Унитарные пространства - Долгопрудный

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)А.В. ЕршовУНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВАДобавление к лекциямДолгопрудный2016ВведениеВещественными векторными пространствами с наиболее богатой геометрией являются евклидовыпространства. В них можно измерять длины векторов и углы между векторами. Все это возможноблагодаря наличию билинейной симметричной положительно определенной формы — евклидовойструктуры.Если рассмотреть комплексное векторное пространство с билинейной симметричной формойна нем, то сразу выясняется, что понятие положительной определенности для нее теряет смысл —любое комплексное число может быть квадратом комплексного числа.

Получить положительноедействительное число из ненулевого комплексного z можно, взяв вместо квадрата z 2 произведение zz на комплексно сопряженное. Возникает мысль рассмотреть аналог билинейных форм,для которых квадратичной формой является сумма квадратов модулей координат (в некоторомбазисе). Простейшие такие формы в координатах имеют видx1 y 1 + x2 y 2 + . .

. + xn y n .Так мы приходим к понятию полуторалинейной формы.Такие полуторалинейные формы приводят к комплексным аналогам евклидовых пространствсо столь же богатой геометрией, называемым унитарными пространствами. Унитарное пространство — это пара, состоящая из (конечномерного, если не оговорено противное) векторного пространства над C и полуторалинейной эрмитово симметричной положительно определенной формы на нем, которая определяет соответствующее скалярное произведение. Практически все понятия, имеющие смысл для евклидова пространства, имеют его и для унитарного (длина вектора,угол между векторами, ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству,самосопряженные преобразования и т.д.).

Причем для них верны аналоги теорем для евклидовапространства (неравенства Коши-Буняковского и треугольника, теоремы об ортогональном дополнении, ортогонализация Грама-Шмидта, свойства самосопряженных преобразований и т.п.).Для удобства читателя мы приведем таблицу, связывающую аналогичные понятия в вещественном (евклидовом) и комплексном (унитарном) случаях.в вещественном случаев комплексном случаебилинейная формаполуторалинейная формасимметричная билинейная формаэрмитово симметричнаяполуторалинейная формаквадратичная формаэрмитова квадратичная формаевклидово пространствоунитарное (=эрмитово) пространствосопряженное преобразованиеэрмитово сопряженное преобразованиесамосопряженное (=симметричное) преобразованиеэрмитово (симметричное) преобразованиеортогональное преобразованиеунитарное преобразованиеСоветы студентамЗначительная часть представленного в данном тексте материала выходит за рамки программыэкзамена по Линейной алгебре на первом курсе (особенно это касается замечаний).

С другой1стороны, ознакомиться с ним все же полезно для лучшего понимания теории евклидовых пространств и операторов в них, так как значительная часть результатов и доказательств в этихдвух случаях аналогична.Требования к подготовке читателяПредполагается, что читатель знаком с теорией билинейных форм над R и теорией евклидовыхпространств. Наше изложение наиболее близко к [4].Некоторые обозначения и терминыВекторы обозначаются жирными буквами u, v, . . .

, координатные столбцы — стрелкой над бук−вой, обозначающей вектор, т.е. →v — координатный столбец вектора v в некотором базисе; чертасверху λ или A обозначает операцию комплексного сопряжения, примененную к комплексному числу λ или к матрице A с комплексными элементами (в последнем случае все элементыматрицы комплексно сопрягаются). Линейные операторы (=линейные преобразования) мы обозначаем греческими буквами ϕ или ψ. Спектр оператора = множество его собственных значений.Композиция преобразований обозначается значком ◦. Matn (K) обозначает пространство (алгебру) матриц порядка n над полем K. Матрица, транспонированная к матрице A, обозначаетсяAT .

Re z, Im z обозначают соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа z.idV обозначает тождественное преобразование векторного пространства V . Оно имеет единичную матрицу E в любом базисе. Символом L(V ) обозначается алгебра линейных операторов навекторном пространстве V .Все остальные обозначения либо стандартные, либо объясняются в тексте.О замеченных опечаткахershov.andrei@gmail.com1изамечанияхпотекступросьбасообщатьнаe-mailУнитарные пространства1.1Полуторалинейные формыПусть V — векторное пространство над полем C.Определение 1.1.

