Измерение физических величин в квантовых системах (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями)
Описание файла
Файл "Измерение физических величин в квантовых системах" внутри архива находится в папке "Все методички". PDF-файл из архива "Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "физика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Московский государственный технический университет им. Н. Э. БауманаЛ. К. Мартинсон, Е. В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.РАЗДЕЛ«ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ».Москва, 2002Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории,необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики.Изложена методика решения типовых задач.ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИКвантовая механика принципиально отличается от классической механики вподходе к вопросу о результатах измерения физических величин в квантовыхсистемах. Прежде всего, в квантовой механике физическая величина может иметьдискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физическиевеличины изменяются непрерывно.
Кроме того, результаты измеренияфизических величин в квантовой системе имеют вероятностный характер. Этоозначает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физическойвеличины в квантовой системе с определённой вероятностью можетреализовываться одно из нескольких возможных значений этой величины.Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеетопределённого значения. В этом случае, зная волновую функцию, мы должныуметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины,полученной из ряда измерений.Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физическихвеличин в квантовой механике базируется на представлении физических величиноператорами и разработке адекватного математического аппарата.Сформулируем основные постулаты квантовой механики.I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функцияΨ(x,y,z,t), определяющая это состояние.
Волновая функция находится из решенияуравнения Шредингера.II. Каждой наблюдаемой физической величине ƒ в квантовой механике ставится вΦ̂ ,соответствие некоторый линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Φдействие которого на волновую функцию задаётся при его определении.Соотношения между квантово-механическими операторами аналогичнысоотношениям, связывающим в классической механике соответствующиефизические величины.III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физическойвеличины ƒ может быть только собственное значение ƒn соответствующего ейΦ̂ .оператора ΦΦ̂ находятся из решения уравненияСобственные значения оператора Φ(1.1)ˆΦΨn = f nΨ n .Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений ƒn.Вслучае дискретного спектра физической величины этот набор представляетсобой счётное множество (n = 1, 2, …).Система собственных функций оператора любой физической величиныпредстовляет собой полную ортонормированную систему функций.
Поэтомулюбую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по этимсобственным функциям:(1.2)Ψ n = ∑ C nΨ n ,nпричём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:Cn =*Ψn∫ Ψ dV .(1.3)RNЗдесь интегрирование ведётся по всей области RN изменения пространственныхпеременных разности N. При использовании декартовой системы координат водномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачах dV=dxdy для N=2 и втрёхмерных задачах dV=dxdydz для N=3.Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не являетсяΦ̂ , то в этом квантовом состоянии физическаясобственной функцией оператора Φвеличина ƒ не имеет определенного значения. Вероятность Рn того, что приизмерении физической величины ƒ в этом квантовом состоянии будет полученочисленное значение ƒn, находится по формуле2(1.4)P =C ,nnа среднее значение (математическое ожидание) физической величины порезультатам большого числа измерений можно определить как(1.5)ˆ )dV .f = ∑ Pn f n = ∫ Ψ * ( ΦΨnRNНеобходимым и достаточным условием возможности одновременного точногоизмерения двух физических величин а и b является коммутативностьсоответствующих им операторов Â и B̂ , т.
е. выполнение равенстваˆ Bˆ ˆ − BA(1.6)ˆ ≡ ABˆ ˆ = 0. A,ˆ Bˆ двух операторов не равен нулю, то соответствующиеЕсли же коммутатор A,им две физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Длятаких физических величин справедливы соотношения неопределенностей вида∆a⋅∆b>0 утверждающие, что обе неопределенности ∆a и ∆b не могутодновременно стремиться к нулю.2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИПриведем выражения для операторов основных физических величин квантовоймеханики:Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функциюсводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можнозаписать в виде равенств(2.1)xˆ = x, ˆy = y ,zˆ = z.Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являютсятакже операторы координат в цилиндрической и сферической системахкоординат.Операторы проекций импульса.
