Метод баланса работ (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций ТОМД - Метод баланса работ), страница 2

Тогдаокончательно выражение для мощности пластической деформации приметвид:112bσ s v0π b 2 × ln × 3 sin 2 γa3bD2R2, πR = FП , 2 ln = ln 2 окончательно получимУчитывая b =asin γdWσ =Wσ = σ s FП v0 lnD2d2Мощность сил трения по поверхности матрицыbWτ =b2πρ sin γ d ρ =∫ τ k ∆vτ k df = µ sσ s ∫ v0 ρ 2 cos γ × 214243fτa 14243∆v= µ sσ s v0 2π b 2 cos γ sin γ lndFπ R2bb2= µ sσ s v0 2 cos γ sin γ ln 2 =aasin γµsD2σ s v0 FП ln 2=tan γdМощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = b ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации.Для верхней границы разрыва:Wkb = k ∫fs=γγ2π b 2v0 sin ϕ × 2π b sin ϕ ⋅ bd ϕ =σ s v0 ∫ sin 2ϕd ϕ =∆vτ s df =∫14424431233030σs∆vdf2π b 211 π R2⎛1⎞σ s v0 ⎜ γ − sin 2γ ⎟ =σ s v0 ( 2γ − sin 2γ ) =43⎝2⎠ 2 3 sin 2 γ⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎟⎟22 3⎝ sin γ ⎠С ошибкой не превосходящей 2% в интервале углов используемых напрактике выражение в скобках может быть заменено более простым (см.рис.5):⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎜⎜⎟⎟ = 1.362γ2sinγ⎝⎠ТогдаWkb ≈ 0.393σ s v0 FП γВыражение для мощности трения сдвига ( ρ = a ) по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с выражением для верхнейповерхности.

Таким образом, суммарная мощность сил трения сдвига сучетом упрощений принимает вид:Wk = 0.786σ s v0 FП γ12=1σ s v0 FП ⎜⎜Мощность внешних сил, действующих на пуансон, запишем вследующем виде:W p = qFП v00.80.62γsin( 2 γ )2sin γ1.362 γ0.41.289 tan( γ )0.20γ020°40°60°Рис. 5Используя уравнение баланса мощностей окончательно получимвыражение для удельной силы на пуансоне:⎡⎛⎤µ ⎞ D2q = σ s ⎢⎜⎜1 + s ⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥tan γ ⎠ d⎣⎝⎦Кроме того, на металл действуют следующие удельные силы трения остенки контейнера и калибрующего пояска в жестких зонах. Предполагаядавление на стенки равным напряжению текучести, получим значенияудельных сил трения (для их определения воспользуемся законом тренияПрандтля):• между стенками контейнера и верхней жесткой зоной τ k = µ s1σ s• между калибрующим пояском и нижней жесткой зоной τ k = µ s 3σ sТогда мощность трения в контейнере и в калибрующем пояске,Wτ 1 = µ s1σ s v0π DL ;Wτ 3 = µ s3σ s v0π dlОкончательно с учетом этих слагаемых:⎡⎛µ s2 ⎞ D 2Ll ⎞⎤⎛⎟⎟ ln 2 + 0.786γ + 4⎜ µ s1 + µ s 3 ⎟⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +Dd ⎠⎦tan γ ⎠ d⎝⎣⎝Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:13D2σ s ln 2 - работа деформации в очаге деформацииdL4σ s µ s1 - трение в контейнереDµs2 D2- трение по поверхности конической матрицыlnσstan γ d 2l4σ s µ s 3 - трение в калибрующем пояскеd0.786σ s γ - трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что, с увеличением угла наклонаобразующей матрицы, силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.

Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформированияявляется минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.Для нахождения оптимального значения угла необходимо приравнятьнулю производную от удельной силы по углу.ТогдаDsin γ = 2.54 µ s 2 lndПри волочении контейнер может отсутствовать. Для определенияудельной силы при волочении очаг деформации принимается таким же, как ипри прессовании. Силами трения в калибрующем пояске матрице можнопренебречь, тогда удельная сила деформирования определится по формуле:⎡⎛⎤µ ⎞ D2q = σ s ⎢⎜⎜1 + s 2 ⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥tan γ ⎠ d⎣⎝⎦На рис.6 представлено изменение отношения удельной силыдеформирования к напряжению текучести при различных углах конусностиматрицы для D / d = 1.1 , µ s = 0.1 по результатам полученной формулы.Согласно расчету оптимальный угол конусности для этих данных равенприблизительно 10 градусам.14q/σs0.80.60.40.2γ010°20°30°Рис.6151.4.

