Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Измерение физических величин в квантовых системах

Измерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями)

PDF-файл Измерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями) Физика (7178): Книга - 4 семестрИзмерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями) - PDF (7178) - СтудИзба2016-04-08СтудИзба

Описание файла

Файл "Измерение физических величин в квантовых системах" внутри архива находится в папке "Все методички". PDF-файл из архива "Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "физика" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Московский государственный технический университет им. Н. Э. БауманаЛ. К. Мартинсон, Е. В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.РАЗДЕЛ«ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ».Москва, 2002Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории,необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики.Изложена методика решения типовых задач.ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИКвантовая механика принципиально отличается от классической механики вподходе к вопросу о результатах измерения физических величин в квантовыхсистемах. Прежде всего, в квантовой механике физическая величина может иметьдискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физическиевеличины изменяются непрерывно.

Кроме того, результаты измеренияфизических величин в квантовой системе имеют вероятностный характер. Этоозначает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физическойвеличины в квантовой системе с определённой вероятностью можетреализовываться одно из нескольких возможных значений этой величины.Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеетопределённого значения. В этом случае, зная волновую функцию, мы должныуметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины,полученной из ряда измерений.Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физическихвеличин в квантовой механике базируется на представлении физических величиноператорами и разработке адекватного математического аппарата.Сформулируем основные постулаты квантовой механики.I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функцияΨ(x,y,z,t), определяющая это состояние.

Волновая функция находится из решенияуравнения Шредингера.II. Каждой наблюдаемой физической величине ƒ в квантовой механике ставится вΦ̂ ,соответствие некоторый линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Φдействие которого на волновую функцию задаётся при его определении.Соотношения между квантово-механическими операторами аналогичнысоотношениям, связывающим в классической механике соответствующиефизические величины.III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физическойвеличины ƒ может быть только собственное значение ƒn соответствующего ейΦ̂ .оператора ΦΦ̂ находятся из решения уравненияСобственные значения оператора Φ(1.1)ˆΦΨn = f nΨ n .Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений ƒn.Вслучае дискретного спектра физической величины этот набор представляетсобой счётное множество (n = 1, 2, …).Система собственных функций оператора любой физической величиныпредстовляет собой полную ортонормированную систему функций.

Поэтомулюбую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по этимсобственным функциям:(1.2)Ψ n = ∑ C nΨ n ,nпричём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:Cn =*Ψn∫ Ψ dV .(1.3)RNЗдесь интегрирование ведётся по всей области RN изменения пространственныхпеременных разности N. При использовании декартовой системы координат водномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачах dV=dxdy для N=2 и втрёхмерных задачах dV=dxdydz для N=3.Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не являетсяΦ̂ , то в этом квантовом состоянии физическаясобственной функцией оператора Φвеличина ƒ не имеет определенного значения. Вероятность Рn того, что приизмерении физической величины ƒ в этом квантовом состоянии будет полученочисленное значение ƒn, находится по формуле2(1.4)P =C ,nnа среднее значение (математическое ожидание) физической величины порезультатам большого числа измерений можно определить как(1.5)ˆ )dV .f = ∑ Pn f n = ∫ Ψ * ( ΦΨnRNНеобходимым и достаточным условием возможности одновременного точногоизмерения двух физических величин а и b является коммутативностьсоответствующих им операторов Â и B̂ , т.

е. выполнение равенстваˆ Bˆ ˆ − BA(1.6)ˆ  ≡ ABˆ ˆ = 0. A,ˆ Bˆ  двух операторов не равен нулю, то соответствующиеЕсли же коммутатор  A,им две физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Длятаких физических величин справедливы соотношения неопределенностей вида∆a⋅∆b>0 утверждающие, что обе неопределенности ∆a и ∆b не могутодновременно стремиться к нулю.2.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИПриведем выражения для операторов основных физических величин квантовоймеханики:Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функциюсводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можнозаписать в виде равенств(2.1)xˆ = x, ˆy = y ,zˆ = z.Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являютсятакже операторы координат в цилиндрической и сферической системахкоординат.Операторы проекций импульса.

