Унитарные пространства - Долгопрудный (1187927)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)А.В. ЕршовУНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВАДобавление к лекциямДолгопрудный2016ВведениеВещественными векторными пространствами с наиболее богатой геометрией являются евклидовыпространства. В них можно измерять длины векторов и углы между векторами. Все это возможноблагодаря наличию билинейной симметричной положительно определенной формы — евклидовойструктуры.Если рассмотреть комплексное векторное пространство с билинейной симметричной формойна нем, то сразу выясняется, что понятие положительной определенности для нее теряет смысл —любое комплексное число может быть квадратом комплексного числа.

Получить положительноедействительное число из ненулевого комплексного z можно, взяв вместо квадрата z 2 произведение zz на комплексно сопряженное. Возникает мысль рассмотреть аналог билинейных форм,для которых квадратичной формой является сумма квадратов модулей координат (в некоторомбазисе). Простейшие такие формы в координатах имеют видx1 y 1 + x2 y 2 + . .

. + xn y n .Так мы приходим к понятию полуторалинейной формы.Такие полуторалинейные формы приводят к комплексным аналогам евклидовых пространствсо столь же богатой геометрией, называемым унитарными пространствами. Унитарное пространство — это пара, состоящая из (конечномерного, если не оговорено противное) векторного пространства над C и полуторалинейной эрмитово симметричной положительно определенной формы на нем, которая определяет соответствующее скалярное произведение. Практически все понятия, имеющие смысл для евклидова пространства, имеют его и для унитарного (длина вектора,угол между векторами, ортонормированный базис, ортогональное дополнение к подпространству,самосопряженные преобразования и т.д.).

Причем для них верны аналоги теорем для евклидовапространства (неравенства Коши-Буняковского и треугольника, теоремы об ортогональном дополнении, ортогонализация Грама-Шмидта, свойства самосопряженных преобразований и т.п.).Для удобства читателя мы приведем таблицу, связывающую аналогичные понятия в вещественном (евклидовом) и комплексном (унитарном) случаях.в вещественном случаев комплексном случаебилинейная формаполуторалинейная формасимметричная билинейная формаэрмитово симметричнаяполуторалинейная формаквадратичная формаэрмитова квадратичная формаевклидово пространствоунитарное (=эрмитово) пространствосопряженное преобразованиеэрмитово сопряженное преобразованиесамосопряженное (=симметричное) преобразованиеэрмитово (симметричное) преобразованиеортогональное преобразованиеунитарное преобразованиеСоветы студентамЗначительная часть представленного в данном тексте материала выходит за рамки программыэкзамена по Линейной алгебре на первом курсе (особенно это касается замечаний).

С другой1стороны, ознакомиться с ним все же полезно для лучшего понимания теории евклидовых пространств и операторов в них, так как значительная часть результатов и доказательств в этихдвух случаях аналогична.Требования к подготовке читателяПредполагается, что читатель знаком с теорией билинейных форм над R и теорией евклидовыхпространств. Наше изложение наиболее близко к [4].Некоторые обозначения и терминыВекторы обозначаются жирными буквами u, v, . . .

, координатные столбцы — стрелкой над бук−вой, обозначающей вектор, т.е. →v — координатный столбец вектора v в некотором базисе; чертасверху λ или A обозначает операцию комплексного сопряжения, примененную к комплексному числу λ или к матрице A с комплексными элементами (в последнем случае все элементыматрицы комплексно сопрягаются). Линейные операторы (=линейные преобразования) мы обозначаем греческими буквами ϕ или ψ. Спектр оператора = множество его собственных значений.Композиция преобразований обозначается значком ◦. Matn (K) обозначает пространство (алгебру) матриц порядка n над полем K. Матрица, транспонированная к матрице A, обозначаетсяAT .

Re z, Im z обозначают соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа z.idV обозначает тождественное преобразование векторного пространства V . Оно имеет единичную матрицу E в любом базисе. Символом L(V ) обозначается алгебра линейных операторов навекторном пространстве V .Все остальные обозначения либо стандартные, либо объясняются в тексте.О замеченных опечаткахershov.andrei@gmail.com1изамечанияхпотекступросьбасообщатьнаe-mailУнитарные пространства1.1Полуторалинейные формыПусть V — векторное пространство над полем C.Определение 1.1.

