρ ∂u z 20∂u z+, γ ρz =. Таким образом, должно существовать два∂z∂z∂ρуравнения совместности деформаций. Одно из них аналогично приведенномувыше:∂ 2ε ρ ∂ 2ε z ∂ 2γ ρz+=(2.47)22∂ρ∂z∂z∂ρДругое уравнение совместности деформаций может быть полученоследующим образом:∂εθ1 ε ρ − εθ∂ ⎛ u ρ ⎞ ∂u ρ 1⎜⎟=u(2.48)−==ρρ∂ρ ∂ρ ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ∂ρ ρρ2εz =2.9. Скорости деформации и скорости деформированияПусть частица среды движется со скоростью v , компоненты которойравны:v x = v x ( x, y, z , t ), v y = v y ( x, y, z , t ), v z = v z ( x, y, z , t ),(2.49)Тензором скоростей деформаций называется тензорη xy η xz ⎞⎛⎜ ξx⎟22 ⎟ ⎛ ξ xx ξ xy ξ xz ⎞⎜⎟ 1η yz ⎟ ⎜⎜ η xyTξ = ⎜ξy⎟ = ⎜ ξ xy ξ yy ξ yz ⎟ = vi, j + v j ,i22⎜⎟ 2⎜⎟ξξξη yzyzzz ⎠⎜ η xz⎟ ⎝ xzξz⎜ 2⎟2⎝⎠где∂v y∂v∂vξx = x ;ξy =ξz = z ;;∂x∂y∂z∂v y∂v y ∂v z∂v∂v∂vη xy = x +; η yz =; η zx = z + x ;+∂z∂y∂x∂z∂y∂x()(2.50)(2.51)20При осесимметричном напряженно-деформированном состоянииокружность переходит в окружность.