Унитарные пространства - Долгопрудный (1187927), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , en } —ортонормированный базис для α, то {e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien } является ортонормированным базисом для β и симплектическимдля γ (последнее означает, что γ имеет в нем матрицу!0En).I2n :=−En 0Наоборот, если U — 2n-мерное вещественное пространство с симметричной положительно определенной формой β и невырожденной кососимметрической формой γ, а также базисом{e1 , . . . , en , en+1 , .
. . , e2n }, ортонормированным для β и симплектическим для γ, то, введя на Uкомплексную структуру с помощью оператораJ : U → U,J(ej ) = en+j , 1 ≤ j ≤ n, J(ej ) = −ej−n , n + 1 ≤ j ≤ 2n,и скалярное произведение α(u, v) = β(u, v) + iγ(u, v), получим комплексное пространство V такое, что U = VR , с положительно определенной эрмитовой формой α, для которой {e1 , . .
. , en }является ортонормированным C-базисом в V .Доказательство получается простой проверкой с помощью Предложения 3.2.Гомоморфизм ϑ (см. (12)) в фиксированном базисе задает инъективный гомоморфизм Rалгебр θ : Matn (C) → Mat2n (R) и, так как он переводит обратимые матрицы в обратимые, инъективный гомоморфизм (вложение) групп GLn (C) → GL2n (R), а значит и U(n) → GL2n (R). Данныегруппы мы отождествим с их образами в GL2n (R).Тем самым группа GL2n (R) содержит следующие подгруппы: U(n), GLn (C), а такжеO(2n) = {A ∈ GL2n (R) | AT A = E}иSp(2n) = {A ∈ GL2n (R) | AT I2n A = I2n },сохраняющие билинейные формы β и γ из предыдущего Следствия. Как эти подгруппы связанымежду собой?Предложение 3.4.
Пересечение всех трех подгрупп O(2n), Sp(2n) и GLn (C) совпадает с пересечением любых двух из них и совпадает с U(n). То естьU(n) = O(2n) ∩ Sp(2n) = GLn (C) ∩ O(2n) = GLn (C) ∩ Sp(2n).Доказательство. Воспользуемся предыдущим Следствием. Ясно, что пересечение всех трехгрупп O(2n), Sp(2n) и GLn (C) совпадает с U(n), так как последняя группа состоит из комплекснолинейных преобразований, сохраняющих эрмитову форму α, а значит ее вещественную β и мнимую γ части.Пусть ϕ ∈ O(2n) ∩ Sp(2n), докажем, что тогда ϕ ∈ GLn (C). В самом деле,β(ϕ(u), ϕ(J(v))) = β(u, J(v)) = −γ(u, v) =−γ(ϕ(u), ϕ(v)) = β(ϕ(u), J(ϕ(v))).17В силу обратимости ϕ, любой вектор из V имеет вид ϕ(u), где u ∈ V , откуда из невырожденностиβ получаем ϕ(J(v)) = J(ϕ(v)) ∀v ∈ V ⇒ ϕ ◦ J = J ◦ ϕ.
Теперь по Предложению 3.1 получаем,что ϕ ∈ GLn (C).Пусть ϕ ∈ GLn (C) ∩ O(2n), тогдаϕ ◦ J = J ◦ ϕ и β(ϕ(u), ϕ(v)) = β(u, v) ∀u, v ∈ VR .Проверим, что такое ϕ сохраняет и γ. Действительно, положим v = J(v0 ). Тогдаγ(ϕ(u), ϕ(v)) = γ(ϕ(u), ϕ(J(v0 ))) = γ(ϕ(u), J(ϕ(v0 ))) =β(ϕ(u), ϕ(v0 )) = β(u, v0 ) = −β(u, J(v)) = γ(u, v).Тогда в силу первого пункта GLn (C) ∩ O(2n) ⊂ U(n). Обратное включение очевидно.Последнее равенство доказывается аналогично.Пример 3.5.
Пусть V — одномерное пространство над полем C с выбранным базисом {e}. ТогдаVR — двумерное векторное пространство над R, в котором выбранному в V базису отвечает базис{e, ie}. Линейное преобразование ϕ : !V → V в базисе {e} имеет матрицу (λ), λ ∈ C. Еслиa −bλ = a + bi, a, b ∈ R, то θ(λ) =. В частности, комплексная структура J в базисе {e, ie}b a!0 −1пространства VR имеет матрицу.1 0Если вектор v ∈ V в базисе {e} имел координату v = v1 + iv2 , то соответствующий ему векториз VR в базисе {e, ie} имеет координатный столбец (v1 , v2 )T .Если {e} — ортонормированный базис для положительно определенной эрмитовой формы αна V , тоα(u, v) = u v = (u1 − iu2 )(v1 + iv2 ) = u1 v1 + u2 v2 + i(u1 v2 − u2 v1 ).В базисе {e, ie} пространства VR формы β и γ записываются в виде:β(u, v) = u1 v1 + u2 v2 ; γ(u, v) = u1 v2 − u2 v1 ,то есть указанный базис являетсядля β и симплектическим для γ.! ортонормированным!!0 −1v1−v2Заметим, что J(v) ==, поэтому1 0v2v1β(u, J(v)) = u1!! 0 −1v1= −u1 v2 + u2 v1 = −γ(u, v),u21 0v2etc.Проверим теперь последнее Предложение непосредственно.Заметим, что U(1) = {eix | x ∈ R}.!cos x − sin xКроме того, θ(eix ) = θ(cos x + i sin x) =, и, значит, θ(U(1)) = SO(2).sin x cos xКроме того,!!0101Sp(2) = {A ∈ GL2 (R) | ATA=}.−1 0−1 018Имеем:!!!!!a c0 1a b−c aa b==b d−1 0c d−d bc d!!0ad − bc0 1=⇔ det A = 1.bc − ad0−1 0Таким образом, Sp(2) = SL2 (R).Теперь легко видеть, что O(2) ∩ Sp(2) = SO(2) = θ(U(1)).Кроме того,!a −bθ(GL1 (C)) = {| a2 + b2 6= 0}.b a!a −bПоэтому θ(GL1 (C)) ∩ Sp(2) = {| a2 + b2 = 1} = SO(2).b aНаконец, θ(GL1 (C)) ∩ O(2) = SO(2), так как det θ(A) > 0 ∀A ∈ GL1 (C).Замечание 3.6.
Из рассмотренного примера видно, что в R2 комплексная структура однозначно определяется заданием метрики (=евклидовой структуры) и ориентации. А именно, J естьповорот на угол π2 в положительном направлении. Благодаря этому факту использование комплексных координат при решении ряда задач на плоскости столь эффективно.В пространствах большей размерности это уже не так. Рассмотрим, например, важный дляфизики случай R4 .
Допустим, мы фиксировали стандартные метрику и ориентацию. Комплекснаяструктура J (которая a priori представляет собой оператор (матрицу) J ∈ GL4 (R) такой, что J 2 =−id) согласована с данной метрикой и ориентацией, если, во-первых, она сохраняет метрику, тоесть является ортогональным оператором, и, во-вторых, в некотором правом ортонормированномбазисе имеет матрицу (13) (при n = 2).Ясно, что все комплексные структуры, согласованные с данной метрикой и ориентацией, сопряжены на элемент из SO(4) (матрицу перехода между двумя правыми ортонормированнымибазисами). То есть если I, J — две такие комплексные структуры, то ∃A ∈ SO(4) такая, чтоI = AT JA.Фиксируем комплексную структуру J, заданную матрицей (13) в стандартном базисе.
Тогдасопряжение на элемент подгруппы θ(U(2)) ⊂ SO(4) оставляет ее на месте, и обратно, посколькуθ(U(2)) = θ(GL2 (C))∩SO(4). Отсюда можно вывести, что множество всех комплексных структур вR4 , согласованных с данной метрикой и ориентацией, есть однородное пространство SO(4)/U(2) ∼=S 2 . То есть для каждой точки p ∈ S 2 на R4 есть своя комплексная структура, то есть свойизоморфизм R4 ∼= C2 .Так как обычно нет канонического выбора одной комплексной структуры из континуума возможных, для применения методов комплексного анализа нужно использовать их все одновременно.
Об одном из применений этого подхода в физике и его связи с теорией твисторов Р. Пенроузаможно почитать в [2], Дополнение, гл. III, § 3.С другой стороны, легко видеть, что даже в R2 данной комплексной структуре J отвечаетконтинуум метрик. Действительно, комплексная структура J согласована с любой метрикой,для которой {u, J(u)} при u 6= 0 является ортонормированным базисом. Легко видеть, что все19такие метрики отличаются скалярным множителем r > 0. В то же время комплексная структура,конечно, однозначно фиксирует ориентацию.Изложенные факты имеют важные приложения в теории римановых поверхностей, так как,во-первых, показывают, что все они имеют каноническую ориентацию, и во-вторых, что комплексная структура фиксирует конформный класс римановых метрик на них (подробности см. вкниге [7], часть II, лекция 8).Список литературы[1] А.А. Арутюнов, А.В.
Ершов Дополнительные задачи по линейной алгебре: Учеб. пособие.— М.: МФТИ, 2016 — 214 с.[2] М. Атья Геометрия и физика узлов: Пер. с англ. — М., Мир, 1995 — 192 с.[3] Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов.— 12-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009 — 312 с.[4] Э.Б. Винберг Курс алгебры. — 2-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.[5] А.Л. Городенцев Алгебра.
Учебник для студентов-математиков. Часть 1. — М.: МЦНМО,2013. — 488 с.[6] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин Линейная алгебра и геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1980. — 320 с.[7] В.В. Прасолов, О.В. Шварцман Азбука римановых поверхностей. — М.: МЦНМО, 2014.— 148 с.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
