Унитарные пространства - Долгопрудный, страница 4

В самом деле,так как V конечномерно, то достаточно проверить условие ker ϕ = 0. Пусть v ∈ ker ϕ, v 6= 0.Тогда0 = (ϕ(v), ϕ(v)) = (v, v) 6= 0— противоречие.Таким образом, для унитарного оператора ϕ : V → V существует обратный линейный оператор ϕ−1 . Покажем, что ϕ−1 тоже унитарен, то есть (ϕ−1 (u), ϕ−1 (v)) = (u, v) для любых u, v ∈ V .Пусть u0 := ϕ−1 (u), v0 := ϕ−1 (v). Тогда(u, v) = (ϕ(u0 ), ϕ(v0 )) = (u0 , v0 ) = (ϕ−1 (u), ϕ−1 (v)).Легко видеть, что композиция унитарных операторов является унитарным оператором, линейный оператор, обратный унитарному унитарен, тождественный оператор унитарен. Значит,унитарные операторы на унитарном пространстве V образуют группу относительно операциикомпозиции, называемую унитарной и обозначаемую U(V ).

Она является подгруппой в GL(V ) —группе всех обратимых линейных операторов на пространстве V относительно операции композиции — и состоит в точности из тех преобразований, которые сохраняют фиксированное эрмитовоскалярное произведение (·, ·).Более общо, можно определить понятие унитарного отображения между разными унитарными пространствами. Любое унитарное отображение инъективно. Если оно сюръективно, то оно— унитарный изоморфизм. Легко проверить (используя существование ортонормированных базисов), что два унитарных пространства унитарно изоморфны тогда и только тогда, когда ониимеют одинаковые размерности.

В частности, любые два унитарных пространства данной размерности изоморфны. В частности, они изоморфны пространству Cn со скалярным произведениемP(u, v) = nk=1 uk vk .12Легко видеть, что условие (9) равносильно условию ϕ∗ = ϕ−1 . Для матрицы оператора вTортонормированном базисе оно превращается в условие U = U −1 . Таким образом, унитарныйоператор в ортонормированном базисе имеет унитарную матрицу. Верно и обратное: оператор,матрица которого в некотором ортонормированном базисе унитарного пространства унитарна, является унитарным.В частности, множество всех унитарных матриц данного порядка n является группой поумножению.

Она обозначается U(n). Выбор ортонормированного базиса в n-мерном унитарномпространстве V задает изоморфизм группы U(V ) на U(n).Заметим, что определитель унитарной матрицы (унитарного оператора) — комплексное число,модуль которого равен 1.Получим теперь канонический вид унитарного преобразования ϕ : V → V .Предложение 2.12. Если U ⊂ V является ϕ-инвариантным, то и U ⊥ ⊂ V является ϕинвариантным.Доказательство. Заметим, что ϕ|U : U → U — унитарный (в частности, биективный) операторна U . Значит, для любого u ∈ U ∃u0 ∈ U такой, что ϕ(u0 ) = u. Выберем произвольный v ∈ U ⊥ .Тогда(u, ϕ(v)) = (ϕ(u0 ), ϕ(v)) = (u0 , v) = 0.Предложение 2.13. Если λ — собственное значение унитарного оператора ϕ, то |λ| = 1 (заметим, что λ, вообще говоря, комплексное число).Доказательство.

Пусть v ∈ V — собственный вектор ϕ с собственным значением λ. Тогда(v, v) = (ϕ(v), ϕ(v)) = |λ|2 (v, v).Так как (v, v) 6= 0, то |λ|2 = 1.Теорема 2.14. Оператор ϕ : V → V является унитарным тогда и только тогда, когда он диагонализируется в ортонормированном базисе и имеет спектр, лежащий на единичной окружности в C.Доказательство.

Во-первых, заметим, что диагональная матрица с комплексными числами наглавной диагонали, равными по модулю единице, унитарна.Обратное утверждение (существование ортонормированного базиса из собственных векторов)будем доказывать индукцией по dim V. Если dim V = 1, то утверждение очевидно. Пусть dim V >1. Пусть v — собственный вектор унитарного преобразования ϕ (любое линейное преобразование вкомплексном пространстве имеет собственый вектор). Без ограничения общности можно считать,что вектор v нормирован. Подпространство hvi ⊂ V инвариантно, а значит инвариантно и егоортогональное дополнение hvi⊥ .

По предположению индукции в hvi⊥ существует требуемый базисдля унитарного оператора ϕ|hvi⊥ . Добавляя к нему нормированный вектор v, получаем требуемыйбазис в V для ϕ.13Заметим, что легко доказать непосредственно, что собственные подпространства унитарногопреобразования, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. В самом деле, пустьϕ(u) = λu, ϕ(v) = µv, λ 6= µ. Тогда(u, v) = (ϕ(u), ϕ(v)) = λµ(u, v).Так как λµ 6= 1 (здесь наряду с условием λ 6= µ мы используем |λ| = 1 = |µ|), то (u, v) = 0.2.4Заключительные замечанияЗамечание 2.15.

Читатель, несомненно, заметил общее свойство эрмитовых и унитарных преобразований: и те, и другие диагоализируются в некотором ортонормированном базисе. Они являютсячастными случаями так называемых нормальных преобразований унитарного пространства, которые могут быть описаны двумя равносильными способами:• это операторы, диагонализируемые в ортонормированном базисе;• это операторы, коммутирующие со своим сопряженным.Доказательство равносильности этих условий см.

например в [6].Замечание 2.16. Заметим также, что эрмитовы и унитарные операторы играют важную роль вматематической модели квантовой механики. Точнее, первые отвечают наблюдаемым (таким какимпульс, энергия или спин), а вторые описывают симметрии квантовой системы и ее эволюциюво времени, см. например [6].Замечание 2.17. Есть важная связь между эрмитовыми, косоэрмитовыми и унитарными операторами и матрицами.

Как уже отмечалось, унитарные матрицы образуют группу по умножению.Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы группы по умножению не образуют, они являются векторными пространствами над R, переходящими друг в друга при умножении на i. Однако пространствокосоэрмитовых матриц замкнуто относительно другой операции — взятия коммутатора. Получающаяся при этом структура называется алгеброй Ли. Она тесно связана с группой унитарныхматриц, в частности, экспонента косоэрмитовой матрицы является унитарной матрицей.Замечание 2.18. Заметим, что унитарная матрица с вещественными элементами является ортогональной и любая ортогональная является в этом смысле унитарной.

Поэтому корни характеристического многочлена ортогональной матрицы лежат на единичной окружности в C.Замечание 2.19. Наконец, заметим, что для операторов в унитарном пространстве V имеет местополярное разложение. А именно, любой оператор ϕ можно представить в виде произведения неотрицательного (положительного для невырожденного ϕ) эрмитова и унитарного. Оно аналогичнопредставлению комплексных чисел в показательной форме z = reiα , где r, α ∈ R, r ≥ 0. При этомпервому множителю отвечают неотрицательные эрмитовы операторы, а второму — унитарные.Доказательство аналогично евклидовому случаю.143Добавление: связь унитарной, ортогональной и симплектической структурЭрмитово скалярное произведение на V определяет евклидову и симплектическую структуру наовеществлении VR .

В результате на овеществлении VR унитарного пространства определены трисвязанные между собой структуры: комплексная, евклидова и симплектическая. Это приводитк тому, что подгруппы в GL(VR ), сохраняющие соответствующие структуры, тоже оказываютсясвязанными между собой. Данный раздел посвящен описанию этих важных и глубоких связей.Излагаемую теорию мы иллюстрируем простейшим примером 3.5, к которому, возможно, имеетсмысл обращаться в процессе чтения.Комплексное векторное пространство V — это абелева группа, для которой определена операция умножения на комплексные числаC × V → V, (λ, v) 7→ λv,(10)удовлетворяющая известным аксиомам. Ограничение (10) на подполе вещественных чисел R ⊂ Cопределяет на V структуру вещественного векторного пространства.

Это вещественное векторноепространство, полученное из комплексного пространства V называется овеществлением V иобозначается VR . В частности, если {e1 , . . . , en } — некоторый C-базис в V , то в качестве R-базисав VR можно взять {e1 , . . . , en , ie1 , . . .

, ien }.Всякий C-линейный оператор ϕ : V → V тем более является R-линейным, и, значит, определяет некоторый оператор ϕR : VR → VR . Заметим, что если ϕ в базисе {e1 , . . . , en } имел матрицуA + Bi, то ϕR в базисе {e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien } имеет матрицу!A −B.(11)B AЗаметим также, что сопоставление ϕ 7→ ϕR определяет гомоморфизмϑ : L(V ) → L(VR )(12)R-алгебр с единицей. Нетрудно проверить, что det ϑ(C) = |det C|2 ∀C ∈ L(V ).Умножение на i в V задает в VR некоторый линейный оператор, который мы обозначим J.То есть, по определению, iv = J(v) для любого v ∈ V.

Ясно, что J 2 = −idVR . Этот оператор называется комплексной структурой в VR (подробнее см. в [6], см. также [1]). В базисе{e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien } он имеет матрицу!0 −En.(13)En0Предложение 3.1. R-линейный оператор ψ : VR → VR происходит из некоторого C-линейногооператора ϕ на V (то есть имеет вид ϕR ) тогда и только тогда, когда он коммутирует с J.Доказательство. Доказать это предложение можно двумя способами. Во-первых, легко проверить, что вещественная матрица порядка 2n коммутирует с матрицей (13) тогда и только тогда,когда она имеет вид (11).15Во-вторых, выкладкаψ((a + bi)v) = aψ(v) + bψ(iv) = aψ(v) + bψ(J(v)) =aψ(v) + bJ(ψ(v)) = aψ(v) + biψ(v)показывает, что условие коммутирования с J — необходимое и достаточное условие того, чтобыR-линейный оператор был C-линейным.Как уже отмечалось, эрмитова форма на комплексном пространстве определяет пару вещественно билинейных форм на его овеществлении — симметричную и кососимметричную, к определению и изучению которых мы сейчас переходим.Пусть α — эрмитова форма на комплексном пространстве V .

Положимβ(u, v) := Re α(u, v), γ(u, v) := Im α(u, v),где Re и Im обозначают соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа. Тогдаβ и γ задают вещественные билинейные функции на VR . Более того, имеют место следующиерезультаты:Предложение 3.2. (i) Форма β симметрична, а γ кососимметрична, причем обе они инвариантны относительно оператора J, то естьβ(Ju, Jv) = β(u, v),γ(Ju, Jv) = γ(u, v);(ii) β и γ связаны следующими соотношениями:β(u, Jv) = −γ(u, v); γ(u, Jv) = β(u, v);(iii) любая пара связанных соотношениями (ii) форм β, γ на VR , первая из которых симметрична, а вторая — кососимметрична, определяет эрмитову форму α на V по формулеα(u, v) = β(u, v) + iγ(u, v);(iv) форма α положительно определена тогда и только тогда, когда форма β положительноопределена.Доказательство. Проверку R-билинейности форм β и γ оставим читателю.

Из представленияα(u, v) = β(u, v) + iγ(u, v) и эрмитовой симметрии α выводится симметричность β и кососимметричность γ. J-инвариантность β и γ следует из равенства α(iu, iv) = α(u, v) ∀u, v ∈ V.Тождества пункта (ii) выводятся из C-линейности α по второму аргументу, точнее, из равенства α(u, iv) = iα(u, v).Эрмитовость формы, определенной в (iii), проверяется непосредственно. В частности, условияJ-инвариантности форм β и γ следуют из тождеств пункта (ii) и симметричности (кососимметричности) β (соотв. γ).Утверждение пункта (iv) следует из равенства α(v, v) = β(v, v), верного для любого v ∈ V(то есть равенства соответствующих квадратичных форм), которое, в свою очередь, следует изкососимметричности γ.16Следствие 3.3. В прежних обозначениях, если α положительно определена и {e1 , . .