Унитарные пространства - Долгопрудный, страница 2

→u G→v =→v T G→u =→u G →v,T−−и, поскольку это вполнено для любых столбцов →u, →v , то G = G . Матрицы G ∈ Matn (C),удовлетворяющие последнему тождеству, называются эрмитовыми. Таким образом, матрицаэрмитовой формы в произвольном базисе эрмитова.Легко видеть, что если матрица G эрмитова, то det G ∈ R. Имеет место аналог критерияСильвестра: эрмитова форма положительно определена ⇔ все главные миноры ее матрицы положительны.Например, общая эрмитова матрица порядка 2 имеет вид!ab + cib − cid(a, b, c, d ∈ R), ее определитель равен ad − (b2 + c2 ), она положительно определена тогда и толькотогда когда a > 0 и ad − (b2 + c2 ) > 0.

Очевидно, что вещественная часть эрмитовой матрицысимметрична, а мнимая — кососимметрична.4Замечание 1.8. 1 Вообще, эрмитовы матрицы порядка n образуют вещественное векторное пространство размерности n2 . Покажем это.TДля этого рассмотрим полулинейный оператор σ : Matn (C) → Matn (C), σ(A) = A . Полулинейность σ означает, что σ(A + B) = σ(A) + σ(B), σ(λA) = λσ(A) ∀A, B ∈ Matn (C), λ ∈ C.Кроме того, σ 2 = idMatn (C) . Такие полулинейные операторы на комплексном векторном пространстве называются полулинейными инволюциями.ПоложимV + := {A ∈ Matn (C) | σ(A) = A},V − := {A ∈ Matn (C) | σ(A) = −A}.Заметим, что V + и V − — R-линейные векторные подпространства в Matn (C) такие, что V + ∩V − =0.

Более того, для любой матрицы A ∈ Matn (C) имеет место представление A = A+ + A− , гдеA+ ∈ V + , A− ∈ V − . Точнее,11A+ = (A + σ(A)), A− = (A − σ(A)).22Таким образом, Matn (C) = V + ⊕ V − — разложение в прямую сумму R-линейных пространств.Кроме того, ι : V + → V − , ι(A) := iA — изоморфизм векторных пространств, значит, вещественная размерность пространств V + и V − равна комплексной размерности пространстваMatn (C), то есть n2 . Кроме того, V − = iV + . Значит,Matn (C) = V + ⊕ iV + .(5)Легко видеть, что V + состоит из эрмитовых матриц. Матрицы из V − называются косоэрмитовыми.Заметим, что помимо разложения (5) есть также разложение Matn (C) = Matn (R) ⊕ iMatn (R).К нему можно прийти, рассматривая вместо σ другую полулинейную инволюцию τ : Matn (C) →Matn (C), τ (A) = A.

По довольно прозрачным причинам полулинейные инволюции на комплексном пространстве называют вещественными структурами. Соответствующее вещественное подпространство состоит из неподвижных относительно инволюции элементов (ср. характеризациювещественных чисел в C как таких, которые остаются на месте при комплексном сопряжении).Таким образом, мы определили две вещественные структуры на Matn (C): стандартную,2 длякоторой роль вещественного подпространства играет Matn (R) и нестандартную, для которой вещественное подпространство образовано эрмитовыми матрицами V + . Детали см.

в [5].Кстати, заметим, что V + ∩Matn (R) (соотв. V − ∩Matn (R)) — подпространство симметрических(соотв. кососимметрических) матриц в Matn (R).1.3Унитарные пространстваОпределение 1.9. Унитарным пространством называется пара (V, α), состоящая из векторного пространства V над C и положительно определенной эрмитовой формы α на нем.12Данное замечание выходит за рамки обязательной программы.подчеркнем, что в произвольном комплексном линейном пространстве нет выделенной вещественной структу-ры.5Пусть U ⊂ V — произвольное подпространство унитарного пространства (V, α).

Его ортогональным дополнением называется подпространство U ⊥ ⊂ V , определяемое следующим образом:U ⊥ := {v ∈ V | α(u, v) = 0 ∀u ∈ U }.Заметим, что, несмотря на то, что эрмитова форма α по определению полулинейна по первому аргументу и линейна по второму, определение ортогонального дополнения симметрично поаргументам.Следующие теоремы яляются аналогами соответствующих теорем для евклидова пространства. Доказательства их также аналогичны.Предложение 1.10. dim U ⊥ = dim V − dim U.Доказательство. Пусть {e1 , . .

. , ek } — базис в U . Тогда U ⊥ задается системой k линейных однородных уравненийα(e1 , v) = 0(6)· · · · · · · · · · ··α(ek , v) = 0(относительно координат неизвестного вектора v). Уравнения (6) линейно независимы, так какизkXλi α(ei , v) = 0i=1(λi ∈ C) ∀v ∈ V следует, чтоαkX!= 0 ∀v ∈ V,λi ei , vi=1Pоткуда, в силу положительной определенности формы α имеем ki=1 λi ei = 0, а значит все λi = 0.Значит, ранг системы (6) равен k, и если n := dim V , то размерность пространства решенийравна n − k, то есть dim U ⊥ = n − k.Теорема 1.11. Если U ⊂ V — произвольное подпространство унитарного пространства (V, α),то V = U ⊕ U ⊥ .Доказательство. Пусть v ∈ U ∩ U ⊥ .

Тогда α(v, v) = qα (v) = 0. Так как по условию αположительно определена, то v = 0. Значит, сумма подпространств U и U ⊥ в V прямая,dim(U + U ⊥ ) = dim U + dim U ⊥ = k + n − k = n = dim V, и значит V = U ⊕ U ⊥ .Теорема 1.12. В любом унитарном пространстве (V, α) есть ортонормированный базис.Доказательство. Заметим, что для любого подпространства U ⊂ V пара (U, α|U ) — унитарноепространство, где α|U — ограничение эрмитовой формы α на подпространство U ⊂ V .Будем доказывать теорему индукцией по n := dim V.

Если n = 1, то теорема очевидна. Действительно, если v ∈ V — произвольный ненулевой вектор, то qα (v) =: a > 0. Тогда {u} —ортонормированный базис, где u := √1a v.6Пусть теорема верна для пространств размерности, не превосходящей n − 1. Выберем произвольный вектор u ∈ V, u 6= 0 и положим U := hui. Тогда V = U ⊕ U ⊥ и dim U ⊥ = n − 1; попредположению индукции в U ⊥ есть ортонормированный базис. Объединяя его с ортонормированным базисом в U, получаем ортонормированный базис в V.Следствие 1.13. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы G ∈ Matn (C)существует невырожденная матрица C ∈ GLn (C) такая, чтоTC GC = E.Доказательство.

В произвольном базисе n-мерного комплексного пространства V формула−−u G→vα(u, v) = →задает положительно определенную эрмитову форму. Рассмотрим пару (V, α) как унитарноепространство. Согласно предыдущей теореме, в нем существует ортонормированный базис. ПустьC — матрица перехода от исходного базиса к ортонормированному. Теперь все следует из (4) итого, что в ортонормированном базисе матрица положительно определенной эрмитовой формыединичная.Заметим, что базис {e1 , .

. . , en } унитарного пространства (V, α) ортонормирован тогда и только тогда, когда матрица формы α в этом базисе единичная. Из (4) следует, что матрица C перехоTда между двумя ортонормированными базисами в (V, α) удовлетворяет тождеству C C = E. Такие матрицы называются унитарными (они аналогичны ортогональным матрицам в вещественном случае).

Очевидно, что определитель унитарной матрицы — (вообще говоря) комплексноечисло, равное 1 по модулю. Сопоставление базису матрицы перехода к нему от фиксированного базиса устанавливает биекцию между ортонормированными базисами в n-мерном унитарномпространстве и унитарными матрицами порядка n.1.4Геометрия унитарных пространствНачиная с этого раздела упростим обозначения: эрмитову форму α из определения унитарногопространства (V, α) (напомним, что она линейна по второму аргументу и полулинейна по первому) будем обозначать круглыми скобками и называть (эрмитовым) скалярным произведением, ивместо qα (v)(= α(v, v)) будем писать |v|2 .Как уже отмечалось во введении, в унитарных пространствах имеют место аналоги неравенствКоши-Буняковского и треугольника.

Приведем их доказательства в унитарном случае.Теорема 1.14. (Неравенство Коши-Буняковского) Для любых векторов u, v унитарного пространства V имеет место неравенство|(u, v)|2 ≤ |u|2 |v|2 ,(7)причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы u и v пропорциональны.7Доказательство. Если v = 0, то u и v линейно зависимы и (7) превращается в равенство. Далеебудем считать что v 6= 0.Для любого λ ∈ C имеет место неравенство(u + λv, u + λv) = |u|2 + λ(v, u) + λ(u, v) + |λ|2 |v|2 ≥ 0.(8)(v, u)|(u, v)| t,где t ∈ R. Тогда (8)Если (u, v) = 0, то (7) очевидно. В противном случае положим λ =превратится в неравенство|u|2 + 2|(u, v)|t + |v|2 t2 ≥ 0,верное для любого t ∈ R. Значит, дискриминант квадратного трехчлена неотрицателен, что равносильно (7).Доказательство второй части теоремы, касающейся равносильности условий достижения равенства и линейной зависимости векторов, оставим читателю.Замечание 1.15.