Измерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 3

Покажите, что операторы проекций момента импульса связаныкоммутационным соотношением(3.7)[ Lˆ x , Lˆ y ] = i !Lˆ z .Решение. Коммутатор операторов L̂x и L̂y имеет видˆ , Lˆ ] = Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ[Lxyx yy z.С учетом явного вида операторов (2.5) имеем ∂∂  ∂∂   ∂∂  ∂∂ − x −z− x  y[ Lˆ x , Lˆ y ] = − ! 2   y − z   z− z  =∂z   ∂x∂z   ∂z∂y   ∂x∂y    ∂z ∂∂2∂2∂2∂2∂22= −!  y− yx 2 − z+ zx− zy++ yz∂y∂x∂y ∂z∂x ∂z∂z ∂x∂z ∂x∂2∂2∂∂2 +z2+ xy 2 − x− xz=∂x ∂y∂z∂y∂z ∂y 2 ∂∂ ˆ= −!2  y−x = i !Lz .∂y  ∂xТочно так же можно получить коммутационные соотношения для других пароператоров проекций момента импульса:[ Lˆ y , Lˆ z ] = i !Lˆ x , [ Lˆ z , Lˆ x ] = i !Lˆ y .Отсюда следует вывод: три проекции момента импульса Lx , Ly , Lz не могут бытьодновременно точно измерены.Задача 8.

Докажите, что оператор квадрата момента импульса L̂2 коммутирует соператорами Lˆ x , Lˆ y и L̂z .Решение. По определению оператора L̂2 ,Lˆ 2 = Lˆ 2x + Lˆ 2y + Lˆ 2z .Следовательно,ˆ2 , Lˆ ] = [Lˆ 2 , Lˆ ] + [ Lˆ 2 , Lˆ ] + [ Lˆ 2 , Lˆ ].[Lxxxyxzx(3.8)Для первого слагаемого в (3.8) находимˆ 2 Lˆ − Lˆ Lˆ 2 = Lˆ 3 − Lˆ 3 = 0.[ Lˆ 2x , Lˆ x ] = Lx xx xxxВторое и третье слагаемые в (3.8) преобразуем,коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:воспользовавшисьˆ , [ Lˆ , Lˆ ] = i !Lˆ .[ Lˆ y , Lˆ x ] = − i !LzzxyС учетом этих соотношений[ Lˆ 2y , Lˆ x ] = Lˆ 2y Lˆ x − Lˆ x Lˆ 2y = Lˆ y Lˆ y Lˆ x − Lˆ y Lˆ x Lˆ y + Lˆ y Lˆ x Lˆ y − Lˆ x Lˆ y Lˆ y == Lˆ y [ Lˆ y , Lˆ x ] + [ Lˆ y , Lˆ x ] Lˆ y = − i !( Lˆ y Lˆ z + Lˆ z Lˆ y ),[ Lˆ 2z , Lˆ x ] = Lˆ 2z Lˆ x − Lˆ x Lˆ 2z = Lˆ z Lˆ z Lˆ x − Lˆ z Lˆ x Lˆ z + Lˆ z Lˆ x Lˆ z − Lˆ x Lˆ z Lˆ z == Lˆ [ Lˆ , Lˆ ] + [ Lˆ , Lˆ ] Lˆ = i !( Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ).zzxzxzzyyzПодставляя полученные выражения в (3.8), получаемˆ2 , Lˆ ] = 0,[Lxт.

е. оператор L̂2 коммутирует с оператором L̂x .Аналогично доказывается коммутативность оператора L̂2 с операторами L̂y и L̂z .Таким образом, мы доказали, что квадрат момента импульса может бытьодновременно точно измерен только с одной из его проекций.Задача 9. Докажите, что оператор квадрата импульсаоператором квадрата момента импульса L̂2 .Решение.

В сферической системе координат1p̂ 2 = − ! 2 ∆ = − ! 2  ∆ r + 2 ∆θ ,ϕrp̂ 2коммутирует с,L̂2 = − ! 2 ∆θ ,ϕ ,поэтому1[ pˆ 2 , Lˆ 2 ] = ! 4  [ ∆r , ∆θ ,ϕ ] + 2 [ ∆θ ,ϕ , ∆θ ,ϕ ]  .r22В этом выражении коммутатор [ ∆θ ,ϕ , ∆θ ,ϕ ] = ∆θ ,ϕ − ∆θ ,ϕ = 0. Равен нулю и коммутатор[ ∆r , ∆θ ,ϕ ] . Действительно, [ ∆r , ∆θ ,ϕ ] = ∆r ∆θ ,ϕ − ∆θ ,ϕ ∆r = 0 , поскольку операторы ∆r и∆θ ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным переменным, и результатих последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка ихследования.

Тем самым мы доказали, что [ ˆp 2 , Lˆ 2 ] = 0 . Равенство нулю этогокоммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат момента импульса могутбыть измерены одновременно точно.СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике.М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994. 40с.2. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике.

М.: Высш. шк., 1988. 527 с.3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Изд-во БИНОМ». 1998. 448 с.4. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961.

512 с.6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Кн. 2;Квантовая механика. М.: Наука, 1972. 367 с..