Эти операторы связаны сдифференцированием по соответствующим координатам, причемpˆ x = − i !∂∂∂, ˆp y = − i !, ˆpz = − i ! .∂x∂y∂z(2.2)Используя известное соотношение классической механики, можно построитьоператор квадрата импульса по правилу2 ∂2∂2∂2 22ˆp 2 = ( ˆp x ) + ( ˆp y ) + ( ˆp z ) = − ! 2  2 + 2 + 2  ,∂y∂z  ∂x(2.3)или, используя оператор Лапласа,(2.4)Операторы проекций момента импульса. Используя классическую формулу для"" "момента импульса материальной точки L = [ r , p ], можно построить операторыпроекций момента импульса по правилам− 2∆p̂ 2 = −!∂∂ ˆ z − zˆ ˆp y = − i !  yLˆ x = ˆyp− z,∂y  ∂z∂∂ ˆ ˆ x − xˆ ˆp z = − i !  zLˆ y = zp− x,∂z  ∂x∂∂ Lˆ z = xˆ ˆp y − ˆy ˆp x = − i !  x− y.∂x  ∂y(2.5)В сферической системе координат∂∂ ,L̂ x = − i !  sin ϕ+ ctgθ cos ϕ∂θ∂ ϕ ∂∂ − ctgθ sin ϕL̂ y = − i !  cos ϕ,∂θ∂ϕ L̂z = − i !(2.6)∂.∂ϕОператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значений:Lz = m! , где m = 0 , ±1, ±2, ...,каждому из которых соответствует собственная функция(2.7)1e im ϕ .2πЭти собственные функции ортонормированы, так что2π 1, если n = m*=()()dΨϕΨϕϕn∫0 m0 , если n ≠ m .Ψm(2.8)(ϕ ) =Оператор квадрата момента импульса L̂2 определяется выражением22ˆL2 = Lˆ 2 + Lˆ 2 + Lˆ 2 = − ! 2  z ∂ − y ∂  +  x ∂ − z ∂  +  y ∂ − x ∂ xyz  ∂y∂y ∂z   ∂z∂x   ∂x2.(2.9)В сферической системе координат оператор Лапласа∆ = ∆r +1∆ θ ,ϕr2может быть записан с выделением его радиальной части:∆r =и угловой части:∆θ ,ϕ =1 ∂  2 ∂ rr 2 ∂r  ∂r 1 ∂ 1∂∂ sin θ.+2sin θ ∂θ ∂θ  sin θ ∂ϕ 2В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферическойсистеме координат преобразуется к виду(2.10)L̂ 2 = − ! 2 ∆ θ ,ϕ .2Спектр собственных значений оператора L̂ является дискретным(2.11)причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствует(2l+1) собственных функций Ψ l ,m = Yl ,m ( θ ,ϕ ) , отличающихся значениямицелочисленного параметра m=0, ±1,±2, ..., ±l.

Каждому значению т соответствуютопределенные значения проекции момента импульса Lz, которые выражаютсяформулой (2.7).Функции Yl ,m ( θ ,ϕ ) называются шаровыми (или сферическими) функциями.Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических функций:L2 = ! 2 l( l + 1 ),l = 0 ,1, 2 , ...,Y0 ,0 =14π,Y1 ,0 =3cosθ ,Y1 ,±1 =4π3sin θ e ± iϕ8π(2.12)Эти функции нормированы условием2π π∫ ∫Y*l ,mYl ,m sin θ dθ d ϕ = 1.0 0Операторы энергий.Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической формулойсвязи кинетической энергии частицы массой m0 и ее квадрата импульса: Eκ =p2.2m0Аналогичное соотношение связывает операторы в квантовой механике. Поэтому,с учетом (2.4), получаемÊκ =!2p̂ 2∆.=2m0 2m0(2.13)Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения нафункцию U=U(х,у,z), определяющую потенциальную энергию частицы встационарном силовом поле, т.

е.(2.14)Û = U ( x , y , z ).Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором функцииГамильтона или просто гамильтонианом. Гамильтониан Ĥ определяется каксумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид!2ˆˆˆH = Eκ + U = −∆ + U( x , y , z ).2m0(2.15)Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей,понимая под Û = U( x , y , z ,t ) силовую функцию, связанную с силой, действующей"на частицу, соотношением F = −∇ U .3.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂x является линейньмсамосопряженным (эрмитовым) оператором.Решение.Линейностьоператораp̂ x = − i !∂! ∂≡∂x i ∂xочевидна,посколькудифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор p̂xявляется эрмитовым оператором, т. е. для него выполняется условиесамосопряженности(3.1)Ψ * ( ˆp Ψ )dV = Ψ ( pˆ Ψ )* dV .∫1x2RN∫2x1RNЗдесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия,накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции должныобращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного случая, когдафункции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственной координаты х.

Тогдаимеем+∞I = ∫ Ψ ( ˆp xΨ 2 )dx =*1−∞+∞+∞!!∂Ψ 2Ψ 1*dx = Ψ 1* Ψ 2∫i −∞i∂xПоскольку, согласно условию, Ψ1(±∞)=Ψ2(±∞)=0, то+∞+∞ ∂Ψ 1*∂Ψ 1*I = i! ∫ Ψ 2dx = ∫ Ψ 2  i !∂x∂x−∞−∞+∞∂Ψ 1*dx .+ i! ∫ Ψ 2−∞∂x−∞+∞*+∞+∞∂Ψ 1 dx = ∫ Ψ 2 ( ˆpxΨ 1 )* dx . dx = ∫ Ψ 2  − i !∂x −∞−∞Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности+∞∫Ψ−∞*1+∞( pˆ xΨ 2 )dx = ∫ Ψ 2 ( pˆ xΨ 1 )* dxдля оператора проекции импульса.−∞Задача 2.

Стационарное квантовое состояние частицы массой m0, движущейся водномерной потенциальной яме шириной а с абсолютно непроницаемымистенками, описывается волновой функцией 2nπ xsin, 0< x<aΨ n( x ) =  aa(3.2)0 ,x < 0, x > a,где n=1, 2,... - квантовое число, определяющее состояние частицы.Определите: а) среднее значение координаты частицы <x>; б) среднее значениепроекции импульса <px> и в) среднее значение квадрата импульса частицы <p2>.*Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψ n =Ψ n , находимx =+∞a−∞0*∫ Ψ n ( x ){ xˆΨ n ( x )}dx = ∫Ψ n ( x ) ⋅ x ⋅Ψ n ( x )dx .Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем2nπ x12nπ x ax = ∫ x sin 2dx = ∫ x  1 − cosdx = .a0aa0 a 2aaЭтот результат физически достаточно очевиден.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее