Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова, страница 4
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 4 страницы из PDF
¡®§ 稬 2x − y + 2z = ξ . ®£¤ gtt = 9gξξ , t > 0, ξ ∈ R,g|t=0 = ξ sin ξ 2 ,⇐⇒gt |t=0 = 0(ξ + 3t) sin(ξ + 3t)2 + (ξ − 3t) sin(ξ − 3t)2.2 ftt = ∆f, t > 0, (x, y) ∈ R2 ,⇒f|= 0, t=022ft |t=0 = x + y − 4.⇒ f (x, y, t) =t2t3t4= 0+t(x2 +y 2 −4)+ ϕ1 (x, y)+ ϕ2 (x, y)+ ϕ3 (x, y)+ . . .+2!3!4!t2+ϕ1 (x, y) + tϕ2 (x, y) + ϕ3 (x, y) + . . .
=2!t2t3= t(4) + ϕ1 (x, y) + ϕ2 (x, y) + . . . ⇐⇒2!3!⇐⇒ ϕ1 (x, y) = 0, ϕ2 (x, y) = 4,⇐⇒ g(ξ, t) =2.ϕ3 (x, y) = ϕ1 (x, y) = 0,ϕ4 (x, y) = ϕ2 (x, y) = 0,4t32t3f (x, y, t) = t(x2 + y 2 − 4) += t(x2 + y 2 − 4) +.3!3⢥â.3u(x, y, t) = (4 − x2 − y 2 ) sin t + t(x2 + y 2 − 4) + 2t3 +³+ 12 (2x − y + 2z + 3t) sin(2x − y + 2z + 3t)2 + (2x − y + 2z −´◭− 3t) sin(2x − y + 2z − 3t)2 .½ut = ∆u, t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,ਬ¥à 6.u|t=0 = xyz cos x.◮ í⮬ ¯à¨¬¥à¥(∆yzx cos x) = −2yz sin x − yzx cos x.®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥u = f (t)yz sin x + g(t)yzx cos x,24f (0) = 0,g(0) = 1.®£¤ ′f (t)yz sin x + g ′ (t)yzx cos x == −f (t)yz sin x − g(t)(2yz sin x + yzx cos x) ⇐⇒½ ′g (t) + g(t) = 0, g(0) = 1 ⇐⇒ g(t) = e−t ;⇐⇒⇒f ′ (t) + f (t) = −2g(t) = −2e−t , f (0) = 0⇒ f (t) = Ce−t − 2te−t ,f (0) = 0 ⇒ f (t) = −2te−t .âáî¤ á«¥¤ã¥â⢥â.−t−tu(x, y,( z, t) = e yzx cos x − 2te yz sin x.ਬ¥à 7.◮◭√ x ch z , t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,2ut = 7u + sint+4u|t=0 = (x − 2y + z) sin x ch z.ந§¢¥¤¥¨¥ ®¡ë箣® á¨ãá (¨«¨ ª®á¨ãá ) £¨¯¥à¡®-«¨ç¥áª¨© á¨ãá (¨«¨ ª®á¨ãá) ï¥âáï £ ମ¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©∆ sin x ch z = 0.®í⮬㠨饬 ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥uç áâ.
= f (t) sin x ch z,f (0) = 0 :√1⇒ f (t) = t + 4 + C,2f ′ (t) = √t+4√¡√¢f (0) = 0 ⇒ f (t) = t + 4 − 2 ⇒ uç áâ. =t + 4 − 2 sin x ch z.¥¯¥àì ¤¥« ¥¬ ᤢ¨£:v = u − uç áâ ⇒â¥à¥á®, ç⮽2vt = 7∆v, t > 0, (x, y, z) ∈ R3 ,v|t=0 = (x − 2y + z) sin x ch z.∆2 (x − 2y + z) sin x ch z ≡ 0(¯à®¢¥àìâ¥!).®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥v = (x − 2y + z) sin x ch z + tϕ1 (x, y, z)+t2t3+ ϕ2 (x, y, z) + ϕ3 (x, y, z) + . .
. ⇒2!3!µ¶2t⇒ 2 ϕ1 (x, y, z) + tϕ2 (x, y, z) + ϕ3 (x, y, z) + . . . =2!= 7(2 cos x ch z + 2 sin x sh z) + tϕ1 (x, y, z)+25t3t2ϕ2 (x, y, z) + ϕ3 (x, y, z) + . . . ⇐⇒2!3!⇐⇒ 2ϕ1 (x, y, z) = 14(cos x ch z + sin x sh z),+2ϕ2 (x, y, z) = 7∆ϕ1 (x, y, z) = 0,2ϕ3 (x, y, z) = ∆ϕ2 (x, y, z) = 0.v = (x − 2y + z) sin x ch z + 7t(cos x ch z + sin x sh z) ⇒¡√¢â¢¥â. u =t + 4 − 2 sin x ch z + (x − 2y + z) sin x ch z ++ 7t(cos x ch z + sin◭ x sh z).3,u=∆u,t>0,(x,y,z)∈R tt´³3u|t=0 = x2 y − y3 e−z ,ut |t=0 = 0.³3´2◮ ª ª ª x y − y3 ≡ 0, â® à¥è¥¨¥ 室¨¬ ¢ ¢¨¤¥ u =³3´2= f (t, z) x2 y − y3 , f (t, z)|t=0 = e−z , ft (t, z)|t=0 = 0.ਬ¥à 8.2®¤áâ ¢¨¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï, ¯®«ãç ¥¬ § -¤ çã:½ftt (t, z) = fzz (t, z),2⇐⇒f (t, z)|t=0 = e−z , f t (t, z)|t=0 = 0,22e−(z+t) + e−(z−t)⇒⇐⇒ f (t, z) =2³´µ¶ e−(z+t)2 + e−(z−t)23y⇒ u = x2 y −.32³´³´ e−(z+t)2 + e−(z−t)2y32⢥â. u = x y −.◭3223u = a ∆u, t > 0, (x, y, z) ∈ R , tt³ p´3ਬ¥à 9.u|t=0 = (x2 + y 2 + z 2 ) sh x2 + y 2 + z 2 ,put |t=0 = cos x2 + y 2 + z 2 .◮ â® ¤®¢®«ì® ¢ ¦ë© ¨ ¨â¥à¥áë© ¯à¨¬¥à.
¥è ¥âáï ®á ¯®¬®éìî ¯¥à¥å®¤ ª áä¥à¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¨ ¯®á«¥¤ãî饩 § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå, ª®â®à ï ᢥ¤ñâ § ¤ çã ®è¨ ¢ª ®¤®¬¥à®©á¬¥è ®© § ¤ ç¥ ¯®«ã®á¨ r > 0.R3¥à¥©¤ñ¬ª áä¥à¨ç¥áª¨¬ ª®®à¤¨ â ¬, ¨, ¯®áª®«ìªã ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï26§ ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â à ááâ®ï¨ï, â® ¨ à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢¢¨¤¥u(r, t):³´2 u + 2uu=a ttrrr r , t > 0, r > 0,u|= r2 sh3 r, t=0ut |t=0 = cos r.® ãà ¢¥¨¥ ¬ë à¥è âì ¥ 㬥¥¬.®í⮬ã ᤥ« ¥¬ § -ϕ(r, t) = ru(r, t) ⇐⇒ u(r, t) =çâ® ϕ(r, t)|r=0 = 0. ®¤áâ ¢«ï¥¬¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå:ª®â®à®© á«¥¤ã¥â,ϕ(r, t)r ,¨§¢ ãá«®¢¨ï§ ¤ ç¨:ϕtt = a2 ϕrr , t > 0, r > 0,ϕ|t=0 = r3 (sh r)3 , r > 0,ϕ|= r cos r, r > 0, t t=0ϕ|r=0 = 0, t > 0.®«ã稫 áì § ¤ ç ® ª®«¥¡ ¨¨ ¯®«ã¡¥áª®¥ç®© áâàãë á § ªà¥¯«ñë¬ ª®æ®¬.¥è¥¨¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì á ¯®¬®éìîä®à¬ã«ë « ¬¡¥à , ¥á«¨ ¯à®¤®«¦¨¬ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ®âà¨æ ⥫ìãî ¯®«ã®áì ¥çñâë¬ ®¡à §®¬. 襬 á«ãç ¥ϕ|t=0r cos r| 㦥 ¥çñâ ï äãªæ¨ï, ®¢®¥¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥¤ çã ®è¨ ¢á¥© ®á¨:ϕ|t=0 = r3 | sh3 r|| ¯®«ã稬 § - ϕtt = a2 ϕrr , t > 0, r ∈ R,ϕ|= r3 | sh3 r|, r ∈ R, t=0ϕt |t=0 = r cos r, r ∈ R,à¥è¥¨¥ ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤¯¯¯¯(r + at)3 ¯sh3 (r + t)¯ + (r − at)3 ¯sh3 (r − at)¯u(r, t) =+2rZ r+at1ξ cos ξ dξ.+2ar r−at ª ª ª ¢® ¢á¥© ¨â¥à¥áãî饩 á ®¡« á⨧ ¯¨á âì⢥â.u(r, t) =r+at > 0, â® ¬®¦®¯¯(r + at)3 sh3 (r + at) + (r − at)3 ¯sh3 (r − at)¯+2r1 ((r + at) sin(r + at) − (r − at) sin(r − at) − 2 sin r sin at).