Определение осевых напряжений в стенке стаканчика привытяжке с утонением.Рис. 7. Расчетная схема процесса вытяжки с утонением стенки.Считаем, что металл в очаге пластической деформации находится вплоском деформированном состоянии. Иными словами – пренебрегаемокружными деформациями. Проанализируем адекватность этого допущения.Пусть:s −s∆sεs = 0 1 =- деформация стенки стаканаs0s0H − H 0 s 0 (D0 + d )∆sεh = 1=−1 ≈- деформация в направлении высотыH0s1 (D1 + d )s1стаканаиз условия постоянства объема:π D02 − d 2 H 0 = π D12 − d 2 H 1(16)()D − D1∆s=εd = 0- деформация в окружном направленииD00.5 D0Поскольку s 0 , s1 << 0.5 D0 , то ε d << ε h , ε s .

Таким образом окружнымидеформациями можно пренебречь и считать напряженное состояние –плоским деформированным.Осевые напряжения в стенке стакана определим из выражения длямощности активных внешних сил. Мощность внешних сил, действующих напуансон, запишем в следующем виде:W p = qFП v1 = σ z v1 × s1πd1Примем цилиндрическую систему координат, с началом координат вточке пересечения образующей конуса с пуансоном. Очаг деформациисчитаемограниченнымдвумядугамиокружностейрадиусами,соответственно R, r .ssR = 0 ,r = 1sin γsin γЗадачу будем решать методом баланса работ, для чего рассмотримследующее кинематически возможное поле скоростей:• в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси движения пуансона.

Очевидно, чтоскорость металла в нижней жесткой зоне равна скорости пуансона;• в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении вершины конической матрицы с некоторойпеременной скоростью vρ .Из условия постоянства объема скорость металла выше очагадеформации:sv0 = v1 1s0Определим скорость vρ в очаге деформации:ε& ρ + ε&θ + ε& z = 0vρ∂v ρ, ε&θ == −ε& ρ , ε& z = 0ε& ρ =∂ρρ∂v ρ v ρ+=0∂ρρ1 ∂(v ρ ρ ) = 0ρ ∂ρv ρ ρ = f (θ )Неизвестную функцию f (θ ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (см.

рис.). Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точек17при переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага.

В нашемслучае на границе очага ρ = r справедливо:v ρ = −v1 cosθ ;vτ = −v1 sin θЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:− rv0 cosθ = f (θ )Откудаrv ρ = −v0 cosθρЗапишем уравнение баланса мощностей:W` p = Wσ + Wk + WτЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ij ε&ij dV = σ s ∫ ε&i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε&ρ − ε&θ )2 + (ε&θ − ε&z )2 + (ε&z − ε&ρ )2 + 3 γ& ρθ2ε&i =32с учетом∂v ρrε& ρ == v1 2 cosθ∂ρρvρrε&θ == −v1 2 cosθρε& z = 0ρ1 ∂v ρr= v1 2 sin θρ ∂θρполучимγ& ρθ =1822⎞⎞2 ⎛ r3⎛ r6 ⎜⎜ v1 2 cosθ ⎟⎟ + ⎜⎜ v1 2 sin θ ⎟⎟ =ε&i =32⎝ ρ⎝ ρ⎠⎠rr231v1 2 6cos 2 θ + sin 2 θ =v1 2 4cos 2 θ + sin 2 θ323 ρρoПри γ < 20 сдвиговыми деформациями можно пренебречь, тогда:22 rε&i =ε&θ =v1 cosθ33 ρ2Мощность пластической деформации:=γR2rρ d4ρ24×1 =v1 2 cosθ × 1dθ 33ρ0 r 14dV42443Wσ = σ s ∫ ε&i dV = σ s ∫ ∫Vε&is2R2σ s v1r sin γ ln =σ s v1s1 ln 0rs133Мощность сил трения на поверхности инструмента складывается из силтрения по поверхности матрицы и по поверхности пуансона.

