Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова, страница 9
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 9 страницы из PDF
ª ã ª®ªà¥â®© áä¥à¨ç¥áª®© äãªæ¨¨®¯à¥¤¥«¨âì ¥ñ ¯®à冷ª?ਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç ç áâ® ¯® áä¥à¨ç¥áª®© äãªæ¨¨, ¯à¨áãâáâ¢ãî饩 ¢ ªà ¥¢®¬ ãá«®¢¨¨, ¥®¡å®¤¨¬® ®¯à¥¤¥«¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî è ஢ãî. ª?ਬ¥à 21.∆u = 0, r > R,³´u0 (ϕ, θ) = sin ϕ + π3 cos2 θ sin θ,u(r, ϕ, θ) = u(r, ϕ + 2π, θ), lim u = 0.r→∞65◮. ª.¢ ¢ëà ¦¥¨¨áãâáâ¢ã¥â³´sin ϕ + π3 ,´³u0 (ϕ, θ) = sin ϕ + π3 cos2 θ sin θâ®k = 1,¦ ¤à à ¢ cos2 θ.¯¥à¢ ïY?1 ,sin θ.¨ à¥çì ¯®©¤ñâ ® äãªæ¨¨¤«ï ª®â®à®© 㦥 ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¥®¡å®¤¨¬ë© ¬®¦¨â¥«ìáâ «®áì ¢ëïá¨âì,¯à¨-¯à®¨§¢®¤ ï ª ª®£® ¯®«¨®¬ ¥-á®, íâ® á¢ï§ ® á ¬®£®ç«¥®¬ 3-© áâ¥-¯¥¨:P3 (cos θ) =¨¤®,¶µ15 cos2 θ 33− ⇔5 cos3 θ − cos θ ⇒ P3′ (cos θ) =224′′2P3 (cos θ) P1 (cos θ)+.⇐⇒ cos2 θ =15102çâ® ¯¥à¢ ï ¯à®¨§¢®¤ ï ᮤ¥à¦¨â ¥ ⮫쪮 cos θ ,12® ¨ ª®áâ âã.
®í⮬㠯à¨è«®áì ¯®¨áª âì ¥éñ ¯®«¨®¬ ¥¦ ¤à ,¯¥à¢ ï¯à®¨§¢®¤ ï ª®â®à®£® à ¢ ª®áâ â¥, íâ® ¯®-«¨®¬ ¯¥à¢®© á⥯¥¨. ®í⮬ã!Ã(1)³π ´ 2P31u0 (ϕ, θ) = sin ϕ ++sin θ =31510!Ã(1)³³π´1π ´ 2P3(1)sin ϕ +sin θ +sin θP1 ⇒= sin ϕ +315103µ ¶³π´2 R 4(1)sin θP3 (cos θ)+sin ϕ +⇒u=15 r3µ ¶³1 R 2π´(1)+sin θP1 (cos θ).sin ϕ +10 r3³ ´4´³2 R sin ϕ + π sin θP (1) (cos θ) +⢥â.