◭+ 2ar27ਬ¥à 10.◮ utt = ∆u,u|t=0 = (y + z) arctg(y − z),ut |t=0 = 0.â®â ¯à¨¬¥à ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å ⥬, çâ® ¬ë ᤥ-« ¥¬ § ¬¥ã ¥§ ¢¨á¨¬ë寥६¥ëå:³´2222⇒ ∂ u2 + ∂ u2 = 2 ∂ u2 + ∂ u2∂y∂z∂ξ∂ηξ = y + z, η = y − z ⇒¨ § ¤ ç ¯à¨¬¥â ¢¨¤ utt = 2u,u|t=0 = ξ arctg η, ⇒ (â. ª. ∆ξ = 0)u = ξf (η, t) ⇒ut |t=0 = 0. ftt (η, t) = 2fηη (η, t),⇐⇒⇒ f |t=0 = arctg η,ft |t=0 = 0.√√arctg(η − 2t) + arctg(η + 2t)⇐⇒ f (η, t) =.2³1 arctg(y − z − √2t) + arctg(y −⢥â.
u(y, z, t) = (y + z) ·2√ ´◭− z + 2t) .§ 4.¥â®¤ ãàì¥ ®â१ª¥ áᬠâਢ ¥âáï ¬¥â®¤ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ãàì¥ ®â१ª¥ ¤«ï ãà ¢¥¨© £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ( ¯à¨¬¥à, ¢®«®¢®¥ ãà ¢¥¨¥) ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ( ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨¥ ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨) ⨯®¢.«ï ®âë᪠¨ï ᮡá⢥ëå äãª-権 ¨ ᮡá⢥ëå § 票© § ¤ ç¨ ¢®§¨ª ¥â ®¯¥à â®à= a2 (x)d22dxd + c(x).+ b(x) dxL∗1 = áᬠâਢ îâáï ¤¢ á«ãç ï: ®¯¥-à â®à −L∗1 ï¥âáï ®¯¥à â®à®¬ âãଠ{¨ã¢¨««ï ¨ ®¯¥à â®à −L∗1 ¥ ï¥âáï ®¯¥à â®à®¬ âãଠ{¨ã¢¨««ï.4.1.
¥â®¤ ãàì¥ ®â१ª¥, ª®£¤ ®¯¥à â®à−L∗1ï¥âáï ®¯¥à â®à®¬ âãଠ{¨ã¢¨««ï㤥¬ à áᬠâਢ âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨ ®â१ª¥:28 ¤ ç 8. utt + αut + βu = L1 u + f (x, t), t > 0, a < x < b,u|t=0 = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), a 6 x 6 b;(c1 u + d1 ux )|x=a = ϕ1 (t), (c2 u + d2 ux )|x=b = ϕ2 (t), t > 0,¨«¨ ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨: ¤ ç 9. ut + αu = L1 u + f (x, t), t > 0, a < x < b,u|= u0 (x), a 6 x 6 b; t=0(c1 u + d1 ux )|x=a = ϕ1 (t), (c2 u + d2 ux )|x=b = ϕ2 (t), t > 0,2∂ + c(x), α, β, c , d ∈ R.£¤¥ ®¯¥à â®à L1 ≡ a2 (x) ∂ 2 + b(x) ∂xi i∂x® á ç « à áᬮâਬ § ¤ ç¨ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ®¤®à®¤ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¨ ®¤®à®¤ë¬¨ ªà ¥¢ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨: ¤ ç 8*. utt + αut + βu = L1 u, t > 0, a < x < b,u|t=0 = u0 (x), ut |t=0 = u1 (x), a 6 x 6 b;(c1 u + d1 ux )|x=a = 0, (c2 u + d2 ux )|x=b = 0, t > 0,¨«¨ ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨: ¤ ç 9*. ut + αu = L1 u, t > 0, a < x < b,u|t=0 = u0 (x), a 6 x 6 b;(c1 u + d1 ux )|x=a = 0, (c2 u + d2 ux )|x=b = 0, t > 0. ®¡¥¨å § ¤ ç å, çâ® ¢ ¦®, ãà ¢¥¨ï ¨ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï| ®¤®à®¤ë¥.
ª¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¨ïâ® à¥è âì ¬¥â®¤®¬ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ãàì¥.I.«ï í⮣® ¯à®¢¥¤ñ¬ à §¤¥«¥¨¥ ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ®¤®à®¤ãà ¢¥¨¨ ¨ ®¤®à®¤ëå ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨ïå. ⮠ï¥âáï ª«îç¥¢ë¬ ¬®¬¥â®¬ ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¬¥â®¤ ãàì¥. 襬 á«ãç ¥ ¯®á«¥ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¯®«ãç âáï ®¡ëª®¢¥ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ¤àã£¨å § ¤ ç å, ¯à¨¬¥à, ¢ ⮬ ¦¥ ãà ¢¥¨¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠¨«¨ ¢®«®¢®¬, ® ¢ ¯à®áâà á⢥ ¡®«ì襩 à §¬¥à®áâ¨, ¯®«ãç îâáï ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ ãà ¢¥¨ï.饬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¬¥à, § ¤ ç¨ 9* ¢ ¢¨¤¥u(x, t) = T (t)X(x).®¬29®¤áâ ¢¨¬u(x, t) = T (t)X(x)¢ ãà ¢¥¨¥:′T (t)X(x) + αT (t)X(x) = T (t)L∗1 X(x) ⇐⇒T ′ (t)L∗ X(x)+α= 1= const = ν,T (t)X(x)£¤¥ ®¯¥à â®à2d + c(x)L∗1 = a2 (x) d 2 + b(x) dxdx(8)| ®¯¥à â®à 㦥 ᮡ몮¢¥ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨.¥¯¥àì à §¤¥«¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢ ®¤®à®¤ëå ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨ïå:c1 T (t)X(a) + d1 T (t)X ′ (a) = 0 ⇐⇒ c1 X(a) + d1 X ′ (a) = 0,c2 T (t)X(b) + d2 T (t)X ′ (b) = 0 ⇐⇒ c2 X(b) + d2 X ′ (b) = 0.«ïX(x)¢®§¨ª« ªà ¥¢ ï § ¤ ç ∗ L1 X(x) = νX(x), a < x < b,c X(a) + d1 X ′ (a) = 0, 1c2 X(b) + d2 X ′ (b) = 0.¥è¥¨¥ ¢á¥© § ¤ ç¨ 9* ⥯¥àì § ¢¨á¨â ®â à¥è¥¨ï í⮩ªà ¥¢®© § ¤ ç¨. ªà ¥¢ ï § ¤ ç , ª ª ¨§¢¥áâ®, ¥ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ | ¢áñ § ¢¨á¨â ®â ®¯¥à â®à ¯¥à â®à− div(p(x) grad) + q(x), p(x) > 0, q(x) > 0,âãଠ{¨ã¢¨««ï.L∗1 . §ë-¢ ¥âáï ®¯¥à â®à®¬ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥ ® ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤dL≡−dx ᫨µ¶dp(x)+ q(x).dxL∗1 = −L, â® ãá«®¢¨ï § ¤ ç¨ ¯à¨¬ãâ ¢¨¤ LX(x) = −νX(x), a < x < b,c1 X(a) + d1 X ′ (a) = 0,c2 X(b) + d2 X ′ (b) = 0. ª ï § ¤ ç §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 âãଠ{¨ã¢¨««ï.î¡®¥ ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ §ë¢ ¥âáïᮡá⢥®© äãªæ¨¥© § ¤ ç¨ âãଠ{¨ã¢¨««ï, ⥠(−ν),¯à¨ ª®â®àëå â ª®¢ë¥ áãé¥áâ¢ãîâ, §ë¢ îâáï ᮡá⢥묨§ 票ﬨ § ¤ ç¨ âãଠ{¨ã¢¨««ï.30 ⥮ਨ ªãàá ¤®ª §ë¢ ¥âáï,çâ® ¥á«¨p(x) > p0 > 0, q(x) ∈ C[a; b], q(x) > 0,票© áçñ⮥ ¬®¦¥á⢮,= λ2 ,ª ¦¤®¬ãp(x) ∈ C 1 [a; b],⮠ᮡá⢥ëå § -®¨ ¥®âà¨æ ⥫ìë,ᮡá⢥®¬ã§ 票îâ.