Функция f : V → C называется полулинейной формой (или полулинейнойфункцией) на V , если выполнены следующие два условия:• f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u, v ∈ V ;• f (λv) = λf (v) ∀v ∈ V, λ ∈ C, где черта в λ обозначает комплексное сопряжение.Определение 1.2. Функция α : V × V → C называется полуторалинейной формой на V , еслиона линейна по второму аргументу и полулинейна по первому.Другими словами, полуторалинейная форма α удовлетворяет условиям:• α(λu1 + µu2 , v) = λα(u1 , v) + µα(u2 , v) ∀u1 , u2 , v ∈ V, λ, µ ∈ C;2• α(u, λv1 + µv2 ) = λα(u, v1 ) + µα(u, v2 )∀u, v1 , v2 ∈ V, λ, µ ∈ C.Замечание 1.3.

В некоторых книгах полуторалинейными формами называют функции, которыенаоборот, линейны по первому аргументу и полулинейны по второму.При перестановке аргументов полуторалинейной формы ее полулинейный и линейный аргументы меняются местами. Поэтому “наивный” способ определить понятие симметричной билинейной формы не проходит. Заметим, что операция комплексного сопряжения также меняетместами линейный и полулинейный аргументы.Определение 1.4. Полуторалинейная форма α : V × V → C называется эрмитово симметричной (кратко, эрмитовой), если для любых векторов u, v ∈ V выполнено следующее тождество:α(u, v) = α(v, u).(1)Заметим, что из предыдущего определения мгновенно следует, что соответствующая эрмитова квадратичная формаq = qα : V → C, qα (v) := α(v, v)принимает вещественные значения.Заметим, что соотношения(q(u + v) = q(u) + α(u, v) + α(v, u) + q(v)q(u + iv) = q(u) + iα(u, v) − iα(v, u) + q(v)(2)позволяют восстановить α по q.

В частности, если q ≡ 0, то и α ≡ 0.Здесь можно было бы развить общую теорию эрмитовых форм, в частности, доказать дляних аналог теоремы инерции. Мы, однако, делать этого не будем, и ограничимся случаем положительно определенных эрмитовых форм.Определение 1.5. Эрмитова форма α : V × V → C называется положительно определенной,если qα (v) = α(v, v) > 0 ∀v ∈ V, v 6= 0.Рассмотрим пару примеров.PПример 1.6. Пусть {e1 , .

. . , en } — некоторый базис в V , v = vi ei — разложение произвольноговектора по нему. ТогдаnnXXui vi , qα (v) =|vi |2α(u, v) =i=1i=1— положительно определенная эрмитова и соответствующая ей эрмитова квадратичная формы. Такой базис для α называется (естественно) ортонормированным. Для любой положительноопределенной эрмитовой формы существует ортонормированный базис (см. ниже).Пример 1.7.

Приведем пример бесконечномерного унитарного пространства. ПустьV := {f : [0, 1] → C | f непрерывна}3— пространство непрерывных комплекснозначных функций на отрезке. Легко проверить, чтоэто — векторное пространство над C, правда, в нем нет конечного базиса. Такие пространстваназываются бесконечномерными. Определим функцию α : V × V → C формулойZ 1f (t)g(t) dt ∀f, g ∈ V.α(f, g) :=0Тогда легко проверить, что α — положительно определенная эрмитова форма на V .

В курсе мыне рассматриваем бесконечномерные пространства (за исключением отдельных примеров), ноони играют больщую роль в продвинутых разделах математики (в функциональном анализе) ив приложениях в физике (в квантовой теории).1.2Базисы и матрицыПусть α : V × V → C — некоторая полуторалинейная форма на V , а {e1 , . . .

, en } — некоторыйбазис в V . Тогда из определений легко следует, чтоα(u, v) =nXα(ei , ej )ui vj .(3)i=1−Если через →v обозначить координатный столбец вектора v ∈ V в выбранном базисе, то равенство(3) можно переписать в видеT −−α(u, v) = →u G→v,где G = Gα := (α(ei , ej )) ∈ Matn (C) (матрица, у которой на (i, j)-м месте стоит число α(ei , ej ) ∈C).Если {e01 , . . . , e0n } — еще один базис в V , причем C ∈ GLn (C) — матрица перехода к нему отпервого базиса, тоT(4)G0 = C GC— матрица полуторалинейной формы α в новом базисе.Условие эрмитовой симметрии (1) переписывается при этом в видеT −T −→−−u G→v =→v G→u,T −T T−−−−−т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги