Измерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 2

Частица движется в пространствемежду непроницаемыми стенками ямы (х = 0 и х = а), отражаясь от них. Поэтомусреднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора p̂x , находим среднеезначение проекции импульсаa+∞ ! ∂Ψ n *ˆp x = ∫ Ψ n ( x ){ p xΨ n ( x )}dx = ∫Ψ n ( x )  dx =ix∂0−∞anπ x! ∂Ψ n2!dx = sin 2= ∫=02i 0 ∂xiaa 0Отметим, что значение <px>=0 для частицы в яме получается и в классическоймеханике. Для классической частицы этот результат очевиден, так как частицадвижется вдоль оси х, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну,то в другую, противоположную, сторону.

Поэтому среднее значение проекцииимпульса частицы на ось х оказывается равным нулю.в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса <p2>.Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, из (2.3) следует, чтоapˆ 2 = ˆp x2 = − ! 2∂2.∂x 2Очевидно, что, хотя среднее значение проекции импульса <px> равно нулю,среднее значение квадрата импульса <p2> у движущейся частицы должно бытьотличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будетполучено в серии измерений? Согласно (1.5),p2+∞= ∫ Ψ ( x ){ pˆ 2Ψ n( x )}dx = −*n−∞2!2nπ x ∂ 2 nπ x sinsindx =2 ∫a 0a ∂x a a2 ! 2 n 2π 22 ! 2 n 2π 2 a2 nπ xsindx.==a a 2 ∫0aa a2 2aТаким образом, в состоянии частицы с квантовым числом nπ 2 !2 22p = 2 n .a2В том, что значение <p > найдено правильно, можно убедиться и другимспособом.

Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является2собственной функцией оператора p̂ . Подействовав на неё оператором квадратаимпульсаp̂ x2Ψ n ( x ) = − ! 2∂2∂x 2 2nπ x  π 2 ! 2 n 2sin=2 aaa22nπ x π 2 ! 2 n 2Ψ n ( x ),sin=aaa2мы получим в результате такого действия ту же волновую функцию, умноженнуюπ 2 !2 n2, которое является собственным значением операторана некоторое числоa2квадрата импульса.Согласно общим положениям квантовой механики, этот результатпоказывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями(3.2), при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенноезначение, равное соответствующему собственному значению оператора p̂ 2 .Поэтому при измерении p̂ 2 всегда будет получаться одно и то же значениеπ 2 !2 n22p =a2.Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульсав серии измерений, то естьp2π 2!2 2= 2 n .aЗадача 3.

Частица в некоторый момент времени находится в состоянии,описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет вид x2Ψ ( x ) = Aexp  − 2 + ikx  , a−∞ < x < +∞ ,(3.3)где А и а - некоторые постоянные; а k - заданный параметр, имеющийразмерность обратной длины.

Определите среднее значение проекции импульса<px> частицы в этом состоянии.Решение. Так как для волновой функции (3.3)p̂ xΨ = − i !∂Ψ2! =  k ! + i 2 x Ψ ( x ),a∂xпо правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем+∞+∞−∞−∞p x = ∫ Ψ * ( x ){ pˆ xΨ ( x )}dx = k ! ∫ Ψ * ( x )Ψ ( x )dx + i+∞2 ! +∞2!xΨ * ( x )Ψ ( x )dx = k !I 1 + i 2 I 2 .2 ∫a −∞aИз условия нормировки волновой функцииI1 =+∞∫Ψ*( x )Ψ ( x )dx = 1.−∞Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функциейкоординаты х, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞ до+∞.

Поэтому этот интеграл равен нулю, т. е.I2 =+∞∫xΨ ( x )Ψ ( x )dx = A*2−∞+∞ 2 x2xexp− 2∫−∞ a dx = 0.Окончательно находим отличное от нуля среднее значение проекции импульсачастицыpx = k ! .Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантовогоосциллятора с частотой ω0 в первом возбужденном состоянии, описываемомволновой функцией m0ω 0 x 2 Ψ ( x ) = Ax exp  −,2! −∞ < x < +∞ .(3.4)Здесь А — некоторая нормировочная постоянная; m0 - масса частицы.Решение. Так как потенциальная энергия осциллятораkx 2 m0ω 0 x 2U( x ) =,=22в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергииосциллятора находим по формуле+∞U = ∫ Ψ ( x ){ UˆΨ ( x )}dx =*−∞=m 0 ⋅ ω 022+∞+∞∫ Ψ ( x )U ( x )Ψ ( x )dx =−∞ m 0ω 0 x 22 4Axexp−∫!−∞ dx .Проинтегрировав один раз по частям, получаем+∞ m ω x2m0ω 02!U =3 ∫ A2 x 2 exp  − 0 02 2m0 ⋅ ω 0 −∞!Так как по условию нормировки волновой функции+∞∫ Ψ ( x ) dx =−∞2+∞ m0ω 0 x 22 2Axexp−∫−∞! dx. dx = 1,для средней потенциальной энергии осциллятора окончательно получаемU =3!ω 0 .4Правилъность полученного результата можно обосновать следующимобразом.

Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора,средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его среднейкинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется известнойформулой1E n = !ω 0  n +  ,2n = 0,1,2, ...Для первого возбужденного состояния (n=1) полная энергия осциллятораE1 =3!ω 0 . Тогда для средней потенциальной энергии такого квантового2осциллятора получаем значенияU =13E 1 = !ω 0 .24Задача 5.

В основном состоянии атома водорода волновая функция электронаимеет вид rΨ ( r ) = A exp  −  , r1 0 ≤ r ≤ ∞,(3.5)где А - нормировочная константа; r1 - значение боровского радиуса. Найдите дляэтого состояния средние значения: а) модуля кулоновской силы, действующей наэлектрон; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; в)кинетической энергии движущегося электрона.Решение. Константу А найдем из условия нормировки волновой функции,которое в сферической системе координат запишется в видеA2∞2r 2 4π r dr = 1.1 ∫ exp  − r0Отсюдаr 4π A  1 223 ∞∫ξ2e − ξ d ξ = 1.0Интегрируя по частям, находим∞∞∞I = ∫ ξ e dξ = 2 ∫ ξ e dξ = 2∫ e −ξ dξ = 202 −ξ−ξ00и вычисляем нормировочную константуA=−1.π r13а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит отрасстояния r электрона до ядра, причемe2F( r ) =.4πε 0 r 2Оператор модуля кулоновской силы F̂K есть оператор умножения на функциюF( r ) .Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле (1.15):∞∞F = ∫Ψ ( r ){ Fˆ KΨ ( r )}4π r 2 dr = ∫Ψ ( r )F ( r )Ψ ( r )4π r 2 dr =*02 ∞e=ε00∞ 2r e  r1  −ξe2∫0 A exp  − r1  dr = πε 0 r13  2  ∫0 e dξ = 2πε 0 r12 .22б) Потенциальная энергия электрона в поле ядраU( r ) = −e2,4πε 0 rа оператор потенциальной энергии есть оператор умножения на функцию U(r).Поэтому∞∞e22ˆU = ∫Ψ ( r ){ UΨ ( r )}4π r dr = ∫Ψ ( r )U( r )Ψ ( r )dr = −I1 .4πε 000*Здесь∞ 2r 14πI 1 = ∫ A exp  −  4π r 2 dr =π r13r r1 02 r1 2 2 ∞−ξ∫ ξ e dξ =01.r1Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основномсостоянии атома водородаU =−e2.4πε 0 r1в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)Ê KΨ = −!2! 2 1 d  2 dΨ∆Ψ = −r2m02m0 r 2 dr  dr r!2  2 1 = −  Aexp  −  , 2m0 r1  r r1  r1 где m0 - масса электрона.Поэтому, вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона поформуле (1.15), получаем∞∞ 2r !2*22 12ˆE K = ∫Ψ ( r ){ EκΨ ( r )}4π r dr =Aexp −  4π r dr −∫m0 r1 0r r1 0∞ 2r !2!2!222Aexp4rdrII .π−=−12 22m0 r12 ∫0rmr2mr 1 0 10 1Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б), причем I1=1/r1.

Второй интегралI2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднеезначение кинетической энергии электрона!2!2!2Eκ =.−=m0 r12 2m0 r12 2m0 r12Для проверки найденных значений <U> и <EK> заметим, что их сумма должнабыть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома водорода:−E1 = −Если учесть, что боровский радиусm0 e 4.32π 2ε 02 ! 2r1 =4πε 0 ! 2,m0 e 2для полученных значений <U> и <EK> действительно имеет место равенствоU + EK = −e2m0 e 4!2=−= E1 .+4πε 0 r1 2m0 r1232π 2ε 02 ! 2Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модулямомента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление для частицы,находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией(3.6)Ψ ( θ ,ϕ ) = A sinθ cos ϕ ,где θ - полярный угол; ϕ - азимутальный угол; А - некоторая нормировочнаяпостоянная.Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера допускаетразделение переменных.

В этом случае оказывается возможным исследоватьзависимость волновой функции от угловых переменных, отвлекаясь от еезависимости от радиальной переменной. Именно такой случай рассматривается вэтой задаче.Условие нормировки для волновой функции Ψ(θ,ϕ) имеет вид2π π∫ ∫Ψ*( θ ,ϕ )Ψ ( θ ,ϕ ) sinθ dθ dϕ = 1.0 0Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получаем2ππ00A2 ∫ cos 2 ϕ dϕ ∫ sin3 θ dθ = 1.Поскольку2π∫ cos2ϕ dϕ = π ,0πa ∫ sin 3 θ dθ =0для константы А получаем A =4,33.4πИспользуя формулу Эйлера, представим cosϕ в комплексной форме:cos ϕ =1 iϕ( e + e − iϕ ).2Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно записать в видеразложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L̂2 :Ψ ( θ ,ϕ ) =+123111sinθ  e iϕ + e − iϕ  =4π2223sinθ e iϕ +8π311sinθ e − iϕ =Y1,+1 ( θ ,ϕ ) +Y1 ,−1 ( θ ,ϕ ).8π22Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные функцииоператора L̂2 , отвечающие значениям l=1, с учетом (2.11) это означает, чторезультатом измерения квадрата момента импульса всегда будет одно и то жезначение L2 = 2 ! 2 .

Для модуля момента в результате измерения получим L = 2 ! .Однако два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m= +1 иm= − 1 . Следовательно, при измерении проекции момента импульса частицы,находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовыватьсядва значенияLz = +!+ и Lz = −!− .Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которыеопределяются квадратами модулей коэффициентов С1 и С2; в разложенииволновой функции в ряд по собственным функциям оператора L̂2 . Так как в1нашем случае С 1 = С 2 =2, эти вероятности одинаковы и равныP( + ! ) =11и P( − ! ) = .22Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно нулю, так какLz = P( + ! )! + P( − ! )( − ! ) =11! − ! = 0.22Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле (1.5).Действительно,L̂zΨ = − i !∂Ψ= i !A sinθ sin ϕ ,∂ϕпоэтомуLz =2π π∫ ∫Ψ*( θ ,ϕ ){ Lˆ zΨ ( θ ,ϕ )} sin θ dθ d ϕ =0 0= i !A22π π∫0i !A 2∫0 sin θ sin ϕ cos ϕ dθ d ϕ = 23π∫ sin03θ dθ2π∫ sin 2ϕ dϕ .0Второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, следовательно, и<Lz>=0.Задача 7.