СледуяЕ.А.Попову, попытаемся учесть силы трения исходя из закона АмонтонаКулона.τ k = µσ n = µσ θВ первом приближении будем считать, что тангенциальные напряженияв очаге деформации не зависят от трения на контактных поверхностях. Тогдав очаге деформации уравнение равновесия будет иметь вид:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρУсловие пластичности:σ ρ −σθ = σ sИнтегрируя уравнение равновесия совместно с условием пластичностипри граничных условиях:σρ=0=ρ =Rполучим:σ ρ = σ s lnRρ,⎛R⎞σ θ = −σ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝тогда удельные силы трения на поверхностях пуансона и матрицы:⎛R⎞τ k = µσ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝Определим направление сил трения.Трение по матрицеrrvинстр = 0 , v матер = v1 cos γ , ∆vτ = v1 cos γρρ19Таким образом, трение по матрице препятствует движению материала иявляется пассивным.Трение по пуансону:⎛r⎞rrvинстр = v1 , v матер = v1 , ∆vτ = v1 − v1 = v1 ⎜⎜ − 1⎟⎟ < 0ρρ⎝ρ⎠Таким образом, трение по пуансону помогает течению материала иявляется активным.Мощность сил трения по матрицеR⎛rR⎞Wτ м = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1 cos γ × µσ s ⎜1 − ln ⎟ × d{ρ ×1 =ρρ⎝⎠4243 144244Fr1dF3∆vτR⎛R ⎞ dρR⎛ 1 R⎞= µσ s v1r cos γ ∫ ⎜1 − ln ⎟= µσ s v1r cos γ ln ⎜1 − ln ⎟ =r⎝ 2 r⎠ρ⎠ ρr⎝s ⎛ 1 s ⎞s1R⎛ 1 R⎞sln ⎜1 − ln ⎟ = µσ s v1 1 ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟tan γ r ⎝ 2 r ⎠tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠RR⎛R ⎞ dρdρ∫ ⎜⎜⎝1 − ln ρ ⎟⎟⎠ ρ = ∫ (1 − ln R + ln ρ ) ρ =rr1= (1 − ln R )(ln R − ln r ) + ln 2 R − ln 2 r =2R 1RR= (1 − ln R )ln + ln Rr ln = ln 1 − ln R + ln Rr =r 2rr1 RR⎛r⎞R⎟ = ln ⎛⎜1 − ln ⎞⎟= ln ⎜⎜1 + ln⎟r⎝R⎠r⎝ 2 r⎠Мощность сил трения по пуансону= µσ s v1()(R⎛r⎞⎛R⎞Wτ п = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1 ⎜ − 1⎟ × µσ s ⎜ 1 − ln ⎟ × d{ρ ×1 =ρρ⎝ 24⎝ 244Fr 14dF3⎠ 1443⎠∆vτR⎡ R⎛⎛R ⎞ dρR⎞ ⎤= µσ s v1 ⎢ r ∫ ⎜1 − ln ⎟− 1 − ln ⎟ d ρ ⎥ =ρ ⎠ ρ ∫r ⎜⎝ρ⎠ ⎥⎢⎣ r ⎝⎦R⎛ 1 R⎞R= µσ s v1r ln ⎜1 − ln ⎟ − r ln =r⎝2 r⎠rs 1 2 s0= − µσ s v1 1lnsin γ 2s120)R⎛R⎞∫ ⎜⎜⎝1 − ln ρ ⎟⎟⎠dρ = [(1 − ln R )ρ + ρ ln ρ − ρ ]rR=rRrМощность сил трения по пуансону имеет отрицательный знак, что ещераз подтверждает активный характер сил трения по пуансону.Мощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = R ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации ( ρ = r ).Для верхней границы разрыва:= (1 − ln R )(R − r ) + R ln R − R − r ln r + r = r lnWkRσsγγσsrvRdv1r ∫ sinθ dθ =θθ= k ∫ ∆vτ dF =sin××1=1123R243 ∫ 1433dF=F0σsγ3v1r ( − cosθ ) =00∆vσs3v1r (1 − cos γ ) =sγ2σ s v1 1 sin 2 =sin γ23γ1σ s v1s1 tan23Выражение для мощности трения сдвига по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с только что полученным дляверхней поверхности.

Таким образом, суммарная мощность сил трениясдвига принимает вид:2γWk =σ s v1s1 tan23Используя уравнение баланса мощностей, окончательно получимвыражение осевых напряжений в нижней части стакана:⎡ 2ss ⎛ 1 s ⎞ 1 µs ⎤2γµtan +ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟ −ln 2 0 ⎥σ z = σ s ⎢ ln 0 +s1 ⎦2 tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠ 2 sin γ3⎣ 3 s1Ранее мы использовали свойство малых углов γ < 20 o , тогдаокончательно:⎡ ss ⎞⎤2γ3 µ s0 ⎛σz =σ s ⎢ln 0 + +ln ⎜1 − ln 0 ⎟ ⎥s1 ⎠ ⎦3 ⎣ s1 2 2 γ s1 ⎝=Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:sln 0 - работа деформации в очаге деформацииs121s ⎞3 µ s0 ⎛ln ⎜1 − ln 0 ⎟ - трение по поверхности конической матрицы и2 γ s1 ⎝s1 ⎠пуансонаγ2- трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что с увеличением угла наклонаобразующей матрицы силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.

Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформированияявляется минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.221.5. Осадка прямоугольной заготовки в щелевом контейнере.Расчетная схема приведена на Рис.