Метод баланса работ (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций ТОМД - Метод баланса работ)

Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаКафедра «Технологии обработки давлением»Власов А.В.Метод баланса работУчебное пособие по курсу«Теория обработки металлов давлением»Москва 2013 г.ОГЛАВЛЕНИЕ1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ....................................................................................................3РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОСАДКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА БАЛАНСА РАБОТ. ........5ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ СИЛЫ ПРЯМОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ МЕТОДОМ БАЛАНСА РАБОТ. .......................7ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСЕВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕНКЕ СТАКАНЧИКА ПРИ ВЫТЯЖКЕ С УТОНЕНИЕМ. .............16ОСАДКА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЗАГОТОВКИ В ЩЕЛЕВОМ КОНТЕЙНЕРЕ. ........................................................23ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ..........................................................................................26ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ...............................................................................................................27ЛИТЕРАТУРА .........................................................................................................................................................2821.1.

Основные теоретические сведенияУравнение баланса мощностей:W p = Wσ + Wτ + Wk(1.1)Здесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Для сосредоточенной внешней силы P , приложенной к инструменту,движущемуся с постоянной скоростью v0 :W p = Pv0 = qFП v0 ,(1.2)где q - удельная сила, FП - площадь пуансона.Для жестко-пластического тела:Wσ = σ s 0 ∫ ε&i dV ,(1.3)Vгде σ s 0 - предел текучести, ε&i - интенсивность скоростей деформацииДля сил трения по закону Прандля-Зибеля:Wτ = ∫ τ k ∆vτ df = µ sσ s ∫ ∆vτ df(1.4)fτfτЗдесь τ k - удельные контактные силы трения, ∆vτ - скоростьотносительного скольжения на контактных поверхностях, fτ - площадьконтакта с инструментом.Полагая τ l = k =σs3мощность сдвига на поверхностях разрываскоростей:Wk = ∫ τ l ∆vτ l df = k ∫ ∆vτ l dffl(1.5)flЗдесь ∆vτ l - разрыв скоростей.Окончательно:⎞1⎛P = ⎜ σ s ∫ ε&i dV + µ sσ s ∫ ∆vτ df + k ∫ ∆vτ l df ⎟(1.6)v0 ⎜ V⎟fτfl⎝⎠При использовании поля перемещений используют уравнение балансаработ:P ⋅ ∆h = σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ ∆uτ df + k ∫ ∆uτ l df(1.7)VfτflЗдесь ∆h - малое приращение перемещения деформирующегоинструмента, ε i - интенсивность деформаций, ∆uτ - относительноеперемещение материальных частиц деформируемого тела вдоль контактныхповерхностей инструмента, ∆uτ l - разрыв поля перемещений вдольповерхностей разрыва.3Последовательность шагов при использовании метода баланса работследующая:1.

Выделяют очаг пластической деформации.2. Задаются кинематически возможным полем скоростей (перемещений)внутри очага пластических деформаций.3. Вычисляют компоненты тензора скоростей деформаций (тензорадеформаций) и определяют интенсивность деформаций, величиныскоростей (перемещений) на контактных поверхностях и величиныразрывов скоростей (перемещений) на поверхностях разрыва.4. Составляют уравнение баланса мощностей (работ) и определяют значениедеформирующей силы.41.2.

Решение задачи осадки цилиндрического образца спомощью метода баланса работ.В качестве примера рассмотрим уже решавшуюся нами задачуопределения удельной деформирующей силы при осадке цилиндрическогообразца.Допущения при решении задачи: материал – жестко-пластический,контактное трение – постоянно по всей контактной поверхности, придеформации пренебрегаем бочкообразностью.Пусть заготовка под действием внешней силы P сдеформировалась навеличину ∆h . Примем, что перемещения в заготовке распределены линейновдоль оси z .zPτkτk∆h∆huzz=hρdТогда для произвольного сечения справедливо:∆huz = −zhОчевидно, что граничные кинематические условия по перемещениямвыполняются.Напряженное состояние при осадке цилиндрической заготовки –осесимметричное.

Компонентами тензора деформаций являются величиныε ρ , εθ , ε z , γ ρθ , γ θz , γ ρzВеличину осевой деформации можно определить непосредственно:∂u∆hεz = z = −∂zhОстальные деформации определим из условия несжимаемости:∂u ρ u ρ ∂u zε ρ + εθ + ε z = 0; →++=0ρ∂ρ∂zпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:1 ∂(u ρ ρ ) − ∆h = 0ρ ∂ρh5Интегрируя, получим:1 ∆h 2uρ ρ =ρ + f ( z ) , при ρ = 0, u ρ = 0 → f ( z ) = 02 hОкончательно:1 ∆h1 ∆hρ , тогда ε ρ == εθuρ =2 h2 hСдвиговые деформации в площадках θ отсутствуют, посколькунапряженное состояние – осесимметричное, следовательно: γ ρθ = γ θz = 0 .

С∂u ρ∂u z= 0 . Таким образом, деформации ε ρ , εθ , ε z ∂z∂ρглавные. Попутно заметим, что, поскольку все деформации постоянны, тонапряженное состояние – однородное.Интенсивность деформаций определим следующим образом:другой стороны γ ρz =+2222 ⎛ 3 ∆h ⎞ ⎛ 3 ∆h ⎞∆h(1εi =ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε ρ − ε z )2 =⎟ =⎜⎟ +⎜424333 ⎝2 h ⎠ ⎝2 h ⎠h=0Составляющие уравнения баланса работ1:Ap = P ⋅ ∆hdh2dh2∆h2πρdρdz =h00Aσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ∫ ε i 2πρdρdz = σ s ∫ ∫V=σs00d2 2∆h ρ2πh2hz 0 =σsπd 204d2∆hAτ = 2τ k ∫ ∆udf = 2τ k ∫ u ρ 2πρdρ = τ k0fτd3 2∆h ρ2π=τkh30=τkd2∆h2πρ 2 dρ =∫h 0πd 3 ∆h12 hилиP∆h = σ sπd 2πd 3 ∆h∆h + τ k412 hприняв трение по Зибелю τ k = µ sσ s , окончательно получимP =σs1πd 2 ⎛1 d⎞⎜1 + µ s ⎟ - уже известная нам формула Зибеля.4 ⎝ 3 h⎠Коэффициент 2 в формуле для Aτ присутствует т.к.

существует двеповерхности, трение на которых одинаково.61.3. Определение удельной силы прямого выдавливанияметодом баланса работ.v0ПуансонКонтейнерЗаготовкаzDvbρv0Mkϕ∆vbµsσs∆vabϕv1γρθadv1Рис.1Рис.2Считаем, что очаг деформации ограничен двумя сферами, радиусамисоответственно a, b (см. рис.1).

Выше и ниже этих сфер металл находится вабсолютно жестком состоянии. Используем сферическую систему координатρ ,θ , ϕ (рис.2).Напомним, что в сферической системе координат положение точки впространстве определяется радиус- вектором точки ρ и двумя углами θ , ϕ .Угол ϕ отсчитывается от оси z и аналогичен географической широте, а уголθ - от некоторой оси в плоскости, перпендикулярной оси z и аналогиченгеографической долготе.Элементарный объем выделяем двумя меридиональными сечениями(плоскости, проходящие через ось z ), развернутыми друг относительно другана угол dθ , двумя коническими сечениями, образующие которых выходят изначала координат и составляют между собой угол dϕ , и двумя сферическими7сечениями с центрами сфер, расположенными в начале координат иотстоящими друг от друга на расстояние dρ .В нашем случае, исходя из физического смысла задачи, мы имеем делос осесимметричным напряженным состоянием.

При осесимметричномнапряженном состоянии, рассмотренном в сферической системе координат,напряжения и деформации не зависят от координаты θ , а касательныенапряжения и сдвиговые деформации, содержащие в индексе эту координату,равны нулю. (Рис. 3).ερσρdθτρϕϕσθγρϕσϕεϕεθdϕРис.3Для определения деформированного состояния рассмотрим изменениеположения дуги AB радиусом ρ и углом dϕ , расположенной вмеридиональном сечении в общем случае осесимметричного состояния.Пусть за некоторый промежуток времени dt дуга переместится из положенияAB в положение A' B ' .УВид УA'uρB'Aϕ ρdϕAA'BРис. 4Перемещение дуги в направлении координаты ρ обозначим через u ρ .Тогдаερ =8∂u ρ∂ρ,()ρ + uρ d ϕ − ρ d ϕ uρA ' B '− AB==.ABρdϕρДеформацию εθ можно представить как изменение длин окружностей,проходящих через точки A и A' в сечениях, перпендикулярных оси z :2π rA ' − 2π rA ( ρ + u ρ )sin ϕ − ρ sin ϕ u ρ=== εϕεθ =2π rAρ sin ϕρВ нашем случае деформации ε θ , ε ϕ - отрицательные, посколькуразмеры соответствующих дуг при выдавливании уменьшаются.