u =315 r3³³ ´2´(1)πR1+ 10 r sin ϕ + 3 sin θP1 (cos θ).◭√ ∆u = 20, r < 3,√ਬ¥à 22.u|r=√3 = 15 + 15 cos 2θ − 3 sin θ sin ϕ,u(r, ϕ, θ) = u(r, ϕ + 2π, θ).◮ ©¤ñ¬ á ç « ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨ ᤥ« ¥¬á¤¢¨£:uç áâ. = ar2 ⇒ 2a + 4a = 20 ⇐⇒66⇐⇒ a =10r210r210⇒ uç áâ. =⇒v =u−.333¥à¥¯¨è¥¬ § ¤ çã ¢ ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå:½√∆v = 0, r < 3,√v|r=√3 = 15 + 15 cos 2θ − 3 sin θ sin ϕ − 10.¥¯¥àì ¯à¥®¡à §ã¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª á㬬¥ áä¥à¨ç¥áª¨åäãªæ¨©:15 + 15 cos 2θ −√3 sin θ sin ϕ − 10 =√= 5 + 15(2 cos2 θ − 1) − 3 sin θ sin ϕ =µ¶√1 12 32− 3P11 sin ϕ =cos θ − += −10 + 303 22 2√= 20P2 − 3P11 sin ϕ.¥¯¥àì § ¯¨è¥¬ à¥è¥¨¥ ¢ è ஢ëå äãªæ¨ïå:µ¶¶µr10r2r 2 √√√u(r, ϕ, θ) =P11 sin ϕ =− 3+ 20P2333µ¶¶µ201310+cos2 θ −− r sin θ sin ϕ == r233 22= 10r2 cos2 θ − r sin θ sin ϕ.⢥â.u = 10r2 cos2 θ − r sin θ sin ϕ.◭ਬ¥à 23. ∆u = 14 , r > 2,r◮³´ (u − ur )|r=2 = sin θ · cos2 θ · sin π − ϕ , u(∞) = 0.26 ©¤ñ¬ á ç « ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï:12ur = 4 ,rra11uç áâ = 2 ⇒ a(6 − 4) = 1 ⇐⇒ a = ⇒ v = u − 2 ⇒r22r(∆v = 0, r > 2,³´⇒ (v − v )|2 θ · sin π − ϕ − 1 , v(∞) = 0.=sinθ·cosr r=2264urr +67¥¯¥àì ¯à¥®¡à §ã¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª á㬬¥ áä¥à¨ç¥áª¨åäãªæ¨©:³π´ 1³π´ 1θ1sin θ·cos2 ·sin− ϕ − = sin θ· (1+cos θ)·sin−ϕ − =264264³π´ 1³π´ 11= sin θ · sin− ϕ + sin θ · cos θ sin−ϕ − =26264³π´³π´ 2111(1)(1)= sin− ϕ P1 (cos θ)+ sin− ϕ · P2 (cos θ)− P0 ⇒262634³π´a(1)⇒ v(r, ϕ, θ) = 2 sin− ϕ P1 (cos θ)+r6³π´db(1)− ϕ · P2 (cos θ) + ⇒+ 3 sinr6r³π´³π´ 1111(1)(1)− ϕ P1 (cos θ)+ sin− ϕ · P2 (cos θ)− P0 =⇒ sin262634³π´³π´bda(1)(1)− ϕ P1 (cos θ) + sin− ϕ · P2 (cos θ) + −= sin46862µ³´2aπ(1)− −sin− ϕ P1 (cos θ)−86¶³π´3bd(1)−sin− ϕ · P2 (cos θ) −⇔16641 = a,a = 1,228 ,5b1b= 15=,⇐⇒⇒⇐⇒616d = − 1 3d = − 1344³π´11(1)+sin−ϕP1 (cos θ)+2r2 r26³π´81(1)+sin−ϕ· P2 (cos θ) −=315r63r³´³´1ππ118= 2−+ 2 sin− ϕ sin θ + 3 sin− ϕ · sin θ cos θ.2r3r r65r6³´1 − 1 + 1 sin θ sin π − ϕ +⢥â.
u =62r2³ 3r ´ r2π8+ 3 sin θ cos θ sin 6 − ϕ .◭⇒ u(r, ϕ, θ) =5r68§ 8.®â¥æ¨ «ë¡ëç® ¯®â¥æ¨ «ë 室ïâ, ¢ëç¨á«ïï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥¨â¥£à «ë. â®â ¬¥â®¤ ¬ë ®¯ã᪠¥¬. ¤ ®¬ ¯®á®¡¨¨ ¯®â¥æ¨ «ë ¤«ï è à , áä¥àë, áä¥à¨ç¥áª®£® á«®ï 室ïâáï á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨© ¨ ᢮©áâ¢, ª®â®àë¬ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ. ⮤ ñâ ¢®§¬®¦®áâì «ãçè¥ ã᢮¨âì ¨ § ¯®¬¨âì ᢮©á⢠¯®â¥æ¨ «®¢.8.1.¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « ¢ãáâìρ| ®¡®¡éñ ï äãªæ¨ï.¢ñà⪠1. ᫨2.R3ρ(x)1 ∗ρ §ë¢ ¥âáï ìîâ®®¢ë¬V3 = |x|¢®©á⢠¯®â¥æ¨ « V3¯®â¥æ¨ «®¬.| 䨨â ï ®¡®¡éñ ï äãªæ¨ï, â® ¯®â¥æ¨ «V3 áãé¥áâ¢ã¥â ¢ D′ ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î ã áá® ∆V3 = −4πρ. ᫨ ρ | 䨨â ï, ¡á®«îâ® ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¢R3 , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ìîâ®®¢ ¯®â¥æ¨ « V3 §ë¢ ¥âáﮡêñ¬ë¬ ¯®â¥æ¨ «®¬.
