Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Методы решения основных задач уравнений математической физики - Колесникова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
áᬮâਬp(r) > p0 > 0¥ ï¢-¥ ¢ë¯®«¥®,¯®â®¬ã çâ®®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ âãà-¬ {¨ã¢¨««ï:d−dxµdyp(x)dx¶+ q(x)y(x) = λy(x).◮ ª« áá¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ p(x) > p0 > 0, q(x) > 0, p(x) ∈∈ C 1 [a; b], q(x) ∈ C[a; b]. ® ¥ ¢á¥£¤ íâ® ¢ë¯®«¥® | ¡ë¢ ¥â,çâ® p(x) = 0 ¢ ®¤®¬ ¨«¨ ®¡®¨å ª®æ å ®â१ª . ª íâ® ¢«¨ï¥â à¥è¥¨ï?믨襬 ¢à®áª¨ ä㤠¬¥â «ì®© á¨á⥬ë à¥è¥¨©:¯¯ y1 (x)¯¯ y ′ (x)1¯R p′ (x)C∗y2 (x) ¯¯− p(x)= Ce− ln |p(x)| =.=Ce′¯y2 (x)p(x)âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨p(x)¢ ª ª®©-¨¡ã¤ì â®çª¥ ®¡à -é ¥âáï ¢ 0, â® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ãå «¨¥©®-¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©y(x) ∈ C 1 [a; b].®í⮬㠧 ¤ ç , ¥á«¨ ¨¬¥¥â, ⮠⮫쪮 ®¤® à¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨, ¢ ª®â®à®©p(x) = 0.◭ á ¨â¥à¥áã¥â à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï 2-£® ¯®à浪 ®â१ª¥[0; r0 ]| ®®, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®£à ¨ç¥® ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤-®©.«ï è¨å § ¤ ç ¤®áâ â®ç® ¢ë¥á⨠ãá«®¢¨¥ ®£à ¨ç¥®á⨠¯à¨r=0¢ ãá«®¢¨¥ ¨á室®©§ ¤ ç¨ 11**, ¨ ®® ï-¥âáï ¢â®à®© ç áâìî ®¤®à®¤®£® ãá«®¢¨ï £à ¨æ¥ ¯à¨ -48宦¤¥¨¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© § ¤ ç¨.
ª®ç â¥«ì® § ¤ ç ¯à¨¬¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤. ¤ ç 10.utt + but + cu = a2 ∆u + f (t, r, ϕ), r < r0 , t > 0, u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|t=0 = u0 (r, ϕ),¯ ut |t=0 = u1 (r, ϕ), r 6 r0 , u|r=r = 0, |u|¯¯< ∞.0r=0 è § ¤ ç âãଠ{¨ã¢¨««ï ⥯¥àì ¨¬¥¥â ¢¨¤(2−(rRn′ (r))′ + nr Rn (r) = λ2 rRn (r), r < r0 ,Rn (r0 ) = 0, |Rn (0)| < ∞.Rn (r) ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ n ¨ à §«¨çëåλm (r) ¨ Rλk (r) ®à⮣® «ìë á ý¢¥á®¬ r þ:¯®ïâë: RnnRλ ráâ «¨0λλmkrRRdr=0,λ=6λ¨¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯®«ãî ¢ L2 [0; r0 ]mknn0â ª, ᢮©á⢠á¨á⥬ã.áâ «®áì à¥è¨âì íâã § ¤ çã.¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå (ã ád , R (r) = R̃ (x)= λ dxnnd =λ2 > 0): λr = x ⇒ dr¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¯®-¤à㣮¬ã.®£¤ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 n:x2 R̃′′n (x) + xR̃′n (x) + (x2 − n2 )R̃n (x) = 0. ª ª ªp(0) = 0, â®, ¢ ᨫ㠮âáâ㯫¥¨ï*, ¬®¦¥â áãé¥á⢮-¢ âì ⮫쪮 ®¤® ®£à ¨ç¥®¥ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠0 à¥è¥¨¥.
ª®¥ à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ®® §ë¢ ¥âáïäãªæ¨¥© ¥áá¥«ï ¯®à浪 n:Rn (r) = R̃n (λr) = Jn (λr).®¤áâ ¢¨¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥:Rn (r0 ) = R̃n (λr0 ) = 0 ⇐⇒ Jn (λr0 ) = 0 ⇐⇒(n)⇐⇒ λr0 = µk ,(n)⇐⇒ λk =(n)µk,r0k = 1, 2, . . . ⇐⇒k = 1, 2, . . . ⇒49⇒Rnk (r)= JnÃ!(n)µkr ,r0k = 1, 2, .
. . ,(n)µk | ¯®«®¦¨â¥«ìë©(n)(n)Jn (x): Jn (µk ) = 0, µk > 0, k ∈ N.¤¥á쪮à¥ìਠí⮬ ¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ®¬ëå äãªæ¨©ý¢¥á®¬þr:R r00JnµrJn(n)µkr0 rµ(n)¶µkr0 rnn = 0, 1, 2, . . .äãªæ¨¨¥áᥫïá¨á⥬ ᮡá⢥-L2 [0; r0 ] ¨ ®à⮣® «ì ¶(n)µlr0 r dr = 0, k 6= l.¯®« ¢¶Jnµâáî¤ á«¥¤ã¥â: ¤«ï à¥è¥¨ï ¢á¥© § ¤ 稥®¡å®¤¨¬®á§ -¯®¬¨âì, çâ®∆vnk = −Ã(n)µkr0Ã!2vnk =!!(n)µk= ∆ Inr (An cos nϕ + Bn sin nϕ) =r0à (n) !2 à à (n) !!µkµk=−r (An cos nϕ + Bn sin nϕ) ,Inr0r0Ãn ∈ N ∪ {0},III.k ∈ N. 室¨¬ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® ¢á¥¬ ᮡá⢥-ë¬ äãªæ¨ï¬ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, § ¢¨áï騬¨ ®âu(t, r, ϕ) =∞∞ XXt:Tnk (t)vnk (r, ϕ).n=0 k=1t à §f (t, r, ϕ) ¢ àï¤ ãàì¥ ¯® á¨á⥬¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨©∞∞ PPfnk (t)vnk (r, ϕ).
® ¦¥ ¯à¨¤ñâáï ᤥ« âì ¨ áf (t, r, ϕ) = ᫨ ãà ¢¥¨¥ ¥®¤®à®¤®¥, â® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬« £ ¥¬n=0 k=1 ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨:u0 (r, ϕ) =∞∞ XXgnk vnk (r, ϕ),u1 (r, ϕ) =k=1 n=0â® ¬®¦® ᤥ« âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®.50∞∞ XXk=1 n=0hnk vnk (r, ϕ), ç « ¬®¦® à §«®¦¨âì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ëå § 票ïåt ¨ r äãªæ¨î f (t, r, ϕ) ¢ § ª®¬ë© àï¤ ¯® âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®©á¨á⥬¥:f (t, r, ϕ) =∞Xan (t, r) cos nϕ +∞Xbn (t, r) sin nϕ,10=0 § ⥬ ª ¦¤ë© ª®íää¨æ¨¥â ¯® á¨á⥬¥ äãªæ¨© ¥áᥫï. ¯à¨¬¥à,an (t, r) =∞Xcnk (t)Ink=1Ã(n)µkrr0!⇐⇒ Rr00⇐⇒ cnk (t) =µ(n)µkr0 r¶ran (t, r)Indr.µ (n) ¶R r0µk20 rInr0 r dr ᮦ «¥¨î, ªà®¬¥ ¯¨á ¨ï ä®à¬ã«, ¬ë ¨ç¥£® ¢ëç¨á«¨âì ¥ ¬®¦¥¬ | â ª ¨å ¨ ®áâ ¢«ï¥¬.®¤áâ ¢«ï¥¬ ¯®«ãç¥ë¥ àï¤ë ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ç «ìë¥ãá«®¢¨ï: ∞ ∞∞∞ PPP P ′′′ (t)v (r, ϕ)+TnkTnk (t)vnk (r, ϕ) + bnkn=0 k=1n=0 k=1∞∞P PTnk (t)vnk (r, ϕ) =+cn=0 k=1µ (n) ¶2∞∞ PPµ2 = −avnk (r, ϕ)+Tnk (t) rk0n=0 k=1⇐⇒∞∞ PPf(t)v(r,ϕ),+nknkn=0 k=1∞ P∞∞ P∞PPTnk (0)vnk (r, ϕ) =gnk vnk (r, ϕ),n=0 k=1n=0 k=1∞∞ P∞∞ PPP′ (0)v (r, ϕ) =hnk vnk (r, ϕ).Tnknkn=0 k=1n=0 k=1µ (n) ¶2 ′′µk′2Tnk (t) + fnk (t),r0⇔ Tnk (t) + bTnk (t) + cTnk (t) = −a′Tnk (0) = gnk , Tnk (0) = hnk .®«ã稫¨Tnk (t),§ ¤ 種訤«ïãà ¢¥¨©®â®á¨â¥«ì®ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¥¤¨áâ¢¥ë¥ à¥è¥¨ï.51몫 ¤ª¨ §¤¥áì £à®¬®§¤ª¨¥ | ¯®í⮬㠢 è¨å § ¤ ç åç é¥ ¢á¥£® ¯®¯ ¤ îâáï â ª¨¥ ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë ¨ ç «ìë¥ãá«®¢¨ï, £¤¥ ¬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï ®¤®¬¥à묨 àï¤ ¬¨ ¯®äãªæ¨ï¬ ¥áᥫï.ਬ¥à 16.´³1 µ(3) r cos 3ϕ + f (r) sin 2ϕ,u=5∆u−3u+Jt34 2r < 4, t > 0, u = u(r, ϕ, t),u|=f(r)cos3ϕ,t=0 u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞,(3)£¤¥ f (r) | £« ¤ª ï [0; 4] äãªæ¨ï, µ2 | ¯®«®¦¨â¥«ìë©ã«ì äãªæ¨¨ ¥áᥫï J3 , ∆u = uxx + uyy , x = r cos ϕ, y == r sin ϕ.◮ ª ª ª ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¢å®¤ïâ ⮫쪮sin 2ϕ, cos 3ϕ, â® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¬®¦® áà §ã¨áª âìµ (3)¶ ¢ ¢¨¤¥∞PµkTk (t)J3áã¬¬ë ¤¢ãå à冷¢ u(t, r, ϕ) =4 r cos 3ϕ +1µ (2) ¶∞Pµk+ Qk (t)J24 r sin 2ϕ, ¬®¦® ®â¤¥«ì® à¥è¨âì ¤¢¥ § 1¤ ç¨.ਬ¥à 16*.µ (3) ¶µ2ut = 5∆u − 3u + J34 r cos 3ϕ,r < 4, t > 0, u = u(t, r, ϕ),u|=f(r)cos 3ϕ,t=0u(t,r,ϕ)=u(t,r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞.ਬ¥à 16**.ut = 5∆u − 3u + f (r) sin 2ϕ, r < 4, t > 0, u = u(t, r, ϕ),u|t=0 = 0,u(t, r, ϕ) = u(t, r, ϕ + 2π),u|r=4 = 0, |u(0)| < ∞.¥è¥¨¥ ¯¥à¢®© § ¤ ç¨ |52ਬ¥à 16*.饬 à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ u(t, r, ϕ) =∞PTk (t)J31µ(3)µk4 r¶cos 3ϕ.®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨«¨¥©®-¥§ ¢¨á¨¬ëå ¬®¦¨â¥«ïå:à µ!¶(3) 2µ′k+ 3 , k 6= 2, Tk (t) = −Tk (t) 54!à µ¶(3) 2µ2′+ 3 + 1. T2 (t) = −T2 (t) 54¥¯¥àì ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ t = 0: Tk (0) = ak , £¤¥f (r) =∞Xak J3k=1Ã(3)µkr4¥è ¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨:−5Tk (t) = ak eT2 (t) =(3)µk4!2!µ (3) ¶µkrf(r)J304 r dr⇒ ak =.µ¶R 4 2 µ(3)k0 rJ34 r drR4+3t, k 6= 2,−51µ (3)¶2 1 − eµ25 4 +3!(3) 2µ2+3t45−+ a2 e¥è¥¨¥ ¢â®à®© § ¤ ç¨ |!(3) 2µ2+3t4.ਬ¥à 16**. §«®¦¨¬ ᢮¡®¤ë© ç«¥ ¢ àï¤ ãàì¥:!(2)µkrf (r)J2µ¶∞04 r drX1 (2)!Ãbk J2f (r) =.µ r , £¤¥ bk =R 4 2 µ(2)4 kk1rJ204 r drR4î«ã稬 à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ Ã (2) !∞XµkQk (t)J2u(t, r, ϕ) =r sin 2ϕ.4153®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®«ã稬 Ã!(2) 2µkQ′k (t) = −Qk (t) 5+ 3 + bk , Qk (0) = 0 ⇐⇒4!2−5bk!⇐⇒ Qk (t) = à µ¶1 − e2(2)µk5+34∞Pµ(3)µk4 r(2)µk4+3t.¶u(r, ϕ, t) = Tk (t)J3cos 3ϕ +1¶µ(2)∞Pµk+ Qk (t)J24 r sin 2ϕ, £¤¥ ¢á¥ ¢å®¤ï騥 áî¤ ¢ëà ¦¥¨ï⢥â.1®¯à¥¤¥«¥ë ¢ëè¥.§ 6.◭««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ®â«¨ç¨¥ ®â ᬥè ëå § ¤ ç, à áᬮâà¥ëå ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à ä å, ¤«ï í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© áâ ¢¨âáï⮫쪮 ªà ¥¢ ï § ¤ ç :(£¤¥nx∈∂D| ¢¥èïï ®à¬ «ì ª £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨à¨ í⮬, ¥á«¨¥á«¨∆ux ∈ D,³ = f (x), ´¯¯∂uαu + β ∂n ¯= u0 (x),α = 0,β = 0,D.§ ¤ ç §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ¨à¨å«¥,§ ¤ ç §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ¥©¬ , ¥á«¨§ ¤ ç §ë¢ ¥âáï á¬¥è ®© § ¤ 祩.αβ 6= 0, ¤ ç¨ ¡ã¤ãâ à¥è âìáï ¢ ¯®«ïàëå ¨«¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å.
¤ ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¯à®¨§¢®«ìë¥, ¥®¤®à®¤ë¥. ¤®à®¤ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï 宦¤¥¨ï ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¢®§¨ª îâ ¨§-§ ⮣®, çâ® ®¡« á⨠¨¬¥îâ á¯¥æ¨ «ìë© ¢¨¤, ¯®â®¬ã à¥è¥¨¥ ¤®«¦® ¨¬¥âì ¯¥à¨®¤¢ á«ãç ¥ R3 ¯à¨¡ ¢«ïîâáï ãá«®¢¨ïθ = 0, θ = π2π ,(ãà ¢¥¨¥ ¯« á ¢ ®¢ëå ª®®à¤¨ â å ¯à¨ í⮬ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®áâì).54 6.1. à ¢¥¨¥ ¯« á ¢R2 ¤ ç¨ ¡ã¤¥¬ à¥è âì ¢ãâਠªà㣠, ¢¥ ªà㣠¨«¨ ¢ãâਪ®«ìæ . ®â«¨ç¨¥ ®â § ¤ ç £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ , à áᬮâà¥ëå ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ªà ¥¢ë¥ãá«®¢¨ï¥®¤®à®¤ë¥.¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å. ⮣¤ , ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å § ¤ ç å ªà㣫®© ¬¥¬¡à ¥,®¯ïâì ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ëu(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π).㤥¬ à¥è âì á«¥¤ãî騥 § ¤ ç¨. ¤ ç 11. ¤ ç 12. ¤ ç 13.I. ∆u = f (r, ϕ), r < R0(αu + βur )|r=R0 = u0 (ϕ), u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ).∆u = f (r, ϕ), R1 < r < R2 ,(α1 u + β1 ur )|r=R1 = u0 (ϕ),(α u + β2 ur )|r=R1 = u1 (ϕ), 2 u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ). ∆u = f (r, ϕ), r > R0 ,(αu + βur )|r=R0 = u0 (ϕ),u(r, ϕ + 2π) = u(r, ϕ).ਠà¥è¥¨¨ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ã áá® ¯à¥¦¤¥¢á¥£® 室¨¬ ç á⮥ à¥è¥¨¥ w0 (r, ϕ), w0 (r, ϕ + 2π)== w0 (r, ϕ), § ⥬ ¤¥« ¥¬ ᤢ¨£ v = u−w0 (r, ϕ), ᢮¤ï ãà ¢¥¨¥ã áá® ª ãà ¢¥¨î ¯« á .ਠí⮬ ¬®£ãâ ¨§¬¥¨âìá葉¤®à®¤ë¥ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï.
¯à¨¬¥à, ¢ § ¤ ç¥ 11:v = u − w0 ⇐⇒ u = v + w0 ⇒ ∆v = 0, r < R0 ;⇒ (αv + βvr )|r=R0 = u0 (ϕ) − (αw0 + βw0r )|r=R0 = v0 (ϕ),v(r, ϕ + 2π) = v(r, ϕ).II.¥¯¥àì ãà ¢¥¨¥ ®¤®à®¤®¥, ®áâ «ìë¥ ãá«®¢¨ï, ªà®¬¥ªà ¥¢®£®, ⮦¥ ®¤®à®¤ë¥ | ¯à¨áâ㯠¥¬ ª® ¢â®à®¬ã ¯ãªâ㬥⮤ ãàì¥ | ¬®¦¥¬ ¤¥«¨âì ¯¥à¥¬¥ë¥.㤥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï= 0 ¢ ¢¨¤¥ u = R(r)Φ(ϕ).∂ r ∂u + 1 ∂ 2 u =∆v ≡ 1r ∂r∂r r2 ∂ϕ2®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ ¨ ®¤®à®¤®¥55ãá«®¢¨¥Φ(ϕ)r(rR′ (r))′ + R(r)Φ′′ (ϕ) = 0 ⇐⇒Φ′′ (ϕ)r(rR′ (r))′=−= const = µ2 ,⇐⇒R(r)Φ(ϕ)R(r)Φ(ϕ + 2πk) = R(r)Φ(ϕ) ⇐⇒ Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).const = µ2 ,ë áà §ã ¯¨á «¨, çâ®â.