Исходя иззакона постоянства объема, можно заключить, что деформация ε ρ εϕ =положительная и в два раза больше ε θ , ε ϕ по абсолютной величине:ε ρ + εθ + ε ϕ = 0,εθ = ε ϕ⇒ε ρ = −2εθ = −2ε ϕПоскольку мы имеем дело с осесимметричной деформацией, то в схемедеформированного состояния присутствует только одна сдвиговаядеформация γ ρϕ (рис.3). Таким образом, площадки θ являются площадкамиглавных деформаций.Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для скоростейдеформации, тогда:∂vρvρ1ε&ρ =, ε&θ = ε&ϕ == − ε&ρ∂ρ2ρСхема напряженного состояния в очаге деформации является схемойвсестороннего неравномерного сжатия.Задачу будем решать методом баланса мощностей, для чегорассмотрим следующее кинематически возможное поле скоростей:в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси выдавливания;в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении вершины конической матрицы с некоторойпеременной скоростью v ρ .Из условия постоянства объема следует:D2b2v1 = v0 2 = v0 2daОпределим скорость v ρ в очаге деформации:ε&ρ + ε&θ + ε&ϕ = 0∂v ρvρ=0ρ∂ρ∂vρ ρ 2 = 0∂ρ(+2)vρ ρ 2 = f ( ϕ )9Неизвестную функцию f (ϕ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (рис.1).

Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точекпри переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага. В нашемслучае на границе очага ρ = b справедливо:v ρ = −v0 cos ϕ;vτ = −v0 sin ϕЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:−b 2v0 cos ϕ = f ( ϕ )Откудаb2v ρ = −v0 2 cos ϕρЗапишем уравнение баланса мощностей:W p = Wσ + Wτ + WkЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ijε&ij dV = σ s ∫ ε&i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε&ρ − ε&θ )2 + (ε&θ − ε&ϕ )2 + (ε&ϕ − ε&ρ )2 + 3 γ& ρ2ϕε&i =32с учетом∂v ρb2ε& ρ == 2v0 3 cos ϕ∂ρρvρb2ε&ϕ = ε&θ == −v0 3 cos ϕρρ1 ∂v ρb2= v0 3 sin ϕρ ∂ϕρполучимγ& ρϕ =1022⎞⎞b2b23 ⎛ b22 ⎛⎜⎟&εi =2⎜ 2v0 3 cos ϕ + v0 3 cos ϕ ⎟ + ⎜⎜ v0 3 sin ϕ ⎟⎟ =2⎝ ρ3ρρ⎝⎠⎠b213 22 b22=v0 3 18 cos ϕ + sin ϕ =v0 3 11cos 2 ϕ + 123ρ3 ρМощность пластической деформации:γb1b2v0 3 11cos 2 ϕ + 1 × 2πρ sin ϕ × ρ d ρ d ϕ =1444244433 ρ0 a 1444dV4244443Wσ = σ s ∫ ε&i dV = σ s ∫∫Vε&ibγ2dρ11cos 2 ϕ + 1 × sin ϕd ϕ=σ s v0π b 2 ∫∫ρ 03aВторой интеграл является табличным:12d11cosϕ+1sinϕϕ=−cos γ 11cos 2 γ + 1 −∫20γ()()1111ln 11 cos γ + 11cos 2 γ + 1 + 3 +ln 11 + 2 32222Полученное выражение достаточно сложно.

Нетрудно заметить, что в−интервале углов конусности матрицы γ = 0Kπ3с точностью до 2.5%полученное выражение можно заменить на:γ∫11cos 2 ϕ + 1 sin ϕdϕ ≈ 3 sin 2 γ0Физический смысл такой замены можно прояснить, рассмотреввыражение для интенсивности скоростей деформаций, в которомпренебрежем скоростями деформации сдвига: γ& ρϕ ≈ 0 . Тогда онопреобразуется к виду:b2ε&i = 2v0 cos ϕ = ε&ρρ3В этом случае второй интеграл будет иметь вид:γ∫12 cos ϕ sin ϕdϕ = 3 sin 2 γ0Таким образом, для относительно малых углов конусности матрицысдвиговыми деформациями в очаге пластических деформаций можнопренебречь. Поскольку в реальных условиях центральный угол 2γ непревышает 110…130 градусов, то подобное допущение правомерно.