Функция f : V → C называется полулинейной формой (или полулинейнойфункцией) на V , если выполнены следующие два условия:• f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u, v ∈ V ;• f (λv) = λf (v) ∀v ∈ V, λ ∈ C, где черта в λ обозначает комплексное сопряжение.Определение 1.2. Функция α : V × V → C называется полуторалинейной формой на V , еслиона линейна по второму аргументу и полулинейна по первому.Другими словами, полуторалинейная форма α удовлетворяет условиям:• α(λu1 + µu2 , v) = λα(u1 , v) + µα(u2 , v) ∀u1 , u2 , v ∈ V, λ, µ ∈ C;2• α(u, λv1 + µv2 ) = λα(u, v1 ) + µα(u, v2 )∀u, v1 , v2 ∈ V, λ, µ ∈ C.Замечание 1.3.

В некоторых книгах полуторалинейными формами называют функции, которыенаоборот, линейны по первому аргументу и полулинейны по второму.При перестановке аргументов полуторалинейной формы ее полулинейный и линейный аргументы меняются местами. Поэтому “наивный” способ определить понятие симметричной билинейной формы не проходит. Заметим, что операция комплексного сопряжения также меняетместами линейный и полулинейный аргументы.Определение 1.4. Полуторалинейная форма α : V × V → C называется эрмитово симметричной (кратко, эрмитовой), если для любых векторов u, v ∈ V выполнено следующее тождество:α(u, v) = α(v, u).(1)Заметим, что из предыдущего определения мгновенно следует, что соответствующая эрмитова квадратичная формаq = qα : V → C, qα (v) := α(v, v)принимает вещественные значения.Заметим, что соотношения(q(u + v) = q(u) + α(u, v) + α(v, u) + q(v)q(u + iv) = q(u) + iα(u, v) − iα(v, u) + q(v)(2)позволяют восстановить α по q.

В частности, если q ≡ 0, то и α ≡ 0.Здесь можно было бы развить общую теорию эрмитовых форм, в частности, доказать дляних аналог теоремы инерции. Мы, однако, делать этого не будем, и ограничимся случаем положительно определенных эрмитовых форм.Определение 1.5. Эрмитова форма α : V × V → C называется положительно определенной,если qα (v) = α(v, v) > 0 ∀v ∈ V, v 6= 0.Рассмотрим пару примеров.PПример 1.6. Пусть {e1 , .

. . , en } — некоторый базис в V , v = vi ei — разложение произвольноговектора по нему. ТогдаnnXXui vi , qα (v) =|vi |2α(u, v) =i=1i=1— положительно определенная эрмитова и соответствующая ей эрмитова квадратичная формы. Такой базис для α называется (естественно) ортонормированным. Для любой положительноопределенной эрмитовой формы существует ортонормированный базис (см. ниже).Пример 1.7.

Приведем пример бесконечномерного унитарного пространства. ПустьV := {f : [0, 1] → C | f непрерывна}3— пространство непрерывных комплекснозначных функций на отрезке. Легко проверить, чтоэто — векторное пространство над C, правда, в нем нет конечного базиса. Такие пространстваназываются бесконечномерными. Определим функцию α : V × V → C формулойZ 1f (t)g(t) dt ∀f, g ∈ V.α(f, g) :=0Тогда легко проверить, что α — положительно определенная эрмитова форма на V .

В курсе мыне рассматриваем бесконечномерные пространства (за исключением отдельных примеров), ноони играют больщую роль в продвинутых разделах математики (в функциональном анализе) ив приложениях в физике (в квантовой теории).1.2Базисы и матрицыПусть α : V × V → C — некоторая полуторалинейная форма на V , а {e1 , . . .

, en } — некоторыйбазис в V . Тогда из определений легко следует, чтоα(u, v) =nXα(ei , ej )ui vj .(3)i=1−Если через →v обозначить координатный столбец вектора v ∈ V в выбранном базисе, то равенство(3) можно переписать в видеT −−α(u, v) = →u G→v,где G = Gα := (α(ei , ej )) ∈ Matn (C) (матрица, у которой на (i, j)-м месте стоит число α(ei , ej ) ∈C).Если {e01 , . . . , e0n } — еще один базис в V , причем C ∈ GLn (C) — матрица перехода к нему отпервого базиса, тоT(4)G0 = C GC— матрица полуторалинейной формы α в новом базисе.Условие эрмитовой симметрии (1) переписывается при этом в видеT −T −→−−u G→v =→v G→u,T −T T−−−−−т.е.