Эти операторы связаны сдифференцированием по соответствующим координатам, причемpˆ x = − i !∂∂∂, ˆp y = − i !, ˆpz = − i ! .∂x∂y∂z(2.2)Используя известное соотношение классической механики, можно построитьоператор квадрата импульса по правилу2 ∂2∂2∂2 22ˆp 2 = ( ˆp x ) + ( ˆp y ) + ( ˆp z ) = − ! 2 2 + 2 + 2 ,∂y∂z ∂x(2.3)или, используя оператор Лапласа,(2.4)Операторы проекций момента импульса. Используя классическую формулу для"" "момента импульса материальной точки L = [ r , p ], можно построить операторыпроекций момента импульса по правилам− 2∆p̂ 2 = −!∂∂ ˆ z − zˆ ˆp y = − i ! yLˆ x = ˆyp− z,∂y ∂z∂∂ ˆ ˆ x − xˆ ˆp z = − i ! zLˆ y = zp− x,∂z ∂x∂∂ Lˆ z = xˆ ˆp y − ˆy ˆp x = − i ! x− y.∂x ∂y(2.5)В сферической системе координат∂∂ ,L̂ x = − i ! sin ϕ+ ctgθ cos ϕ∂θ∂ ϕ ∂∂ − ctgθ sin ϕL̂ y = − i ! cos ϕ,∂θ∂ϕ L̂z = − i !(2.6)∂.∂ϕОператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значений:Lz = m! , где m = 0 , ±1, ±2, ...,каждому из которых соответствует собственная функция(2.7)1e im ϕ .2πЭти собственные функции ортонормированы, так что2π 1, если n = m*=()()dΨϕΨϕϕn∫0 m0 , если n ≠ m .Ψm(2.8)(ϕ ) =Оператор квадрата момента импульса L̂2 определяется выражением22ˆL2 = Lˆ 2 + Lˆ 2 + Lˆ 2 = − ! 2 z ∂ − y ∂ + x ∂ − z ∂ + y ∂ − x ∂ xyz ∂y∂y ∂z ∂z∂x ∂x2.(2.9)В сферической системе координат оператор Лапласа∆ = ∆r +1∆ θ ,ϕr2может быть записан с выделением его радиальной части:∆r =и угловой части:∆θ ,ϕ =1 ∂ 2 ∂ rr 2 ∂r ∂r 1 ∂ 1∂∂ sin θ.+2sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферическойсистеме координат преобразуется к виду(2.10)L̂ 2 = − ! 2 ∆ θ ,ϕ .2Спектр собственных значений оператора L̂ является дискретным(2.11)причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствует(2l+1) собственных функций Ψ l ,m = Yl ,m ( θ ,ϕ ) , отличающихся значениямицелочисленного параметра m=0, ±1,±2, ..., ±l.
Каждому значению т соответствуютопределенные значения проекции момента импульса Lz, которые выражаютсяформулой (2.7).Функции Yl ,m ( θ ,ϕ ) называются шаровыми (или сферическими) функциями.Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических функций:L2 = ! 2 l( l + 1 ),l = 0 ,1, 2 , ...,Y0 ,0 =14π,Y1 ,0 =3cosθ ,Y1 ,±1 =4π3sin θ e ± iϕ8π(2.12)Эти функции нормированы условием2π π∫ ∫Y*l ,mYl ,m sin θ dθ d ϕ = 1.0 0Операторы энергий.Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической формулойсвязи кинетической энергии частицы массой m0 и ее квадрата импульса: Eκ =p2.2m0Аналогичное соотношение связывает операторы в квантовой механике. Поэтому,с учетом (2.4), получаемÊκ =!2p̂ 2∆.=2m0 2m0(2.13)Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения нафункцию U=U(х,у,z), определяющую потенциальную энергию частицы встационарном силовом поле, т.
е.(2.14)Û = U ( x , y , z ).Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором функцииГамильтона или просто гамильтонианом. Гамильтониан Ĥ определяется каксумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид!2ˆˆˆH = Eκ + U = −∆ + U( x , y , z ).2m0(2.15)Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей,понимая под Û = U( x , y , z ,t ) силовую функцию, связанную с силой, действующей"на частицу, соотношением F = −∇ U .3.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂x является линейньмсамосопряженным (эрмитовым) оператором.Решение.Линейностьоператораp̂ x = − i !∂! ∂≡∂x i ∂xочевидна,посколькудифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор p̂xявляется эрмитовым оператором, т. е. для него выполняется условиесамосопряженности(3.1)Ψ * ( ˆp Ψ )dV = Ψ ( pˆ Ψ )* dV .∫1x2RN∫2x1RNЗдесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия,накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции должныобращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного случая, когдафункции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственной координаты х.
Тогдаимеем+∞I = ∫ Ψ ( ˆp xΨ 2 )dx =*1−∞+∞+∞!!∂Ψ 2Ψ 1*dx = Ψ 1* Ψ 2∫i −∞i∂xПоскольку, согласно условию, Ψ1(±∞)=Ψ2(±∞)=0, то+∞+∞ ∂Ψ 1*∂Ψ 1*I = i! ∫ Ψ 2dx = ∫ Ψ 2 i !∂x∂x−∞−∞+∞∂Ψ 1*dx .+ i! ∫ Ψ 2−∞∂x−∞+∞*+∞+∞∂Ψ 1 dx = ∫ Ψ 2 ( ˆpxΨ 1 )* dx . dx = ∫ Ψ 2 − i !∂x −∞−∞Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности+∞∫Ψ−∞*1+∞( pˆ xΨ 2 )dx = ∫ Ψ 2 ( pˆ xΨ 1 )* dxдля оператора проекции импульса.−∞Задача 2.
Стационарное квантовое состояние частицы массой m0, движущейся водномерной потенциальной яме шириной а с абсолютно непроницаемымистенками, описывается волновой функцией 2nπ xsin, 0< x<aΨ n( x ) = aa(3.2)0 ,x < 0, x > a,где n=1, 2,... - квантовое число, определяющее состояние частицы.Определите: а) среднее значение координаты частицы <x>; б) среднее значениепроекции импульса <px> и в) среднее значение квадрата импульса частицы <p2>.*Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψ n =Ψ n , находимx =+∞a−∞0*∫ Ψ n ( x ){ xˆΨ n ( x )}dx = ∫Ψ n ( x ) ⋅ x ⋅Ψ n ( x )dx .Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем2nπ x12nπ x ax = ∫ x sin 2dx = ∫ x 1 − cosdx = .a0aa0 a 2aaЭтот результат физически достаточно очевиден.