ਠí⮬ ®¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « V3ï¥âáï «®ª «ì® ¡á®«îâ® ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¥© ¢ R3R ρ(y) dy.¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ V3 = R3|x − y|ρ ∈ C(G) ¨ G | ®£à ¨ç¥ ï ®¡« áâì, ρ = 0, x ∈∈\ Q, â® ®¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « V3 ) ¯à¨ ¤«¥¦¨â C 1 (R3 ),³ ´1 , |x| → ∞.¡) £ ମ¨ç¥ ¢ G1 ¨ V (x) = O|x|3. ᫨R34. ᫨ρ ∈ C 1 (G) ∩ C(G),â®V ∈ C 2 (G).ਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç ¯à¨å®¤¨âáï ®â¤¥«ì® 室¨âì ¯®â¥æ¨ «ë ¤«ï â®ç¥ª, ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å ®£à ¨ç¥®© ®¡« áâ¨â®â ¯®â¥æ¨ « ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âìVi ,G. ¤«ï â®ç¥ª, «¥¦ é¨å¢¥ ¥ñ, íâ®â ¯®â¥æ¨ « ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âìρ∈³ ´1 , |x| → ∞.∆Vi (x) = −4πρ(x), ∆Ve (x) = 0, Ve (x) = O |x|®£¤ , ¥á«¨1)2)3)Ve .1C (G) ∩ C(G), ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® á«¥¤ã¥â, çâ®Ve (x)|∂G = Vi (x)|∂G .∂∂∂n Vi |∂G = ∂n Ve |∂G ,£¤¥n| ¢¥èïï ®à¬ «ì.69¡ëç® ¯®â¥æ¨ «ë 室ïâ, ¢ëç¨á«ïï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥¨â¥£à «ë. ª ª ª ¢ è¨å § ¤ ç å ¢ ஫¨ ®¡« á⨠¢ëáâ㯠îâ «¨¡®è à, «¨¡® áä¥à¨ç¥áª¨© á«®©, â® ¡ã¤¥¬ 室¨âì ¯®â¥æ¨ «ë ᯮ¬®éìî ãà ¢¥¨© ¨ ᢮©áâ¢, ª®â®àë¬ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ. ᨫã ᯥæ¨ä¨ª¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå ®¡« á⥩ ¡ã¤¥¬ ¨áª âìV3 ,§ ¢¨áï騩 ⮫쪮 ®â à ááâ®ï¨ï, â.
¥.ਬ¥à 24.V3 = V3 (r).ëç¨á«¨â¥p ®¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « ¤«ï è à |x| < R á ¯«®â®áâìî ρ = |x|.◮ ®¯à®¡ã¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ § ¤ 稢 ¢¨¤¥V = V (r).®á-¯®«ì§ã¥¬áï ᢮©á⢠¬¨ ®¡êñ¬®£® ¯®â¥æ¨ « :1)√√∆Vi (r) = −4π r ⇐⇒ 12 (r2 Vi′ (r))′ = −4π r ⇐⇒ Vi (r) =r5C2= − 1635 πr − r + D .Vi = V3 (r), r 6 R, ρ ∈13¦¨â C (R ). ®í⮬ã C = 0 ⇒ Vi (r) ª ª ª= 0 ⇐⇒ Ve (r) = Ar + B. ª ª ªVe = V3 (r), r > R,B = 0 ⇒ Ve (r) = Ar. C(G), â® V3 (r) ¯à¨ ¤«¥16 πr 25 + D, ∆V (r) == − 35e³ ´V3 (r) = O 1r , r → ∞,⮥¯¥àì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᢮©á⢠¬¨ 2) { 3):5 2) − 16 πR 2 + D = A , A = 8 πR 27 ,35R737 ⇐⇒5 ⇒ 3) − 8 πR 2 = − A2 ⇐⇒ A = 8 πR 2 D = 56 πR 27735R´58π ³ 58π 7⇒ Ve (r) =R 2 , Vi (r) =7R 2 − 2r 2 .7r35´³ 5578π 7R 2 − 2r 2 , r 6 R; 8π R 2 , r > R.◭⢥â.357r®¦® à¥è¨âì ¡®«¥¥ ®¡éãî § ¤ çã.ਬ¥à 25.ëç¨á«¨âì ®¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « ¤«ï è à |x| < R á ¯«®â®áâìî ρ = ρ(|x|) ∈ C .◮ ®¯à®¡ã¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ § ¤ 稢 ¢¨¤¥ ©¤ñ¬ á ç « ¯®â¥æ¨ « ¢ãâਠè à :(r2 Vi′ (r))′ = −4πr2 ρ(r) ⇐⇒70V = V (r).⇐⇒ Vi′ (r) = −4πr2Zrξ 2 ρ(ξ)dξ +0C1.r2Vi = V3 (r), r 6 R, ρ ∈ C(G), â® V3 (r) ¯à¨ ¤«¥C 1 (R3 ).
®í⮬ã C1 = 0 ¨¶Z rµ Z η12ξ ρ(ξ)dξ dη + C2 =Vi (r) = −4πη20¶ ¶µZ rµZ r012dη dξ + C2 =ξ ρ(ξ)= −4π2ξ η0ZZ r4π r 2=ξ ρ(ξ) dξ − 4πξρ(ξ) dξ + C2 .r 00 ª ª ª¦¨â¥¯¥àì ©¤ñ¬ ¯®â¥æ¨ « ¢¥ è à :¡¢′∆Ve (r) = 0 ⇐⇒ r2 Vt′ (r) = 0 ⇐⇒ ª ª ªC3+ C4 .⇐⇒ r2 Vt′ (r) = C3 ⇐⇒ Ve (r) = −r³ ´Ve = V3 (r), r > R, V3 (r) = O 1r , r → ∞, â® C4 == 0 ⇒ Ve (r) = − Cr3 .¥¯¥àì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᢮©á⢠¬¨ 2) { 3):R4πC3=2) −RRZ4πC3=− 22RRZRa) Ve (r) =4πrZ3)4πb)RZR0⇒ 4πZ2ξ ρ(ξ) dξ − 4π0Rξρ(ξ) dξ + C2 ;0ξ 2 ρ(ξ) dξ ⇐⇒ C3 = −4π0RRZ0ξ 2 ρ(ξ) dξ ⇒ξ 2 ρ(ξ) dξ,04πξ ρ(ξ) dξ −R2ZZR02ξ ρ(ξ) dξ + 4πZR0ξρ(ξ) dξ = C2 ⇔Rξρ(ξ) dξ = C2 ⇒Z RZZ r4π r 2ξρ(ξ) dξ =ξ ρ(ξ) dξ − 4πξρ(ξ) dξ + 4π⇒ Vi =r 000071⢥â.ZZ R4π r 2ξ ρ(ξ) dξ + 4πξρ(ξ) dξ.=r 0r4π R r ξ 2 ρ(ξ) dξ + 4π R R ξρ(ξ) dξ , r 6 R;rr 04π R R ξ 2 ρ(ξ) dξ , r > R.r 0ਬ¥à 26.◭«ï áä¥à¨ç¥áª®£® ᫮﫨âì ®¡êñ¬ë© ¯®â¥æ¨ « á ¯«®â®áâìî◮ ©¤ñ¬ à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥1) )V = V (r):R1 < |x| < R2 ¢ëç¨áρ = ρ(|x|) ∈ C .R1 < r < R2 :1 2 ′(r Vi (r))′ = −4πρ(r) ⇐⇒ (r2 Vi′ (r))′ = −4πr2 ρ(r) ⇐⇒r2Z4π r 2C1′⇐⇒ Vi (r) = − 2ξ ρ(ξ) dξ + 2 ⇐⇒rr¶Z r µ Z0 ηC11ξ 2 ρ(ξ) dξ dη −+ C2 =⇐⇒ Vi (r) = −4π2ηr0µZ0 r¶Z r1C1= −4πξ 2 ρ(ξ) dξdη −+ C2 =2rξ η0µ¶Z r1 1C12= 4πξ ρ(ξ) dξ−+ C2 =−r ξr0Z rZC14π r 2ξρ(ξ) dξ −ξ ρ(ξ) dξ − 4π+ C2 = Vi (r);=r 0r0¢′C1 ¡b) r > R2 : 2 r 2 Ve′1 (r) = 0 ⇐⇒ Ve1 (r) = − r3 + C4 ⇒r⇒ C4 = 0 ⇒ Ve1 (r) = − Cr3 ;r 6 R1 : 12 (r2 Ve′2 (r))′ = 0 ⇐⇒ Ve2 (r) = − Cr5 + C6 ⇒r⇒ C5 = 0 ⇒ Ve2 (r) = C6 .®á¯®«ì§ã¥¬áï ᢮©á⢠¬¨ 2) { 3) áä¥à å r = R1 : ¨ r == R2 . r = R1 :4π R R1 ξ 2 ρ(ξ) dξ − 4π R R1 ξρ(ξ) dξ − C1 + C = C ;260R1 0R1R R1 2RRC14π2− 2 0 ξ ρ(ξ) dξ + 12 = 0 ⇐⇒ C1 = 4π 0 ξ ρ(ξ) dξ ⇒R1R1Rr 2Rr4π4π R R1a) Vi (r) = r 0 ξ ρ(ξ) dξ−4π 0 ξρ(ξ) dξ− r 0 ξ 2 ρ(ξ) dξ+RrR R1 2+ C2 = −4π 0 ξρ(ξ) dξ − 4πr r ξ ρ(ξ) dξ + C2 ;c)2)3)724πR1b)RR1ξ 2 ρ (ξ) dξ0= C6 ⇐⇒ − 4π2)3)RR1− 4πRR104πξρ (ξ) dξ −RR1ξ 2 ρ (ξ) dξ0+ C2 =R1ξρ (ξ) dξ + C2 = C6 .0 r = R2 :RR4π R R1 ξ 2 ρ(ξ) dξ + C = − C3 ;−4π 0 2 ξρ(ξ) dξ − R2R22 R2RRRRC2 21 24π4π3− 2 0 ξ ρ(ξ) dξ + 2 0 ξ ρ(ξ) dξ = 2 ⇐⇒R2R2R2R R2 2⇐⇒ −4π R1 ξ ρ(ξ) dξ = C3 .4π R R2à §ã 室¨¬ Ve1 = r R ξ 2 ρ(ξ) dξ .1 ⥬ ©¤ñ¬ C2 ¨ Vi :ZZ R24π R1 2ξ ρ(ξ) dξ + C2 =ξρ(ξ) dξ −−4πR2 R20Z R2Z4π R2 2=ξρ(ξ) dξ ⇒ξ ρ(ξ) dξ ⇐⇒ C2 = 4πR2 R10ZrZR1ZR24π⇒ Vi (r) = −4π ξρ(ξ) dξ −ξ 2 ρ(ξ) dξ +4π ξρ(ξ) dξ =rr00ZZ R24π r 2ξ ρ(ξ) dξ + 4πξρ(ξ) dξ.=r R1r¥¯¥àì ¬®¦® ©â¨−4πZ0C6¨Ve2 :R1ξρ(ξ) dξ + C2 = C6 ⇐⇒⇐⇒ − 4πZR1ξρ(ξ) dξ + 4πZR2ξρ(ξ) dξ = C6 ⇐⇒Z R2⇐⇒ Ve2 = 4πξρ(ξ) dξ,00R14πrZrR1ξ 2 ρ(ξ) dξ + 4πZR2ξρ(ξ) dξ = Vi (r).r73⢥â.+ 4πR R2r4πR R2R1Rr 26 R1 ; 4πr R1 ξ ρ(ξ) dξ +4π R R2 ξ 2 ρ(ξ) dξ , r > R .◭2r R1ξρ(ξ) dξ , rξρ(ξ) dξ , R1 6 r 6 R2 ;8.2.
®â¥æ¨ « ¯à®á⮣® á«®ï ¢ãáâìSR3| ®£à ¨ç¥ ï ªãá®ç®-£« ¤ª ï, ¤¢ãáâ®à®ïïn ª ¥©, µ | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï S . ìîâ®®¢ ¯®â¥æ¨ « V 0 =1 ∗µδ §ë¢ ¥âáï ¯®â¥æ¨ «®¬ ¯à®á⮣® á«®ï, ¢ëà ¦ ¥âáï= |x|S¯®¢¥àå®áâì á ¢ë¡à ë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®à¬ «¨¨â¥£à «®¬0V (x) =ZSµ(ξ) ds|x − ξ|¨ ï¥âáï «®ª «ì® ¡á®«îâ® ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¥© ¢ R3 .ਠí⮬ ¯®â¥æ¨ « ¯à®á⮣® á«®ï∆V 0 = −4πµδS , ï¥âáï £ ମ¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¢¥ ¯®¢¥àå®á⨠S , â. ¥.µ ¶1000∆Vi (x) = 0, ∆Ve (x) = 0, Ve (x) = O, |x| → ∞;|x|1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î ã áá® 2) ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¥© ¢® ¢áñ¬ ¯à®áâà á⢥,â.
¥.V 0 (x) ∈ C(R3 );3) ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ¢¥è¥© ®à¬ «¨ â¥à¯¨â à §àë¢, ¥á«¨S| ¯®¢¥àå®áâì ï¯ã®¢ :ਬ¥à 27.¯¯∂ 0 ¯¯∂ 0 ¯¯VV−= −4πµ(x).∂n e ¯S∂n i ¯S«ï áä¥àë à ¤¨ãá ¯à®á⮣® á«®ï á ¯«®â®áâìî◮¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢R ¢ëç¨á«¨âìµ = const.¢¨¤¥ V 0 = V 0 (r).¯®â¥æ¨ « ©¤ñ¬ ¯®â¥æ¨ « ¢ãâਠáä¥àë:∆Vi0 (r) = 0 ⇐⇒74¢′1 ¡ 2 0r (Vi (r))′ = 0 ⇒2rC1⇒ (Vi0 (r))′ = 2 ⇒ C1 = 0,rVi0 (r) = C2 .¥¯¥àì ©¤ñ¬ ¯®â¥æ¨ « ¢¥ áä¥àë:¢′1 ¡ 2 0C1r (Ve (r))′ = 0 ⇐⇒ (Ve0 (r))′ = 2 ⇐⇒2rrC1C1+ C2 ⇒ C2 = 0 ⇒ Ve0 (r) = −.⇐⇒ Ve0 (r) = −rr®á¯®«ì§ã¥¬áï ᢮©á⢠¬¨ 2) { 3):2)3)C2 = − CR1 ,C1 − 0 = −4πµ ⇐⇒ C = −4πµR2 ⇒1R224πµR ) Ve0 (r) =r ;¡)C2 = 4πµR ⇒ Vi0 (r) = 4πµR.⢥â.24πµR, r 6 R; 4πµRr , r > R.8.3.
®â¥æ¨ « ¤¢®©®£® á«®ï ¢ãáâìS◭R3| ®£à ¨ç¥ ï ªãá®ç®-£« ¤ª ï, ¤¢ãáâ®à®ïﯮ¢¥àå®áâì á ¢ë¡à ë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®à¬ «¨nª ¥©, ν | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï S . ìîâ®®¢ ¯®â¥æ¨ « V 1 =1 ∗ ∂ µδ §ë¢ ¥âáï ¯®â¥æ¨ «®¬ ¤¢®©®£® á«®ï, ¢ë= − |x|∂n Sà ¦ ¥âáï ¨â¥£à «®¬1V (x) =Zν(ξ)S∂1ds∂n |x − ξ|¨ ï¥âáï «®ª «ì® ¡á®«îâ® ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¥© ¢ R3 .ਠí⮬ ¯®â¥æ¨ « ¤¢®©®£® á«®ï∂ µδ , ï¥âáï∆V 1 = −4π ∂nS£ ମ¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¢¥ ¯®¢¥àå®á⨠S :¶µ1 2111, |x| → ∞;∆Vi (x) = 0, ∆Ve (x) = 0, V (x) = O|x|1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î2) ¯®â¥æ¨ « ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ¯®¢¥àå®áâì ï¯ã®¢ â¥à-Ve1 (x)|S − Vi1 (x)|S = 4πν(x), ¯à¨ í⮬Z1∂1ds,Ve (x)|S = 2πν(x) +ν(ξ)∂n |x − ξ|ZS∂1Vi1 (x)|S = −2πν(x) +ν(ξ)ds,∂n |x − ξ|S¯¨â à §àë¢75£¤¥Vi1 (x)|S| ¯à¥¤¥«ì®¥ § 票¥¬¨âáï ª £à ¨æ¥ ¨§ãâà¨,Ve1 (x),ª®£¤ xVe1 (x)|SVi1 (x),ª®£¤ xáâà¥-| ¯à¥¤¥«ì®¥ § 票¥áâ६¨âáï ª £à ¨æ¥ ¨§¢¥.८¡à §ã¥¬ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥.
¬¥â¨¬, çâ®1∂=∂n |x − ξ|Ã=µ¶1∇,n =|x − ξ|∇p!1,n =(x1 − ξ1 )2 + (x2 − ξ2 )2 + (x3 − ξ2 )2µ¶cos ϕxξx−ξcos(x − ξ, n)=,n ==.32|x − ξ||x − ξ||x − ξ|2¥¯¥àì ¯®â¥æ¨ « ¤¢®©®£® á«®ï ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥V 1 (x) =ZS£¤¥cos ϕxξν(ξ)cos ϕxξ ds,|x − ξ|2| ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à®¬®à¬ «ìî. ¬¥ç â¥«ì® â®,ECDx−ξ¨ ¢¥è¥©çâ® á ¬®¬ ¤¥«¥¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¯®â¥æ¨ « ¤¢®©®£®á«®ï ¥éñ ¢ ®¤®¬ ¢¨¤¥, ª®â®àë© ¤ áâA xBξ¢®§¬®¦®áâìá«¥¤ãîéãî§ -¤ çã ãáâ®.−−−Vi1 (x). ãáâì BC |¢¥èïï ®à¬ «ì, DG | ª á ⥫ì ï,EF ⊥ AB , ∠DBE = π − ϕxξ .
®í⮬ãG áᬮâਬFOds cos ϕxξds cos(π − ϕxξ )= dω = −,|x − ξ|2|x − ξ|2¨á. 5dωà¥è¨âì| í«¥¬¥â ⥫¥á®£® 㣫 , ¯®¤ ª®â®àë¬ ¨§ â®çª¨x£¤¥¢¨¤¥í«¥¬¥â ¯®¢¥àå®áâ¨.âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®Vi1 (x)cos ϕxξ ds=−=ν(ξ)|x − ξ|2SZZν(ξ) dω.Sਬ¥à 28. ©¤¨â¥ ¯®â¥æ¨ « ¤¢®©®£® á«®ï á ¯®áâ®ï®© ¯«®â®áâìî◮ áä¥à¥|x| = R.®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯®á«¥¤¥© ä®à¬ã«®© ¯®â¥æ¨ « ¤¢®©®£®á«®ï.76ν0Vi1 (x) = −ν0RSdω . à¨á. 6{8 ¢¨¤®, çâ®V 1 (x)||x|<R == −4πν0 , V 1 (x)||x|>R = 0| ®¤ áâ®à® ¯®¢¥àå®á⨠¢¨¤ ¯®¤ ®¤¨¬ 㣫®¬, § ª«îçñë¬ ¢ ª á ⥫쮬 ª®ãá¥, ¤à㣠ï| ¯®¤ ⥬ ¦¥ 㣫®¬, ® ¢¨¤ ¤à㣠ï áâ®à® ¯®¢¥àå®áâ¨,V 1 (x)||x|=R = −2πν0 .xxx¨á.
