Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова (1188241), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

 áᬮâਬp(r) > p0 > 0­¥ ï¢-­¥ ¢ë¯®«­¥­®,¯®â®¬ã çâ®®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ˜âãà-¬ {‹¨ã¢¨««ï:d−dxµdyp(x)dx¶+ q(x)y(x) = λy(x).◮ ‚ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ p(x) > p0 > 0, q(x) > 0, p(x) ∈∈ C 1 [a; b], q(x) ∈ C[a; b]. ® ­¥ ¢á¥£¤ íâ® ¢ë¯®«­¥­® | ¡ë¢ ¥â,çâ® p(x) = 0 ¢ ®¤­®¬ ¨«¨ ®¡®¨å ª®­æ å ®â१ª .Š ª íâ® ¢«¨ï¥â ­ à¥è¥­¨ï?‚믨襬 ¢à®­áª¨ ­ äã­¤ ¬¥­â «ì­®© á¨á⥬ë à¥è¥­¨©:¯¯ y1 (x)¯¯ y ′ (x)1¯R p′ (x)C∗y2 (x) ¯¯− p(x)= Ce− ln |p(x)| =.=Ce′¯y2 (x)p(x)Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨p(x)¢ ª ª®©-­¨¡ã¤ì â®çª¥ ®¡à -é ¥âáï ¢ 0, â® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ãå «¨­¥©­®-­¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥­¨©y(x) ∈ C 1 [a; b].®í⮬㠧 ¤ ç , ¥á«¨ ¨¬¥¥â, ⮠⮫쪮 ®¤­® à¥è¥­¨¥, ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤­®© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨, ¢ ª®â®à®©p(x) = 0.◭ á ¨­â¥à¥áã¥â à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï 2-£® ¯®à浪 ­ ®â१ª¥[0; r0 ]| ®­®, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ®£à ­¨ç¥­® ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤-­®©.„«ï ­ è¨å § ¤ ç ¤®áâ â®ç­® ¢ë­¥á⨠ãá«®¢¨¥ ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯à¨r=0¢ ãá«®¢¨¥ ¨á室­®©§ ¤ ç¨ 11**, ¨ ®­® ï-¥âáï ¢â®à®© ç áâìî ®¤­®à®¤­®£® ãá«®¢¨ï ­ £à ­¨æ¥ ¯à¨ ­ -48宦¤¥­¨¨ ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 § ¤ ç¨.

Žª®­ç ⥫쭮 § ¤ ç ¯à¨¬¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤.‡ ¤ ç 10.utt + but + cu = a2 ∆u + f (t, r, ϕ), r < r0 , t > 0, u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|t=0 = u0 (r, ϕ),¯ ut |t=0 = u1 (r, ϕ), r 6 r0 , u|r=r = 0, |u|¯¯< ∞.0r=0 è § ¤ ç ˜âãଠ{‹¨ã¢¨««ï ⥯¥àì ¨¬¥¥â ¢¨¤(2−(rRn′ (r))′ + nr Rn (r) = λ2 rRn (r), r < r0 ,Rn (r0 ) = 0, |Rn (0)| < ∞.Rn (r) ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ n ¨ à §«¨ç­ëåλm (r) ¨ Rλk (r) ®à⮣®­ «ì­ë á ý¢¥á®¬ r þ:¯®­ïâ­ë: RnnRλ ráâ «¨0λλmkrRRdr=0,λ=6λ¨¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯®«­ãî ¢ L2 [0; r0 ]mknn0ˆâ ª, ᢮©á⢠á¨á⥬ã.Žáâ «®áì à¥è¨âì íâã § ¤ çã.‘¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå (ã ­ ád , R (r) = R̃ (x)= λ dxnnd =λ2 > 0): λr = x ⇒ dr¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¯®-¤à㣮¬ã.’®£¤ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ ãà ¢­¥­¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 n:x2 R̃′′n (x) + xR̃′n (x) + (x2 − n2 )R̃n (x) = 0.’ ª ª ªp(0) = 0, â®, ¢ ᨫ㠮âáâ㯫¥­¨ï*, ¬®¦¥â áãé¥á⢮-¢ âì ⮫쪮 ®¤­® ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤­®© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠0 à¥è¥­¨¥.

’ ª®¥ à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ®­® ­ §ë¢ ¥âáïä㭪樥© ¥áá¥«ï ¯®à浪 n:Rn (r) = R̃n (λr) = Jn (λr).®¤áâ ¢¨¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥:Rn (r0 ) = R̃n (λr0 ) = 0 ⇐⇒ Jn (λr0 ) = 0 ⇐⇒(n)⇐⇒ λr0 = µk ,(n)⇐⇒ λk =(n)µk,r0k = 1, 2, . . . ⇐⇒k = 1, 2, . . . ⇒49⇒Rnk (r)= JnÃ!(n)µkr ,r0k = 1, 2, .

. . ,(n)µk | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë©(n)(n)Jn (x): Jn (µk ) = 0, µk > 0, k ∈ N.‡¤¥á쪮७ìà¨ í⮬ ¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬­ëå ä㭪権ý¢¥á®¬þr:R r00JnµrJn(n)µkr0 rµ(n)¶µkr0 rnn = 0, 1, 2, . . .ä㭪樨¥áᥫïá¨á⥬ ᮡá⢥­-L2 [0; r0 ] ¨ ®à⮣®­ «ì­ ¶(n)µlr0 r dr = 0, k 6= l.¯®«­ ¢¶JnµŽâáî¤ á«¥¤ã¥â: ¤«ï à¥è¥­¨ï ¢á¥© § ¤ 稭¥®¡å®¤¨¬®á§ -¯®¬­¨âì, çâ®∆vnk = −Ã(n)µkr0Ã!2vnk =!!(n)µk= ∆ Inr (An cos nϕ + Bn sin nϕ) =r0à (n) !2 à à (n) !!µkµk=−r (An cos nϕ + Bn sin nϕ) ,Inr0r0Ãn ∈ N ∪ {0},III.k ∈ N. 室¨¬ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® ¢á¥¬ ᮡá⢥­-­ë¬ äã­ªæ¨ï¬ á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨, § ¢¨áï騬¨ ®âu(t, r, ϕ) =∞∞ XXt:Tnk (t)vnk (r, ϕ).n=0 k=1t à §f (t, r, ϕ) ¢ àï¤ ”ãàì¥ ¯® á¨á⥬¥ ᮡá⢥­­ëå ä㭪権∞∞ PPfnk (t)vnk (r, ϕ).

’® ¦¥ ¯à¨¤ñâáï ᤥ« âì ¨ áf (t, r, ϕ) =…᫨ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥®¤­®à®¤­®¥, â® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬« £ ¥¬n=0 k=1­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:u0 (r, ϕ) =∞∞ XXgnk vnk (r, ϕ),u1 (r, ϕ) =k=1 n=0â® ¬®¦­® ᤥ« âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮.50∞∞ XXk=1 n=0hnk vnk (r, ϕ),‘­ ç « ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ­­ëå §­ 祭¨ïåt ¨ r äã­ªæ¨î f (t, r, ϕ) ¢ §­ ª®¬ë© àï¤ ¯® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª®©á¨á⥬¥:f (t, r, ϕ) =∞Xan (t, r) cos nϕ +∞Xbn (t, r) sin nϕ,10=0 § ⥬ ª ¦¤ë© ª®íää¨æ¨¥­â ¯® á¨á⥬¥ ä㭪権 ¥áᥫï. ¯à¨¬¥à,an (t, r) =∞Xcnk (t)Ink=1Ã(n)µkrr0!⇐⇒ Rr00⇐⇒ cnk (t) =µ(n)µkr0 r¶ran (t, r)Indr.µ (n) ¶R r0µk20 rInr0 r drŠ ᮦ «¥­¨î, ªà®¬¥ ­ ¯¨á ­¨ï ä®à¬ã«, ¬ë ­¨ç¥£® ¢ëç¨á«¨âì ­¥ ¬®¦¥¬ | â ª ¨å ¨ ®áâ ¢«ï¥¬.®¤áâ ¢«ï¥¬ ¯®«ã祭­ë¥ àï¤ë ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ­ ç «ì­ë¥ãá«®¢¨ï: ∞ ∞∞∞ PPP P ′′′ (t)v (r, ϕ)+TnkTnk (t)vnk (r, ϕ) + bnkn=0 k=1n=0 k=1∞∞P PTnk (t)vnk (r, ϕ) =+cn=0 k=1µ (n) ¶2∞∞ PPµ2 = −avnk (r, ϕ)+Tnk (t) rk0n=0 k=1⇐⇒∞∞ PPf(t)v(r,ϕ),+nknkn=0 k=1∞ P∞∞ P∞PPTnk (0)vnk (r, ϕ) =gnk vnk (r, ϕ),n=0 k=1n=0 k=1∞∞ P∞∞ PPP′ (0)v (r, ϕ) =hnk vnk (r, ϕ).Tnknkn=0 k=1n=0 k=1µ (n) ¶2 ′′µk′2Tnk (t) + fnk (t),r0⇔ Tnk (t) + bTnk (t) + cTnk (t) = −a′Tnk (0) = gnk , Tnk (0) = hnk .®«ã稫¨Tnk (t),§ ¤ 稊®è¨¤«ïãà ¢­¥­¨©®â­®á¨â¥«ì­®ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ à¥è¥­¨ï.51‚몫 ¤ª¨ §¤¥áì £à®¬®§¤ª¨¥ | ¯®í⮬㠢 ­ è¨å § ¤ ç åç é¥ ¢á¥£® ¯®¯ ¤ îâáï â ª¨¥ ᢮¡®¤­ë¥ ç«¥­ë ¨ ­ ç «ì­ë¥ãá«®¢¨ï, £¤¥ ¬®¦­® ®£à ­¨ç¨âìáï ®¤­®¬¥à­ë¬¨ àï¤ ¬¨ ¯®äã­ªæ¨ï¬ ¥áᥫï.à¨¬¥à 16.´³1 µ(3) r cos 3ϕ + f (r) sin 2ϕ,u=5∆u−3u+Jt34 2r < 4, t > 0, u = u(r, ϕ, t),u|=f(r)cos3ϕ,t=0 u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞,(3)£¤¥ f (r) | £« ¤ª ï ­ [0; 4] äã­ªæ¨ï, µ2 | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë©­ã«ì ä㭪樨 ¥áᥫï J3 , ∆u = uxx + uyy , x = r cos ϕ, y == r sin ϕ.◮ ’ ª ª ª ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ­ ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢å®¤ïâ ⮫쪮sin 2ϕ, cos 3ϕ, â® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¬®¦­® áà §ã¨áª âìµ (3)¶ ¢ ¢¨¤¥∞PµkTk (t)J3áã¬¬ë ¤¢ãå à冷¢ u(t, r, ϕ) =4 r cos 3ϕ +1µ (2) ¶∞Pµk+ Qk (t)J24 r sin 2ϕ, ¬®¦­® ®â¤¥«ì­® à¥è¨âì ¤¢¥ § 1¤ ç¨.à¨¬¥à 16*.µ (3) ¶µ2ut = 5∆u − 3u + J34 r cos 3ϕ,r < 4, t > 0, u = u(t, r, ϕ),u|=f(r)cos 3ϕ,t=0u(t,r,ϕ)=u(t,r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞.à¨¬¥à 16**.ut = 5∆u − 3u + f (r) sin 2ϕ, r < 4, t > 0, u = u(t, r, ϕ),u|t=0 = 0,u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞.¥è¥­¨¥ ¯¥à¢®© § ¤ ç¨ |52à¨¬¥à 16*.ˆé¥¬ à¥è¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ u(t, r, ϕ) =∞PTk (t)J31µ(3)µk4 r¶cos 3ϕ.®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ¯à¨à ¢­¨¢ ¥¬ ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨«¨­¥©­®-­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¬­®¦¨â¥«ïå:à µ!¶(3) 2µ′k+ 3 , k 6= 2, Tk (t) = −Tk (t) 54!à µ¶(3) 2µ2′+ 3 + 1. T2 (t) = −T2 (t) 54’¥¯¥àì ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ t = 0: Tk (0) = ak , £¤¥f (r) =∞Xak J3k=1Ã(3)µkr4¥è ¥¬ § ¤ ç¨ Š®è¨:−5Tk (t) = ak eT2 (t) =(3)µk4!2!µ (3) ¶µkrf(r)J304 r dr⇒ ak =.µ¶R 4 2 µ(3)k0 rJ34 r drR4+3t, k 6= 2,−51µ (3)¶2 1 − eµ25 4 +3!(3) 2µ2+3t45−+ a2 e¥è¥­¨¥ ¢â®à®© § ¤ ç¨ |!(3) 2µ2+3t4.à¨¬¥à 16**. §«®¦¨¬ ᢮¡®¤­ë© ç«¥­ ¢ àï¤ ”ãàì¥:!(2)µkrf (r)J2µ¶∞04 r drX1 (2)!Ãbk J2f (r) =.µ r , £¤¥ bk =R 4 2 µ(2)4 kk1rJ204 r drR4Ï®«ã稬 à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ Ã (2) !∞XµkQk (t)J2u(t, r, ϕ) =r sin 2ϕ.4153®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ­ ç «ì­®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®«ã稬 Ã!(2) 2µkQ′k (t) = −Qk (t) 5+ 3 + bk , Qk (0) = 0 ⇐⇒4!2−5bk!⇐⇒ Qk (t) = à µ¶1 − e2(2)µk5+34∞Pµ(3)µk4 r(2)µk4+3t.¶u(r, ϕ, t) = Tk (t)J3cos 3ϕ +1¶µ(2)∞Pµk+ Qk (t)J24 r sin 2ϕ, £¤¥ ¢á¥ ¢å®¤ï騥 áî¤ ¢ëà ¦¥­¨ïŽâ¢¥â.1®¯à¥¤¥«¥­ë ¢ëè¥.§ 6.◭««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï‚ ®â«¨ç¨¥ ®â á¬¥è ­­ëå § ¤ ç, à áᬮâ७­ëå ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à ä å, ¤«ï í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© áâ ¢¨âáï⮫쪮 ªà ¥¢ ï § ¤ ç :(£¤¥nx∈∂D| ¢­¥è­ïï ­®à¬ «ì ª £à ­¨æ¥ ®¡« á⨏ਠí⮬, ¥á«¨¥á«¨∆ux ∈ D,³ = f (x), ´¯¯∂uαu + β ∂n ¯= u0 (x),α = 0,β = 0,D.§ ¤ ç ­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 „¨à¨å«¥,§ ¤ ç ­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ¥©¬ ­ , ¥á«¨§ ¤ ç ­ §ë¢ ¥âáï á¬¥è ­­®© § ¤ 祩.αβ 6= 0,‡ ¤ ç¨ ¡ã¤ãâ à¥è âìáï ¢ ¯®«ïà­ëå ¨«¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨­ â å.

‡ ¤ ­­ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à®¨§¢®«ì­ë¥, ­¥®¤­®à®¤­ë¥. Ž¤­®à®¤­ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 ¢®§­¨ª îâ ¨§-§ ⮣®, çâ® ®¡« á⨠¨¬¥îâ á¯¥æ¨ «ì­ë© ¢¨¤, ¯®â®¬ã à¥è¥­¨¥ ¤®«¦­® ¨¬¥âì ¯¥à¨®¤¢ á«ãç ¥ R3 ¯à¨¡ ¢«ïîâáï ãá«®¢¨ïθ = 0, θ = π2π ,(ãà ¢­¥­¨¥‹ ¯« á ¢ ­®¢ëå ª®®à¤¨­ â å ¯à¨ í⮬ ¨¬¥¥â ®á®¡¥­­®áâì).54 6.1. “à ¢­¥­¨¥ ‹ ¯« á ¢R2‡ ¤ ç¨ ¡ã¤¥¬ à¥è âì ¢­ãâਠªà㣠, ¢­¥ ªà㣠¨«¨ ¢­ãâਪ®«ìæ . ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â § ¤ ç £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ , à áᬮâ७­ëå ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ªà ¥¢ë¥ãá«®¢¨ï­¥®¤­®à®¤­ë¥.¥è¥­¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â å.€ ⮣¤ , ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å § ¤ ç å ­ ªà㣫®© ¬¥¬¡à ­¥,®¯ïâì ­¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ëu(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π).ã¤¥¬ à¥è âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨.‡ ¤ ç 11.‡ ¤ ç 12.‡ ¤ ç 13.I. ∆u = f (r, ϕ), r < R0(αu + βur )|r=R0 = u0 (ϕ), u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ).∆u = f (r, ϕ), R1 < r < R2 ,(α1 u + β1 ur )|r=R1 = u0 (ϕ),(α u + β2 ur )|r=R1 = u1 (ϕ), 2 u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ). ∆u = f (r, ϕ), r > R0 ,(αu + βur )|r=R0 = u0 (ϕ),u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ).à¨ à¥è¥­¨¨ ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ã áá®­ ¯à¥¦¤¥¢á¥£® ­ 室¨¬ ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ w0 (r, ϕ), w0 (r, ϕ + 2π)== w0 (r, ϕ), § ⥬ ¤¥« ¥¬ ᤢ¨£ v = u−w0 (r, ϕ), ᢮¤ï ãà ¢­¥­¨¥ã áá®­ ª ãà ¢­¥­¨î ‹ ¯« á .à¨ í⮬ ¬®£ãâ ¨§¬¥­¨âìáï­¥®¤­®à®¤­ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï.

 ¯à¨¬¥à, ¢ § ¤ ç¥ 11:v = u − w0 ⇐⇒ u = v + w0 ⇒ ∆v = 0, r < R0 ;⇒ (αv + βvr )|r=R0 = u0 (ϕ) − (αw0 + βw0r )|r=R0 = v0 (ϕ),v(r, ϕ + 2π) = v(r, ϕ).II.’¥¯¥àì ãà ¢­¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®¥, ®áâ «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï, ªà®¬¥ªà ¥¢®£®, ⮦¥ ®¤­®à®¤­ë¥ | ¯à¨áâ㯠¥¬ ª® ¢â®à®¬ã ¯ã­ªâ㬥⮤ ”ãàì¥ | ¬®¦¥¬ ¤¥«¨âì ¯¥à¥¬¥­­ë¥.ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï= 0 ¢ ¢¨¤¥ u = R(r)Φ(ϕ).∂ r ∂u + 1 ∂ 2 u =∆v ≡ 1r ∂r∂r r2 ∂ϕ2®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ®¤­®à®¤­®¥55ãá«®¢¨¥Φ(ϕ)r(rR′ (r))′ + R(r)Φ′′ (ϕ) = 0 ⇐⇒Φ′′ (ϕ)r(rR′ (r))′=−= const = µ2 ,⇐⇒R(r)Φ(ϕ)R(r)Φ(ϕ + 2πk) = R(r)Φ(ϕ) ⇐⇒ Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).const = µ2 ,Œë áà §ã ­ ¯¨á «¨, çâ®â.

Характеристики

Список файлов книги